PAGE18-江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.命題“R，”的否定是（）A.R， B.R，C.R， D.R，【答案】A【解析】【分析】依據(jù)命題的否定規(guī)則進(jìn)行推斷【詳解】命題“R，”的否定是R，。故選：A.【點(diǎn)睛】此題是簡(jiǎn)潔題，考查基本概念。2.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的定義求得?！驹斀狻侩p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，故選：B.【點(diǎn)睛】此題是簡(jiǎn)潔題，考查雙曲線(xiàn)的基本定義。3.“M＜N”是“”（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是單調(diào)性可推斷?！驹斀狻咳?，則，故可以推出若，不能推出，比如不滿(mǎn)意，故選：C.【點(diǎn)睛】此題為簡(jiǎn)潔題，考查充分條件和必要條件的概念和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性。4.已知向量(，6，2)，(﹣1，3，1)，滿(mǎn)意∥，則實(shí)數(shù)的值是（）A.2 B.6 C.﹣2 D.﹣6【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量平行的性質(zhì)求解【詳解】因?yàn)椤危?，解得。故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5.已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，則△PF1F2的周長(zhǎng)是（）A.10 B.11 C.12 D.14【答案】D【解析】【分析】先算出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距，再結(jié)合橢圓定義算得周長(zhǎng)?！驹斀狻恳罁?jù)橢圓定義，到和的距離之和為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，而,故而三角形的周長(zhǎng)為。故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義，為基礎(chǔ)題。6.等差數(shù)列中，已知，，則的值是（）A.23 B.30 C.32 D.34【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知可以先求出首項(xiàng)和公差d，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出?！驹斀狻坑深}是等差數(shù)列，則有，，解得，，故.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。7.如圖，在三棱錐S—ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，點(diǎn)P，Q滿(mǎn)意，，SB＝3，PQ＝2，則異面直線(xiàn)PQ，SB所成角的大小是（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】先過(guò)點(diǎn)Q作SB的平行線(xiàn)，將異面直線(xiàn)PQ，SB所成角轉(zhuǎn)化為平面角，然后再利用三角學(xué)問(wèn)求得所成角的大小?！驹斀狻孔鰾C的三等分點(diǎn)R，使得BR=2RC，連結(jié)QR,PR。因?yàn)?所以且。PQ，SB所成角的大小為依據(jù)余弦定理，而又依據(jù)余弦定理所以，解得，故PQ，SB所成角的大小為.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查空間幾何，并且和解三角形綜合起來(lái)一起考，是一道綜合題。8.已知橢圓E：(a＞b＞0)，直線(xiàn)x＝與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓E的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直線(xiàn)x＝代入橢圓方程，可以得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，OA⊥OB并且直線(xiàn)x＝垂直于x軸，可知在三角形中，斜邊的高等于斜邊長(zhǎng)度的二分之一，再結(jié)合可得離心率e?！驹斀狻繉⒋氲?，又因?yàn)镺A⊥OB有.故離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率的定義，屬于簡(jiǎn)潔題。二、

多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，

共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.已知等比數(shù)列中，滿(mǎn)意，公比q＝﹣2，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.數(shù)列是遞減數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式逐個(gè)選項(xiàng)去驗(yàn)證即可?！驹斀狻恳?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，，故A錯(cuò)；，，于是，故是等比數(shù)列，故B正確；，故C正確；，是遞增數(shù)列，故D錯(cuò)。故選:BC.【點(diǎn)睛】此題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和與等比數(shù)列相關(guān)數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題。10.已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn)，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，則（）A.AP⊥AB B.AP⊥

BP C.BC＝ D.AP//

BC【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)向量的定義，平行，垂直和模長(zhǎng)的定義可以對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)推斷，進(jìn)而得出答案?！驹斀狻恳?yàn)?，故A正確；，，故B不正確；，，故C正確；，，各個(gè)對(duì)應(yīng)重量的比例不同，故D不正確。故選:AC?！军c(diǎn)睛】本題考查了向量平行和垂直的性質(zhì)等，屬于基礎(chǔ)題。11.已知p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，

q是s的必要條件，則（）A.p是q的既不充分也不必要條件 B.p是s的充分條件C.r是q的必要不充分條件 D.s是q的充要條件【答案】BD【解析】【分析】逐項(xiàng)列出每個(gè)條件，然后依據(jù)充分條件和必要條件的概念推斷即可?！驹斀狻恳?yàn)?，，，故，，故選:BD?！军c(diǎn)睛】此題考查充分條件和必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題。12.設(shè)P是橢圓C：上隨意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，則（）A.PF1＋PF2＝ B.﹣2＜PF1﹣PF2＜2C.1≤PF1·PF2≤2 D.0≤≤1【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)橢圓定義和向量的數(shù)量積運(yùn)算，逐一推導(dǎo)，將每個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證一下?！驹斀狻繖E圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，依據(jù)橢圓定義，故選A；設(shè)P是橢圓C的隨意一點(diǎn)，則，所以，B錯(cuò)誤；,而，所以，C正確；,又依據(jù)橢圓性質(zhì)有，所以，D正確。故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義和向量的數(shù)量積運(yùn)算，是一道不錯(cuò)的綜合題。三、填空題（本大題共4小題，

每小題5分，共計(jì)20分．其中第15題共有2空，第1個(gè)空3分，第2個(gè)空2分；其余題均為一空，

每空5分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13.準(zhǔn)線(xiàn)方程為的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，說(shuō)明拋物線(xiàn)開(kāi)口向左，且，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是．14.中國(guó)古代數(shù)學(xué)某名著中有類(lèi)似問(wèn)題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還．”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛，毎天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)其次天走了_______里．【答案】112【解析】【分析】由“毎天走的路程為前一天的一半”可知，這個(gè)人每天走的路程滿(mǎn)意等比數(shù)列的特點(diǎn)，且，公比，由此可解出，依據(jù)得出?！驹斀狻吭O(shè)第天走了步，又因?yàn)闅疤熳叩穆烦虨榍耙惶斓囊话耄?，依?jù)題意，故，解得，所以.故答案為：112【點(diǎn)睛】此題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，然后再用等比數(shù)列求和公式求解，屬于中檔題。15.已知橢圓C：(a＞b＞0)的焦距為2．準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝3，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______；直線(xiàn)與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則AB＝_______．【答案】(1).(2).【解析】分析】依據(jù)橢圓的定義和準(zhǔn)線(xiàn)方程可求得第一問(wèn)，聯(lián)立橢圓和直線(xiàn)方程再通過(guò)韋達(dá)定理計(jì)算可求得其次問(wèn)?！驹斀狻浚獾?，再解出，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。設(shè)A坐標(biāo)為，B坐標(biāo)為，直線(xiàn)AB的斜率為k。則聯(lián)立和消去得，化簡(jiǎn)得所以，。故.故答案為：(1)；(2)【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本概念還有直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的相交弦，屬于中檔題。16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，()，則＝_______．【答案】2024【解析】【分析】可以通過(guò)給出的遞推公式做差來(lái)求出此數(shù)列相鄰兩項(xiàng)和，最終湊出前n項(xiàng)和的形式，【詳解】因?yàn)椋视?，二者相減得，從而故答案為：2024【點(diǎn)睛】此題考查了一般數(shù)列的性質(zhì)，通過(guò)遞推公式來(lái)計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和，另外要留意n的奇偶性，此題給出的是n是偶數(shù)，假如是奇數(shù)，則簡(jiǎn)潔一些。此題屬于偏難題。四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知p：方程表示的曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；q：a≤m≤a＋2．（1）若命題p為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）p為真命題，那么有和成立，干脆解得m的取值范圍；（2）由充要條件可知，故包含于（1）中所求得的m取值范圍內(nèi)，解不等式即可得a的取值范圍?！驹斀狻拷猓海?）因?yàn)榉匠瘫硎镜那€(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，所以解得，所以命題為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，所以，故．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)以及簡(jiǎn)潔邏輯用語(yǔ)，分析題意細(xì)致求解即可。18.河道上有一拋物線(xiàn)型拱橋，正常水位時(shí)，拱圈最高點(diǎn)距水面

8m，拱圈內(nèi)水面寬

24m，一條船在水面以上部分高

6.5m，船頂部寬6m．（1）試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拱橋所在的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）近日水位暴漲了1.54m，為此，必需加重船載，降低船身，才能通過(guò)橋洞，試問(wèn)：船身至少應(yīng)當(dāng)降低多少?

（精確到0.1m）【答案】（1）直角坐標(biāo)系見(jiàn)解析，拱橋所在的拋物線(xiàn)方程是（2）0.6m【解析】【分析】（1）依據(jù)圖形建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出拱橋所在的拋物線(xiàn)方程，設(shè)拱橋與水面兩交點(diǎn)分別為，，由坐標(biāo)系可知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將其中一個(gè)代入拋物線(xiàn)方程，即可得；（2）依據(jù)船頂寬6m，可知船頂距離拱橋最高點(diǎn)的極限高度h，再由，可知船身應(yīng)降低高度?！驹斀狻拷猓海?）設(shè)拋物線(xiàn)型拱橋與水面兩交點(diǎn)分別為，，以垂直平分線(xiàn)為軸，拱圈最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)拱橋所在的拋物線(xiàn)方程為，因點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，代入解得，故拱橋所在的拋物線(xiàn)方程是．（2）因，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)水位暴漲1.54m后，船身至少應(yīng)降低，因精確到01m，故船身應(yīng)降低0.6m．答：船身應(yīng)降低0.6m，才能平安通過(guò)橋洞．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)性質(zhì)，是一道實(shí)際應(yīng)用題，難度不大。19.如圖，已知點(diǎn)E，

F分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)，求：（1）與EF所成角的大??；（2）與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，求出空間向量和的坐標(biāo)，再進(jìn)行計(jì)算可得兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到夾角；（2）依據(jù)空間坐標(biāo)先求出平面的法向量，再求法向量與所成的角，進(jìn)而可得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值。【詳解】解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以為單位正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，，．（1）因?yàn)?，，所以，，，由，因故向量與夾角為，因此，與所成角的大小為．（2），，，，因?yàn)椋?，所以，，又，所以平面，因此是平面的法向量；因?yàn)?，，，所以，，綜上，與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求異面直線(xiàn)的夾角，以及直線(xiàn)與平面所成角，是?？碱}型。20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)意()；數(shù)列為等差數(shù)列．且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求滿(mǎn)意不等式的n的最大值．【答案】（1），（2）9【解析】【分析】（1）依據(jù)等式，令，可求出，再當(dāng)≥時(shí)，由可得，再結(jié)合可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得和的值，進(jìn)而得到和的值，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，可求出公差d，然后得出數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）先依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再表示出，然后用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，最終推斷滿(mǎn)意不等式的n的最大值．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)≥時(shí)，，化簡(jiǎn)得．又，所以，因此，所以是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，即；又，，即，，所以，，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，故；（2）由（1）知是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故．若，即，即，可得，所以，綜上，使得的最大的的值為9．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題關(guān)鍵是，在其次問(wèn)中先運(yùn)用了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再進(jìn)行探討求出滿(mǎn)意條件的n的最大值，是一道?？嫉臄?shù)列綜合題。21.如圖，在三棱錐P—ABC中，PA＝3，PB＝PC＝，AB＝AC＝2，BC＝．（1）求二面角B—AP—C大小的余弦值；（2）求點(diǎn)P究竟面ABC的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）兩三角形和三邊都相等，則兩三角形全等，過(guò)B向AP邊做垂線(xiàn)，過(guò)C向AP邊做垂線(xiàn)交于點(diǎn)D，那么就是要求的二面角，依據(jù)已知邊長(zhǎng)和余弦定理可求出二面角大小的余弦值；（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，，在平面中作，垂足為，依據(jù)直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系，結(jié)合各邊的值以及余弦定理和正弦函數(shù)可得點(diǎn)P究竟面ABC的距離?！驹斀狻拷猓海?）在中作，垂足為，因?yàn)椋?，為公共邊，所以≌，又，所以，所以為二面角的平面角；又，所以，故的面積，所以，同理，在中，，所以，二面角大小余弦值為．（2）（法一）取中點(diǎn)，連結(jié)，，在平面中作，垂足為．因?yàn)?，所以．同理．又，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，，平面，平面，所以平面，因此，點(diǎn)究竟面的距離即為的長(zhǎng)；在中，，在中，，在中，，所以，，在中，，綜上，點(diǎn)究竟面的距離為．（法二）由（1）知，，又，，所以，則，在中，，，故.則.在中，，，則.設(shè)點(diǎn)究竟面的距離為，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查求二面角的余弦值，以及點(diǎn)到平面的距離，運(yùn)用了余弦定理等方法，題干中沒(méi)有給出三邊垂直的條件，故沒(méi)有用建系的方法進(jìn)行解答。22.如圖，點(diǎn)F為橢圓C：(a＞