蘇教版（2019）選擇性必修第二冊《第7章計數原理》2024年單元測試卷一、選擇題1．（5分）某人射擊7槍，擊中目標5槍，則擊中目標和未擊中目標的不同順序的情況有（）A．21種 B．20種 C．19種 D．16種2．（5分）若（ax+1）5的展開式中x3的系數是80，則實數a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）前進中學高二學生會體育部共有5人，現需從體育部派遣4人，分別擔任拔河比賽活動中的裁判、記錄結果、核查人數、維持紀律四項工作，每個人只能擔任其中一項工作，其中體育部的張三不能擔任裁判工作，則共有（）種派遣方法．A．120 B．96 C．48 D．604．（5分）3位數學家，4位物理學家，站成兩排照相．其中前排3人后排4人，要求數學家要相鄰，則不同的排隊方法共有（）A．5040種 B．840種 C．720種 D．432種5．（5分）為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將五名志愿者分配到三個社區(qū)去開展工作，每名志愿者只分配到一個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必須去同一個社區(qū)，則不同的分配方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種6．（5分）若等式（x﹣1）n＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0對任意x∈R成立，則an+an﹣1+…+a0的值為（）A．0 B．1 C．2n D．（﹣2）n7．（5分）如圖，一行人從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的體育活動中心參加志愿者活動，則這位行人到體育活動中心可以選擇的最短路徑條數為（）A．24 B．9 C．12 D．188．（5分）在的展開式中，常數項為（）A． B． C． D．二、多選題（多選）9．（5分）從10種不同的農作物種子中選出6種分別放入6個不同的瓶子中，每瓶不空，如果甲、乙這2種種子都不許放入第一號瓶子內，那么不同的放法種數為（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）對于的展開式，下列說法正確的是（）A．展開式共有6項 B．展開式中的常數項是240 C．展開式的二項式系數之和為64 D．展開式的各項系數之和為1（多選）11．（5分）若（x+）n的展開式中第3項與第8項的系數相等，則展開式中二項式系數最大的項為（）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項（多選）12．（5分）將4個不同的小球放入3個分別標有1，2，3號的盒子中，不允許有空盒子的放法種數為（）A． B． C． D．18三、填空題13．（5分）在的展開式中，系數是有理數的項共有項．14．（5分）用0，1，2，3，4這5個數字組成無重復數字的五位數中，若按從小到大的順序排列，那么12340應是第個數．15．（5分）現有6名志愿者分派到三個學校去支教，每個學校至少分派一名，有種不同的分派方法．16．（5分）某工程隊有5項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后立即進行那么安排這5項工程的不同排法種數是．（用數字作答）四、解答題17．（10分）從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，求不同的選派方案的種數．18．（12分）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放1個球，共有多少種放法？19．（12分）（1）求證：k＝n；（2）化簡：+2+3+…+（n+1）．20．（12分）已知的展開式中，第5項的系數與第3項的系數之比是56：3，求展開式中的常數項．21．（12分）用0，1，2，3，4，5這六個數字，可以組成多少個分別符合下列條件的無重復數字的四位數：（1）奇數；（2）偶數；（3）大于3125的數．22．（12分）已知10件不同的產品中有4件次品，現對它們一一測度，直至找到所有4件次品為止．（1）若恰在第2次測試時，才測試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？（2）若至多測試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測試方法？

蘇教版（2019）選擇性必修第二冊《第7章計數原理》2024年單元測試卷（1）參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】從7槍的位置選出2個位置是未擊中目標位置，利用組合數公式求解即可．【解答】解：某人射擊7槍，擊中目標5槍，則2槍沒有擊中，則擊中目標和未擊中目標的不同順序的情況有：＝21．故選：A．【點評】本題考查排列組合的簡單應用，是基礎題．2．【分析】利用二項式定理的通項公式即可得出．【解答】解：（ax+1）5的展開式的通項公式：Tr+1＝（ax）r＝arxr，令r＝3，則x3的系數是＝80，解得a＝2．故選：B．【點評】本題考查了二項式定理的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．【分析】根據題意，分2種情況討論：①，選出的4人中沒有張三，此時將選出的4人全排列，對應4項工作即可，②，選出的4人中有張三，需要在其他4人中選出3人，再讓選出4人擔任4項工作，張三不擔任裁判工作，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，需要先在5人中選出4人，分2種情況討論：①，選出的4人中沒有張三，此時將選出的4人全排列，對應4項工作即可，此時有A44＝24種情況，②，選出的4人中有張三，需要在其他4人中選出3人，再讓選出4人擔任4項工作，張三不擔任裁判工作，有C43×3×A33＝72種情況，則一共有24+72＝96種安排方法；故選：B．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于基礎題．4．【分析】根據分類和分步計數原理，利用捆綁法，把3位數學家捆綁在一起看作一個元素，以數學家排在前排和后排各一類，進行排列，問題得以解決．【解答】解：利用捆綁法，把3位數學家捆綁在一起看作一個元素，有，當數學家在前排時，有＝144種，當數學家在后一排時，先從4位物理學家中選3位排在前排，剩下的一位再和數學家全排，有＝288種，共有144+288＝432種．故選：D．【點評】本題考查了分類分類與分步計數原理，關鍵是正確區(qū)分分步和分類，屬于基礎題．5．【分析】利用相鄰問題捆綁法，然后先分組后排的方法進行計算即可．【解答】解：∵志愿者甲和乙必須去同一個社區(qū)，∴把甲乙兩人看作一個元素，則問題變成4個元素分成3組進行排列，則共有＝6×6＝36種方法，故選：D．【點評】本題主要考查排列組合的計數問題，利用相鄰問題捆綁法以及先分后排的方法是解決本題的關鍵，是中檔題．6．【分析】直接令x＝1即可求得結論．【解答】解：∵等式（x﹣1）n＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0對任意x∈R成立，令x＝1，0＝an+an﹣1+…+a0；故選：A．【點評】本題主要考查二項式定理的應用以及賦值法的應用，屬于基礎題目．7．【分析】根據題意，分2步進行分析依次分析從E到F和從F到G的最短路徑的走法，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①從E到F，最短路徑需要3步，向右2步，向上1步，有C32＝3種走法，②從F到G，最短路徑需要4步，向右2步，向上2步，有C42＝6種走法，則從E先到F處，再到G處的最短路徑的走法有3×6＝18種；故選：D．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．8．【分析】先求（x﹣）6的通項公式，進而求得結論．【解答】解：因為（x﹣）6的通項公式為：Tr+1＝?x6﹣r?（）r＝（﹣）r??x6﹣2r；6﹣2r＝0時，r＝3；6﹣2r＝﹣1時，r不存在；∴的展開式中，常數項為：（﹣）3?×3＝﹣；故選：A．【點評】本題考查二項展開式通項的應用，同時考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．二、多選題9．【分析】首先考慮1號瓶，第二步放另外的5個瓶即可．【解答】解：從10種不同的農作物種子中選出6種分別放入6個不同的瓶子中，每瓶不空，如果甲、乙這2種種子都不許放入第一號瓶子內，有，其它瓶任意，有，那么不同的放法種數為．故選：AD．【點評】本題考查排列組合以及分步計數原理的應用，是中檔題．10．【分析】利用二項式定理的展開式、二項展開式的通項公式、二項式系數和的公式、賦值法求解展開式的各項系數和，對四個選項進行逐一判斷即可．【解答】解：因為n＝6，故的展開式共有7項，故選項A錯誤；的展開式的通項公式為，當r＝2時，展開式的常數項為，故選項B正確；展開式的二項式系數之和為26＝64，故選項C正確；令x＝1，則展開式的各項系數之和為（2﹣1）6＝1，故選項D正確．故選：BCD．【點評】本題考查了二項式定理，二項式系數的性質，考查運算求解能力，屬于基礎題．11．【分析】求出展開式的第3項與第8項的系數，由此求出n的值，再根據二項式系數的性質即可求解．【解答】解：展開式的第3項為T3＝C，第8項為T，則C，則n＝9，所以展開式中二項式系數最大的項為第5項與第6項，故選：BC．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎題．12．【分析】由題可知，必有2個小球被放進同一個盒子；方案一：選擇2個小球綁在一起，再將小球全排列后放入盒子里；方案二：選擇2個小球綁在一起，再將剩余2個小球平均分組，然后將小球放入盒子里；最后利用分步計數原理即可得解．【解答】解：4個不同小球放入3個不同盒子，不允許有空盒子，則必有2個小球被放進同一個盒子，方案一：選擇2個小球綁在一起，有種選法，再將小球全排列后放入盒子里，于是共有＝36種放法；方案二：選擇2個小球綁在一起，再將剩余2個小球平均分組，有分法，最后將小球放入盒子里，于是共有?種放法．故選：BC．【點評】本題考查排列組合與分步計數原理的應用，還涉及到平均分組問題，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．三、填空題13．【分析】由題意，根據二項式展開式的通項公式，要使該項的系數是有理數的項，需為整數，即r＝2，8，14，20，由此可得結論．【解答】解：在的展開式中，通項公式為Tr+1＝?（﹣1）r??x20﹣r，要使該項的系數是有理數的項，需為整數，即r＝2，8，14，20，故系數是有理數的項共有4項，故答案為：4．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．14．【分析】把最小的數字列舉出來，從最小的開始，前兩位是10后面的可以用三個數字全排列，得到6個，前兩位是12后面的排列出3個比12340小，得到共有9個數字比它小，是第10個數字．【解答】解：按從小到大的順序排列，最小的數字是10234，10324，10432，10342，10423，10243，12034，12043，12304，再排一個就是12340，∴12340是第10個數字，它的前面有9個數字，故答案為：10．【點評】數字問題是排列中的一大類問題，條件變換多樣，把排列問題包含在數字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．15．【分析】三個學校每個學校至少有一名，則有三種情況：（1）一所學校四名，剩下兩所學校各一名（2）一所學校3名，一所2名，一所1名．（3）三所學校各兩名，然后分別利用排列組合公式計算即可．【解答】解：三個學校每個學校至少有一名，則有三種情況：（1）一所學校4名，剩下兩所學校各1名：有．（2）一所學校3名，一所2名，一所1名：有．（3）三所學校各2名：有．共有90+360+90＝540種情況．故答案為：540．【點評】本題主要考查排列組合及簡單的計算問題，要注意分類討論．16．【分析】安排甲工程放在第一位置時，乙丙與剩下的兩個工程共有種方法，同理甲在第二位置共有2×2種方法，甲在第三位置時，共有2種方法．利用加法原理即可得出．【解答】解：安排甲工程放在第一位置時，乙丙與剩下的兩個工程共有種方法，同理甲在第二位置共有2×2種方法，甲在第三位置時，共有2種方法．由加法原理可得：+4+2＝12種．故答案為：12．【點評】本題考查了排列與乘法原理，優(yōu)先安排除了甲乙丙3個工程后剩下的2個工程的方案是解題的關鍵，屬于中檔題．四、解答題17．【分析】根據題意，要求從九人中選三個到3個班擔任班主任是三個元素在九個位置排列，要求這3位班主任中男女教師都有，則選的都是男教師和選的都是女教師不和題意，從總數中排除，即可得答案．【解答】解：從5位男教師和4位女教師共九人中選三個到3個班擔任班主任共有A93種結果，要求這3位班主任中男女教師都有，則選出的3人都是男教師或都是女教師的不合題意，選的都是男教師有A53種結果，選的都是女教師有A43種結果，∴滿足條件的方案有A93﹣（A53+A43）＝420，不同的選派方案的種數為：420．【點評】本題考查排列的應用，注意區(qū)分排列、組合問題，若題意要求元素有順序就是排列問題；其次注意運用排除法簡化解題思路．18．【分析】利用排列問題直接進行計算即可．【解答】解：從5個盒子選3個進行排列，得A＝60種方法．【點評】本題主要考查排列的應用，利用排列直接進行計算是解決本題的關鍵．比較基礎．19．【分析】利用組合數公式進行求解即可．【解答】證明：（1）＝．解：（2）＝．【點評】本題考查組合數公式，考查學生的運算能力，屬于中檔題．20．【分析】在展開式的通項中，令x＝1得出第5項的系數與第3項的系數表達式，由已知，求出n，再在通項中令x得指數為0，確定常數項．【解答】解：展開式的通項為第5項的系數為?24，第3項的系數為由已知，得出?24：＝56：3，解得n＝10所以通項公式，當k＝2時，取到常數項即T3＝180．【點評】本題考查二項式定理的應用：求指定的項．牢記公式是基礎，方程思想是關鍵．21．【分析】（1）根據題意，分3步進行分析先排個位，再排首位，其余的位任意排，根據分步計數原理計算可得答案；（2）根據題意，分2種情況討論：①以0結尾的四位偶數，②以2或4結尾的四位偶數，由加法原理計算可得答案；（3）根據題意，分3種情況討論：①若4、5作千位時，②若3作千位，2、4、5作百位時，③若3作千位，1作百位時，由加法原理計算可得答案．【解答】解：（1）先排個位，再排首位，其余的位任意排，根據分步計數原理，共有A31A41A42＝144（個）．（2）以0結尾的四位偶數有A53＝60個，以2或4結尾的四位偶數有A21A41A42＝96，則共有60+96＝156（個）．（3）要比3125大的數，若4、5作千位時，則有2A53＝120個，若3作千位，2、4