目錄

第一講：期末考試大盤點(diǎn)

第二講：分解因式方法之一提供因式法

第三講：分解因式方法之二運(yùn)用公式法

第四講：分解因式方法之三分組分解法與十字相乘法

第五講：分解因式方法之四換元法

第六講：分解因式方法之五添項(xiàng)拆項(xiàng)法與待定系數(shù)法

第七講：因式分解的應(yīng)用

第八講：不等關(guān)系、不等式的基本性質(zhì)

第九講：一元一次不等式、一元一次不等式組

第十講：一元一次不等式組的應(yīng)用

8年級(jí)寒假班期末考試題

第一講：期末考試大盤點(diǎn)

一、知識(shí)精講:

親愛的同學(xué)：通過一學(xué)期的努力學(xué)習(xí)，你們?nèi)〉昧藘?yōu)異成績，名師堂學(xué)校所有老師祝賀你們!

第次課內(nèi)容目標(biāo)：（對(duì)當(dāng)前教育形式的分析及期末考試題總結(jié)）

1）、梳理基本知識(shí)，使其系統(tǒng)化；

2）、變式訓(xùn)練、能力拓展，使其知識(shí)穩(wěn)固化；

3）、思維能力訓(xùn)練，使其思維靈活化。

1、準(zhǔn)備期末調(diào)研考試題：（1）試卷得分情況分析：（2）試卷壓軸題分析講解。

2、盤點(diǎn)題型設(shè)置：

盤點(diǎn)題組一：圖形變換

1、如圖1,將矩形沿對(duì)稱軸折疊，在對(duì)稱軸處剪下一塊，余下部分的展開圖為（）

2、先將一矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊AB、AD分別落在x軸、

y軸上（如圖2）,再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30。（如圖3）,若AB=4,BC=3,

則圖2和圖3中點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)C的坐標(biāo)

圖2圖3

3、如圖4所示，將五個(gè)邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形的

中心，則途中四塊陰影部分的面積和為cm2。

4、如圖5所示，在直角坐標(biāo)系中，將舉行OABC沿0B對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)A,處，已知0A=百,AB=1,

則點(diǎn)A\的坐標(biāo)是。

盤點(diǎn)題組二：勾股定理運(yùn)用

5、2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖6所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中

間的小正方形拼成的?個(gè)大正方形.若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的

較長直角邊為a,較短直角邊為b,則a3-b3的值為

圖6

6、如圖7,正方形ABCD的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的

最小值為

圖7圖8

7、如圖8,一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，A,B處距河岸的距離AC,BD分別為500m和700m,

且CD=500m,天黑前牧童從A處將馬趕到河邊去飲水后再回家，那么牧童最少要走m。

盤點(diǎn)題組三：四邊形的性質(zhì)

8、如圖9,E、F、M、N是正方形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA上可以移動(dòng)的四個(gè)點(diǎn)，每組對(duì)

邊上的兩個(gè)點(diǎn)，可以連接成一條線段。

⑴如圖10,如果EF〃BC,MN〃CD,那么EFMN（位置），EFMN（大小）

⑵如圖11,如果E與A,F與C,M與B,N與D重合，那么EFMN（位置），EFMN

⑶當(dāng)點(diǎn)E、F、M、N不再處于正方形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA特殊的位置時(shí)，猜想線段

EF、MN滿足什么位置關(guān)系時(shí)，才會(huì)有EF=MN,畫出相應(yīng)的圖形，并證明你的猜想。

盤點(diǎn)題組三：一次函數(shù)的綜合運(yùn)用

（-）一次函數(shù)與面積問題:

44444

9、直線丁=-gX+4與y軸交于點(diǎn)A,與直線y=^x+1交于點(diǎn)B,且直線y=yX+y與X軸交

于點(diǎn)C,則A48C的面積為

10、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸,y軸分別交于

A（3,0）,B（0,百）兩點(diǎn)，，點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作

CDLx軸于點(diǎn)D。

（1）求直線AB的解析式；

4Ji

⑵若S梯形OBCD='~~—，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

(二)一次函數(shù)與實(shí)際問題：

11、某校部分住校生，放學(xué)后到學(xué)校鍋爐房打水，每人接水2升，他們先同時(shí)打開兩個(gè)放水籠頭，

后來因故障關(guān)閉一個(gè)放水籠頭.假設(shè)前后兩人接水間隔時(shí)間忽略不計(jì)，且不發(fā)生潑灑，鍋爐內(nèi)的余

水量y(升)與接水時(shí)間x(分)的函數(shù)圖象如圖。

請(qǐng)結(jié)合圖象，回答下列問題：

(1)根據(jù)圖中信息，請(qǐng)你寫出一個(gè)結(jié)論；

(2)問前15位同學(xué)接水結(jié)束共需要幾分鐘？

(3)小敏說：“今天我們寢室的8位同學(xué)去鍋爐房連續(xù)接完水恰好用了3分鐘."你說可能嗎?請(qǐng)說

明理由。

「(升)

(三)一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)

12、點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直于x軸于點(diǎn)N,少軸上是否存在點(diǎn)P,使

△MNP為等腰直角三角形.小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到(一1,1)時(shí)，y軸上存在點(diǎn)P(0,1)，此

時(shí)有MN=MP,能使ANMP為等腰直角三角形.那么，在y軸和直線上是否還存在符合條件的點(diǎn)P和

點(diǎn)M呢？請(qǐng)你寫出其它符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

13、在如圖14所示的直角坐標(biāo)系中，口力8。。的點(diǎn)A(4,0)、B(3,2).點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以2單位/秒的

速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，以1單位/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),

另一點(diǎn)也隨之停止.過點(diǎn)Q作QNJ_x軸于點(diǎn)N,連結(jié)AC交NQ于點(diǎn)M,連結(jié)PM.設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為t秒

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為______________,

(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________________(用含t的代數(shù)式表示).

⑶求APMA的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。川

C______________QB

oPNA

圖14

3

14、如圖，直線1：y=]X+3交x軸、y軸于A、B點(diǎn)，四邊形ABCD為等腰梯形，BC〃AD,且D

點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)。

(1)求：A、B,C點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若直線1沿x軸正方向平移m個(gè)(m>0)單位長度，與AD、BC分別交于N、M點(diǎn)，當(dāng)四邊

形ABMN的面積為12個(gè)單位面積時(shí)，求m的值;

(3)如果B點(diǎn)沿BC方向，從B到C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度,A點(diǎn)同時(shí)沿AD方向，從A

到D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度，經(jīng)過n秒的運(yùn)動(dòng)，A到達(dá)A，處，B到達(dá)B，處，問：是否能使得

AB，平分/BBD?若能，請(qǐng)求出n的值；若不能，請(qǐng)說明理山。

第二講：分解因式方法之一提取公因式法

—、知識(shí)精講：

1、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)

多項(xiàng)式分解因式。

(1)對(duì)分解因式概念的理解

①分解因式的對(duì)象是多項(xiàng)式(為什么不是單項(xiàng)式？)

②分解因式的結(jié)果必須是次數(shù)低于原多項(xiàng)式的幾個(gè)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的乘積形式

③分解因式必須分解到每個(gè)因式不能再分為止

(2)分解因式的作用

分解因式是一種重要的代數(shù)恒等變形，它有著廣泛的應(yīng)用，常見的用途有化簡多項(xiàng)式和進(jìn)行簡

便運(yùn)算，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用分解因式，?？梢允褂?jì)算化繁為簡，為我們今后的學(xué)習(xí)帶來很大的方便。

2、因式分解與整式乘法的關(guān)系

整式運(yùn)算和因式分解是互為相反的變形(能否是互為相反的運(yùn)算)可表示為：

整式乘法

I--------------

a(b+c)=ab+ac

因式分解

3、分解因式的方法之一提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，可以把公因式提到括號(hào)外

面，將多項(xiàng)式寫成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。(公因式：一個(gè)多項(xiàng)

式每項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。)

4、使用提取公因式法應(yīng)注意幾點(diǎn)：

(1)提取公因式法僅適用于整式中的多項(xiàng)式，以后我們?cè)诜质交蚱渌鷶?shù)式的變形中也是要用到

提取公因式的思想，那是使用了換元法后的變形，以后再講。

(2)提取的“公因式”可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式，是一個(gè)整體。

(3)用提取公因式法因式分解，最后必須寫成兩個(gè)或幾個(gè)整式乘積的形式。

(4)公因式必須是多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都有的因式，在提取公因式時(shí)，要把這些公共的因式全部找出

來，并提到括號(hào)外面去，才算完成了提取公因式這件事。

(5)對(duì)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)的數(shù)字系數(shù)，在提取時(shí)要提出這些數(shù)字系數(shù)的最大公約數(shù)，各項(xiàng)都含有

相同的字母，要提取相同字母的指數(shù)的最低指數(shù)。

5、關(guān)于分解因式的?些原則：

(1)提公因式優(yōu)先的原則.即一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)若有公因式，分解時(shí)應(yīng)首先提取公因式。

(2)分解徹底的原則.即分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都再不能分解為止。

(3)首項(xiàng)為負(fù)的添括號(hào)原則.即如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先添上帶“一”號(hào)的括號(hào)，并遵循

添括號(hào)法則。

(4)相同因式以騫的形式表達(dá)的原則.即分解結(jié)果中的相同因式，要表達(dá)成該因式塞的形式。

(5)因式內(nèi)部化簡的原則.即當(dāng)分解后因式內(nèi)部含有整式加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)去括號(hào)并合并同類項(xiàng)。

二、典例精解：

考點(diǎn)一：因式分解的定義

例1、判斷下列幾個(gè)變形是否為因式分解的結(jié)果？

(1)2a2xy=2a2-xy(2)x4+3x2+1=x2(x2+3)+1

(3)3mn2—6m2n=mn(3n—6m)(4)ab-ac+a=a(b—c)

點(diǎn)評(píng)：(1)因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式而言的，其分解結(jié)果必須是整式的乘積形式;

(2)一般地，提取公因式后，括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式必須滿足：

①再無公因式可提；②其項(xiàng)數(shù)和原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

變式議練：

(1)下列各式是因式分解的是()

A.6x2y=2x3xyB.x2-y2+1=(x+y)(x-y)+l

C.2x2-4xy=x(2x-4y)D.a2+2ab+b2=(a+b)2

(2)(m+2n)(m-2n)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果()

A.m2+4n2B.-m2+4n2C.m2-4n2D.-m2-4n2

(3)把多項(xiàng)式x?+2x-3分解因式得()

A.x(x+2)-3B.(x+I)2-4

C.(x-2)(x+2)+(2x+1)D.(x-l)(x+3)

考點(diǎn)二：因式分解與整式的乘法的互逆運(yùn)用

例2.已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x?+x+m分解因式為(3x—2)(x+l)

(1)求m的值；

(2)將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

變式議練：

(1)判斷：下列變形哪些是整式乘法，哪些是因式分解。

①(x+2)(x+3)=x2+5x+6()

②9xyz-6x2y2=3xy(3z-2xy)()

@x2-6x+9=(x-3)2()

④-3xn(2-xn)=-6xn+3x2n()

(2)(a+2)(a-l)=a2+a-2的左邊是表示與相乘，運(yùn)算后其結(jié)果是,

這是運(yùn)算。

(3)a2+a-2=(a+2)(a-1)是把多項(xiàng)式化為與的積的形式，這

是?

(4)若a+b=2,ab=l則代數(shù)式aM+aj=。

(5)根據(jù)乘法運(yùn)算：(m+4)(m-4尸n?_16,(x+2)(x+3)=x2+5x+6,

(y+3)2=y2-6y+y直接寫出下列各多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果：

m2-16=;y2-6y+9=;x2+5x+6

(6)已知：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式3xLmx+n因式分解的結(jié)果為(3x+2)(x-1)，求m、n的值。

考點(diǎn)三：分解因式方法1-一提公因式法

例3、把下列各式分解因式：

(1)4ax+6ay—?8az(2)—12m，n2—8m2n3+2m2n2

點(diǎn)評(píng)：(1)當(dāng)多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，則取系數(shù)是負(fù)數(shù)的公因式；

(2)提出系數(shù)為負(fù)數(shù)的公因式時(shí)，需把留在括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式的各項(xiàng)都變號(hào)。

例4、把下列各式分解因式：

(1)3m(a+b)—2n(a+b)(2)4a(2p—q)3—3a2(2p—q)2+2a3(2p—q)

點(diǎn)評(píng)：(1)“把a(bǔ)+b,2p—q看成是?個(gè)整體”，體現(xiàn)了換元思想的應(yīng)用；

(2)公因式可以是單項(xiàng)式，可以是多項(xiàng)式，也可以是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積，注意看清(2)題中

公因式是由單項(xiàng)式a和多項(xiàng)式2p-q的乘積構(gòu)成，要一次提出，以免漏提。

例5、把下列各式分解因式：

(1)m2n(a—b)+2mn(b—a)(2)(x—y2)2—ia(y2,—x)'1

點(diǎn)撥：(1)對(duì)表面上沒有公因式的多項(xiàng)式，利用其互為相反數(shù)的條件，轉(zhuǎn)化成含有公因式的式子來

完成因式分解是一項(xiàng)基本技巧。其一般原則是：①首項(xiàng)一般不化成含負(fù)號(hào)的形式；②對(duì)同時(shí)含有奇

次項(xiàng)和偶次項(xiàng)的多項(xiàng)式，一般將偶次項(xiàng)的底數(shù)化為它的相反數(shù)的形式，這樣可使多項(xiàng)式各項(xiàng)的符號(hào)

不變。(2)提公因式后，當(dāng)括號(hào)中的某項(xiàng)為1時(shí)，不要漏掉此項(xiàng)。

例6、分解因式：a2b(c—3)+ab2(3c—c2)

點(diǎn)評(píng)：提取公因式時(shí)要把多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的公因式全部提出來，才算完成了用提取公因式法進(jìn)行因

式分解的任務(wù)，本例中c—3與3—c不是公因式，要變形為c—3與一(c—3),此時(shí)c-3是公因式，

或變形為一(3—c)與(3—c)。此時(shí)3—c是公因式，這是一種常見的變形手法。

例7、分解因式：(X+y)mT(y—Z)n-(X+y)m(y—Z)nT

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一個(gè)基，如果指數(shù)是數(shù)字，我們很容易看到它的公因式，如果指數(shù)是一字母，則要想到

騫的運(yùn)算法則。視(x+y)m=(x+y)m」(x+y)；(y-z)n=(y-z)nT(y-z)就能找到公因式。另外，對(duì)于多項(xiàng)

式一x—z。通常還要提“一1”到括號(hào)外，因式分解才算完成。即一x—z=—(x+z)。

二、思維拓展訓(xùn)練：

1.已知a+b=2,ab=2,求代數(shù)式a2/,+2a2b2+/2的值。

3

變式議練：

1、已知ab=8,且。-。+6=56,求+62的值。

,+4-2x2n

2、（IT杯賽）化簡

2X2/3

32006_32007

變式議練：（1）利用分解因式計(jì)算^~U—

（2）817-279-9,3能被45整除嗎?試說明理由。

3、觀察下列等式。(1+1)(1+3)+1=3?

(2+1)(2+3)+1=42

(3+1)(3+3)+1=52

設(shè)n為自然數(shù)，用含n的等式表示上面等式反映的規(guī)律。

變式議練：如圖：由個(gè)邊長為a的小正方形與兩個(gè)長、寬分別為a、b的小矩形拼接成一個(gè)矩形,

則整個(gè)圖形可表達(dá)出一些有關(guān)多項(xiàng)式分解因式的等式，請(qǐng)你寫出其中能夠表示其中意義的等式。

三、課堂挑戰(zhàn)：

1.下列各式從左到右的變形哪些是分解因式，哪些不是？

(1)x2+x=x2(l+—)；(2)a2-26=(a+5)(a-5)-1；(3)(m+n)(m-n)=m2-n2；

x

(4)x2+4x+4=(x+2)2；(5)3x2-2xy+x=x(3x-2y)<,

2.下列各式從左到右變形錯(cuò)誤的是()

(A)(y—x)2=(x—y)2(B)-a-b=-(a+b)(C)(a—b)3=-(b—a)3(D)—m+n=-(m+n)

3.下列各式從左到右的變形，是分解因式的是()

(A)(a+3)(?-3)=a2-9(B)a2+2ab+b2=(a+b)2

(C)a2-4a-5=(a-2)2-9(D)a2—4?-5=a(a-4)-5

4.要使式子-7"-14Mx+49“勿=-7/()的左邊與右邊相等，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的式子是

()

(A)-l+2x+7^(B)-l-2x+ly(C)\-2x-7y(D)\+2x-1y

5.下列從左邊到右的變形中是分解因式的個(gè)數(shù)是()

①15x2y=3x-5^;?[a+b)(a-b)=a2-b2；@a2-2tz+1=(a-1)2；?x2+3x+l=x(x+3+-)

x

(A)l個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

6.填空：=—2x(3a+2b+c)

7.把下列各式分解因式：

(3)-2a2n-4an(4)\2xinym-i8xny2n,

8.把下列各式分解因式:

(1)(他+〃)(p+夕)一(初+〃)(p-q)(2)mn{m-ri)-m{n-m)

(3)lOa(x-y)2+5b(y-x)(4)a[x-y)2(x+y)-bc(y-x)3

(5)a{x-a)+b(a-x)-c(x-a)(6)3xw+l(l-x)+2(xn+1-xn)

課后測控：

1.判斷下列從左到右的變形是否是分解因式，說明理由。

(1)(<7+b)(a—b)—a2—b1(2)x2-y2+4y-4=(x+y)(x-y)+4(y-1)

94

(3)(q+6)2—2(Q+6)+1=(Q+6—I)?(4)x—5x+4=x(x—54—)

2,填空：

(1)2(x-3)-x2(x-3)=(x-3)()(2)a(m-n)3-b(n-w)3=(w-n)3()

121

(3)-4p2q+Spq-\6pq2=-4pq(.)(4)-x-產(chǎn)=()(3x-2y)

3.把下列各式分解因式：

(1)3x(x-歹)3-6y(y-x)3(2)4q(。-6)3-66(6-a/

(3)6t(x-2)+b(x-2)+c(2-x)(4)x2y2(m-n)-xy(n-m)

4.把下列各式分解因式：

(1)5(Q-1)2(3Q-2)+(2-3Q)(1-Q)(2)2(x+y)(x+y-z)+3(y-x)(z-x-y)

(3)-ab(a-b)2-\-a(b-a)2-ac(a-b)2(4)18X2(X-2^)2-24xy(2y-x)2-12x(2y-x)3

(5)ambn-anbm(m<ri)(/6八)-oox2w+lym+2+.2c8oxw+1y2〃?+4

5.利用分解因式計(jì)算：

(1)53.6x1.6+18.4x53.6-20x53.6(2)39x37-13x34

⑶32004+6x32003-32005(4)20052-2005x2004+2004x2003-20042

6.先分解因式，再求值。

93

(2x+1)2(3x-2)-(2x+l)(3x-2)-x(2x+1)(2-3x),其中％=/。

2

7.解方程：(X-2)(x+3)+(2-x)-(x-2)(2x-3)=0o

8.205.75+；x(—2.25)+；x6.5能被35整除嗎？說明理由。

第三講：分解因式方法之二一運(yùn)用公式法

一、知識(shí)精講：

1、平方差公式：a--b2={a+h\a-b).

完全平方公式：a2±2。6+/)2=(Q±6)2。

立方和、差公式：/±Z?3=(<7±協(xié)面干+/)

2、運(yùn)用公式法分解因式，必須從項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、系數(shù)、符號(hào)兒個(gè)方面去理解和掌握每一個(gè)公式的特征.能

用各公式分解的多項(xiàng)式，其特點(diǎn)分別是：

(1)平方差公式：系數(shù)能平方，指數(shù)要成雙，減號(hào)在中央。即如果多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)的符號(hào)

相反，而且每項(xiàng)都可以寫成完全平方的形式，就可以用平方差公式分解。

(2)完全平方公式：首平方，尾平方，積的二倍加(減)在中央。即如果多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式，其

中有兩項(xiàng)的符號(hào)相同，且都是一個(gè)數(shù)或式的完全平方，另外一項(xiàng)是那兩項(xiàng)中數(shù)或式乘積的二倍，就

可以用完全平方公式分解，運(yùn)用完全平方公式分解因式時(shí)，要根據(jù)二倍積項(xiàng)的符號(hào)來確定運(yùn)用哪個(gè)

公式。

3、各公式中的字母既可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，在運(yùn)用公式法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分

解時(shí)，要根據(jù)其特點(diǎn)，進(jìn)行公式的選擇。

4、分解因式的步驟、方法及結(jié)果檢查，可總結(jié)成以下口訣：首先提取公因式，然后考慮用公式，兩

種方法反復(fù)試，提凈、分完連乘式。

二、典型例題講解及思維拓展：

考點(diǎn)一、直接運(yùn)用公式

例1、(直接運(yùn)用平方差公式)把下列各式分解因式：

(1)—>4(2)1-0.25加

點(diǎn)評(píng)：(1)把/看作是(/)2是逆用了幕的乘方公式,也就是運(yùn)用了公式“加=(/，)",

而把4/看作(2a)2,0.25/〃2看作(05”〃)2是逆用了積的乘方公式(4)"="%",而靈活運(yùn)用公

式是解題中所必須掌握的基本技巧。

(2)平方差公式中a,6可以是數(shù)、字母或數(shù)與字母的乘積，在此進(jìn),步體現(xiàn)了換元思想的應(yīng)用。

變式議練：把F列各式分解因式

44

(1)25--49/(2)4(2a+3b)2_(3。-爐⑶16/?-8U

點(diǎn)評(píng)：要注意對(duì)因式分解結(jié)果的檢查，做到分解徹底，用完全平方公式分解后，還可以再用平方差

公式分解因式。

例2、(直接運(yùn)用完全平方公式)把下列各式分解因式：

2G

m222422

(1)-----\-n——mn⑵一a2b2+2abc-c(3)(—―4x)+8(X-4x)+16

93

點(diǎn)評(píng):如果所給多項(xiàng)式是關(guān)于某一字母的二次三項(xiàng)式,一般考慮用完全平方公式進(jìn)行因式分解，分

解時(shí)，要先按同一字母降基排列。

變式議練：把下列各式分解因式:

(1)42中一49%2-9/(2)2442b2-6(/+/)2

（3）把9（。一6）2-12（/一尸）+4（。+6）2分解因式。

點(diǎn)評(píng)：（1）在使用完全平方公式時(shí)，要保證平方項(xiàng)前的符號(hào)為正，當(dāng)平方項(xiàng)前的符號(hào)是負(fù)號(hào)時(shí)，先

提出負(fù)號(hào)。

（2）多項(xiàng)式若有公因式，則先考慮提取，使多項(xiàng)式簡化，以便觀察分解策略。

考點(diǎn)二、先提公因式后再用公式

例3、把下列各式分解因式：

（1）3ax2-3ay2（2）5a4m2-5b4

變式議練：把a(bǔ)'-。分解因式。

點(diǎn)評(píng):分解時(shí)一定要分徹底,而不能只分到“（/+1）（/_1）。

考點(diǎn)三、因式分解在計(jì)算中的運(yùn)用

例4、計(jì)算

(1)(1—^*)(1—…(1------T)(2)-101X190+1012+952

2232102

點(diǎn)評(píng)：利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的計(jì)算，可使運(yùn)算簡便。

(99+814)X22

變式議練：（1）(2)200lx20022002-20012001x2002

(317+315)X8

，、、》19973-2.19972-1995

(3)計(jì)算:------r------5-------（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（提示：用字母表示數(shù)后再分

19973+19972-1998

解因式。）

考點(diǎn)四、代數(shù)式求值

例5、已知。+6=1,。2+/=2,求/+〃的值。

變式議練：（1）a+'=3,求“2+3

aa~

（2）己知x+y=3,x2+/一xy=4求x'+y'+x'y+xy3的值（江蘇省競賽試題）

（3）當(dāng)a、b為何值時(shí),代數(shù)式a2+b?+2a-4b+6的值最??？最小值是多少?

思維拓展訓(xùn)練：

（3x+2y=402A2

例6、已知％和〉滿足方程組j6x-4”=3'求代數(shù)式"1一4y的值。

解法1：

解法2：

點(diǎn)評(píng)：解法一是最基本的方法，容易想到，但計(jì)算較繁.解法二利用了分解因式的知識(shí)，比較巧妙,

但不容易想到.所以，要想解題又快又準(zhǔn)，必須熟練掌握所學(xué)過的知識(shí)，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

例7、已知：a2+b2=c2+d2=1,求證：（ac-bd）2+（ad+6c）2=1。

點(diǎn)評(píng)：利用因式分解可以證明代數(shù)問題。

變式議練：

（1）已知a、b^c^d為非負(fù)整數(shù)，目ac+bd+ad+bc=1997求a+b+c+d的值（江蘇省競賽題）

⑵已知x4+x3+x2+x+l=0求1+X+X?+X3+X4+……X2004的值。（五羊杯競賽試題）

例8、已知不等邊三角形ABC三邊長為整數(shù)a、b、c,且滿足a2+b2-4a-6b+13=0，求c的長。

變式議練：（1）已知a、b、c,是AABC的三邊，且滿足a?+b2-8a-6b+25=0,求AABC

中最小邊c的取值范圍。

（2）己知a、b、c是AABC的三邊，且滿足a2+b?+c2=ab—be-ca,試判斷三角形的形狀。

1

例8、計(jì)算（1）-—+--1-+1---+....+-1----

2x44x66x818x20

(2)——J——+1----------+...+1------------

x(x+2)(x+2)(x+4)(x+16)(x+18)

三、課堂挑戰(zhàn)：

1.（泉州市中考題）分解因式：X2-9=____________________________

2.（荊州市中考題）分解因式：X3^3-2X2^2+AY=

3.（常德市中考題）分解因式：。3_。=。

4.（四川省中考題）4x2_1=。

5.（十堰市中考題）填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：X2-4X+=（x-）2

6.（眉山市中考題）分解因式：x3-4x2+4x=。

7.（綿陽市中考題）在有理數(shù)范圍內(nèi)，下列各多項(xiàng)式能用公式法進(jìn)行因式分解的是（）

77221212

A.a-6aB.a-ab+bc.a-ab+-bD.A---ah+b

44

32

8.（沈陽市中考題）分解因式％一肛=。

9.（上海市中考題）分解因式a-2a=。

10.（寧波市中考題）分解因式2%2—18=。

11.把下列各式分解因式：

（1）64472-1（2）4m2-9/72（3）（x+y）2-9〃2

（4）a2b3-4a2b（5）121（2%+j）2-144（x-2y）2

12.將下列各式分解因式：

（1）l+2m+m2（2）a2b~—24aZ>+144

(3)49-14(x-y)+(x-y)2(4)4x2y2-(x2+y2)2

13.將下列各式分解因式:

(1)—y2-0.36%2(2)2a2~—b~

81-2

233m+XnmXn+1

(3)9m(a-b)+49(/>-a)(4)ab-a-b(m、n均為正整數(shù))

14.已知9--12。6+8。2-4bc+2c*-4c+4=0,求。、b、c的值。

15.如圖，大小兩圓的圓心相同，這兩個(gè)圓叫同心圓，它們圍成的圖形（圖中陰影部分）叫做環(huán)形,

已知兩個(gè)同心圓的半徑分別是7.25cm,2.75cm,求它們圍成的環(huán)形面積。（萬取3.14）

16.試說明任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積加1為一個(gè)完全平方數(shù)。

四、課后測控:

一?填空：

4x2=()29利6〃4=()20.25a2bl6=(/

2

5x^6=()281(x+y)2=()a\x-y)2^(/

10

二.填空：

(1)x2-_+9y2=(x-)2(2)x2++36=(_+—)2

(3)m2++49/72=(m+)2(4)-x2+-y2+=(-)2

94---------------

(5)25a2b2_+9c2d2=(__)2(6)——x2~y2-—()2

三.判斷下列分解因式是否正確.

(1)4/-1=(4。+1)(4。-1)(2)-1+49m2=(l+7w)(l-7/w)

422

(3)—a~b~—9x~———(cih+3x)(tzZ>—3x)(4)1-x=(l+x)(l-x)

22

(5)%+y=(x+>)(x->)

四.選擇題:

（i）下列分解因式錯(cuò)誤的是（）

A.1-4/=(1+40(1-4a)B.x2-l-(x+l)(x-l)

4222222

C.a-bc=(t/+bc)(a-be)D.-O.Olw+-w=(-—?+-w)(—n+-w)

9103103

（2）若25%2—30x+m2是一個(gè)完全平方式，則，〃的值等于（）

A.3B.-3C.9D.3或一3

（3）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）

2

A.x2+2xy-y2B.-x2+2xy+y2C.—~xy+yD.x+xy+y

（4）分解因式的結(jié)果為（.+2）（川-2）的多項(xiàng)式是（）

699

A.b-4B.4-薩c.b-4D.4-b

112

（5）已知x為任意實(shí)數(shù)，則多項(xiàng)式x-l-.x的值為（）

A.一定為負(fù)數(shù)B.一定為正數(shù)C.不可能為正數(shù)D.可能為正數(shù)或負(fù)數(shù)或零

2x2-4y2.（-w）2-（-w）2一；》2+2、2能用平方差公式

（6）下列多項(xiàng)式-49/）2；;

分解的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（7）下列多項(xiàng)式不能分解因式的是（)

124i

A.-a~b"—1B.4—0.25/M4C.1+。D.-a+i

⑻多項(xiàng)式x2+2y2,x2-j；2,-x2+^2,一萬2一產(chǎn)中，能用平方差公式分解的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(9)下列各式中，可以表示為完全平方式的有()

①a2+ab+62；②4a2+4a+1.③a"-b~+2ab；(4)-4a?+12a-9Z)~

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

(10)下列各式分解因式的結(jié)果是一(a+3)(a—3)的是()

A.a~-9B.a2+9c.-a2-9D.-a2+9

五.把F列各式分解因式:

22

(1)-m-An+4加〃(2)—91+18x?—9x

(3)(m+n)-2p(m+〃)+p；(4)(x2-2x)2+2(x2-2x)+1

第四講：分解因式方法之三分組分解法與十字相乘法

一、知識(shí)點(diǎn)精講：

1、分組分解法：

用分組分解法來分解的多項(xiàng)式一般至少有四項(xiàng)，分組不是盲目的，要有預(yù)見性.也就是說，分組后

每組之間必須要有公因式可提取，或者分組后可直接運(yùn)用公式。

2、十字相乘法：

1)、使用十字相乘法把二次三項(xiàng)x2+pr+q因式分解，如果常數(shù)項(xiàng)g分解成。、b兩個(gè)因數(shù)的積，

并且a+b等于一次項(xiàng)系數(shù)P，那么二次三項(xiàng)式X?+px+q=x2+(o+b)x+ab=(x+a)(x+b)

2)、使用十字相乘法把二次三項(xiàng)式。/+bx+c分解因式，如果二次項(xiàng)系數(shù)“分解成田、的，常數(shù)

項(xiàng)c分解成，、。2；并且%。2+。2cl等于一次項(xiàng)系數(shù)6,那么二次三項(xiàng)式：

2o

ax+bx+c=aAa2x+{aAc2+a2c1)x+clc2=(alx+c1)(a2x+c2)

借助于畫十字交叉線排列如下：

&2C2

3、復(fù)習(xí)

1)、因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解.因式分解是整式乘

法的逆運(yùn)算.

2）、因式分解的方法:

①提公因式法：ma+mb+mc=m{a+b+c).②運(yùn)用公式法:

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).完全平方公式：a2+2ab+h2=(a+b)2

③十字相乘法：

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

a[a2X+(。1。2+12。1=(。]%+。1)(。2%+。2)

④分組分解法：將多項(xiàng)式適當(dāng)分組，再選擇上面提到的方法進(jìn)行分解。

3）、因式分解的一般步驟：

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；

②提取公因式以后或沒有公因式，再考慮公式法或十字相乘法；

③對(duì)二次三項(xiàng)式先考慮能否用完全平方公式，再考慮能否用十字相乘法；

④用以上方法不能分解的三項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，考慮用分組分解法。

4）、說明：

①因式分解要進(jìn)行到不能再分解為止；

②結(jié)果中相同因式應(yīng)寫成黑的形式；

③根據(jù)不同多項(xiàng)式的特點(diǎn)，靈活的綜合應(yīng)用各種方法分解因式是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因此掌握好因

式分解的概念、方法、步驟是學(xué)好本章的關(guān)鍵。

二、典型例題講解及思維拓展:

考點(diǎn)一、分組分解的常見方法與技巧:

1、四項(xiàng)分組（有兩種方法）

①三項(xiàng)和一項(xiàng)例1、a2+2ab+b2—c2

△△△△=(a2+2ab+b2)—c2

完全平方平方=(a+b)2—c2

=(a+b+c)(a+b-c)

②兩項(xiàng)和兩項(xiàng)例2、a2—b2—a—b

△△△△(a2-b-)—(a+b)

能提公因式或用兩項(xiàng)的公式=(a+b)(a-b)—(a+b)

=(a+b)(a-b—1)

(2)五項(xiàng)分組(兩種分法)

①三項(xiàng)和二項(xiàng)例3、a2+2ab+b2+ac+be

△△△△△=(a+b)2+c(a+b)

二次三項(xiàng)式公因式或兩項(xiàng)公式=(a+b)(a+b+c)

②兩項(xiàng)和兩項(xiàng)和一項(xiàng)例4、a2—b2+a—5b—6

△△△△△=(a2-b2)+(a-5b)—6

平方差一次項(xiàng)常數(shù)=(a+b)(a-b)+a-5b-6

=(a+b+3)(a-b-2)

(a+b)3

(a—b)—2

3(a-b)-2(a+b)=a—5b

(3)六項(xiàng)分組(三種分法)

①三項(xiàng)和三項(xiàng)例5^a2—b?+2ax—2by+x2—y2

△△△△△△=(a2+2ax+x2)—(b2+2by+y2)

二次三項(xiàng)式二次三項(xiàng)式=(a+x)2-(b+y)2

=(a+x+b+y)(a+x-b-y)

②三項(xiàng)、兩項(xiàng)和一項(xiàng)仞J6、x2+xy-2y2-x+7y-6

△△△△△△=(x2+xy-2,)-x+7y-6x+2y

二次三項(xiàng)式一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)=(x+2y)(x-y)-x+7y-6x

=(x+2y-3)(x-y+2)2xy-xy=xy

(x+2y)-3

(x?y)+2X

2x+4y-3x+3y=-x+7y

以上方法即''雙"十字相乘法

③兩項(xiàng)兩項(xiàng)兩項(xiàng)例7、ax-ay+x2-『+x-y

△△△△△△=(ax—ay)+(x2-y2)+(x-y)

兩項(xiàng)中有公因式或能用兩項(xiàng)的公式=a(x十)+(x+yXxp>+<x-y)

=(x—y)(a+x+y+])

變式議練：把下列各式分解因式

、、2323

1X?—22+3x-62、axy-ax-axy-^-ay

、x2-4xy+4y2-4z2

34、x2+y2-2xy+ax-ay

5、x2+3xy+2x+2y2+4y6、m2-n2-m+9n-20

7、a2b2+1-2ab+2xy-x2-y28、2x2+7xy-15y2-4x+19y-6

9、a2-b2+ax+bx+a+b10、6X2+xy-y2+x+3y-2

11x2-2xy+y2-2x+2y-t-112、2x2-xy-3y2-5x+15y-1213>2x2+7xy+6y2-4x-7y+2

考點(diǎn)二、十字相乘法的常見方法與技巧:

1、形如：X2+(a+h)x+ab

例2、(1)x2+9x+8；(2)x2-9x+8；(3)x2-6x+8；(4)x2+6x+8

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí)，把它分解成兩個(gè)同號(hào)的因數(shù)，并且符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；二次

三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)分解因數(shù)有多種情況，由這兩個(gè)因數(shù)的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)來決定取舍，若相等

則取之。

變式議練：用十字相乘法分解下列各式的因式。

(1)X2+5X+6(2)X2-5X+6(3)x2-5x-6(4)x2+5x-6

(5)x2—x-6(6)x2+x—6⑺x?+7x+6(8)X2-7X+6

2、形如：a1/%?+(a?2+

例3、將下列各式分解因式：

(1)5x~+6x—8(2)5x~—39x—8(3)6x?—x—2.(4)3x?—4x—15

點(diǎn)評(píng)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，分解因數(shù)及十字相乘都有多種情況產(chǎn)

生，往往要經(jīng)過多次嘗試，，直到滿足條件為止。

(2)一般地，二次項(xiàng)系數(shù)只考慮分解為兩個(gè)正因數(shù)的積。

變式議練：將下列各式分解因式：

(1)5x2+13xy—6y2(2)3x2—1Ixy—14y2(3)4p2q2+15pq+9(4)(x+y)2—4(x+y)+3

思維拓展訓(xùn)練：

例4、將下列各式分解因式：

1、(x-y)2-3(x-y)+22、an+3-22an+i-75an-x3、x2-y2-6x-4y+5

點(diǎn)評(píng)：1、在1題中，把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，事實(shí)上運(yùn)用了換元的思想方法，此處不必把換元

的過程寫出來。

2、指數(shù)中含有字母的多項(xiàng)式分解因式時(shí)，若有公因式要提，應(yīng)比較相同字母的指數(shù)的大小，提出的

公因式中這個(gè)字母的指數(shù)取最小的。

變式議練：分解下列各式的因式

22

⑴【Ox’-23x2/-5y4(2)10(x+y)-23(x+y)-5(3)1Ox-23x7-5/+13x+8y-3

例5、把下列各式分解因式：

(1)(x?+2x)+2x-3)—40(2)(x-1)X(JC+1)(x+2)-24

點(diǎn)評(píng)：使用換元法(或換元思想)把原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，再應(yīng)用十字相乘法進(jìn)行分解,

這種辦法是通過換元，達(dá)到化繁為簡，便于選準(zhǔn)方法分解因式，但是必須注意將所設(shè)代回后還要看

是否還能繼續(xù)分解，如果能，必須分解徹底。

例6、(1)已知x+y=；,x+4y+2=0.求3x2+15xy+12/的值。

(2)若a2+5ab—6b2=0(a，b),求———的值。

3a+3b

(3)已知4012+1211111+9口2——601——911=0,且201+31#3.求3(m——3n)3+27m2(3n