2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點沖刺復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式_第1頁
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2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點沖刺復(fù)習(xí)

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式掌握利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，重點掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點、數(shù)列等相結(jié)合的問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

題后師說(1)待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時對復(fù)雜的式子要進行變形，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．(2)待證不等式的兩邊一邊含有變量而另一邊含參數(shù)時，可以轉(zhuǎn)化為求含變量函數(shù)的最值，再構(gòu)造含參數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值即可得證．鞏固訓(xùn)練1[2024·河南新鄉(xiāng)模擬]已知函數(shù)f(x)＝x2lnx.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)≥x－1.

題后師說若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標(biāo)．本例中同時含有l(wèi)nx與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分別構(gòu)造函數(shù)，計算它們的最值，借助最值進行證明鞏固訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋1.(1)若函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：f(x)≥x2e1－x.

題型三適當(dāng)放縮證明不等式例3已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx－1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a≥1時，f(x)≥0.

題型四利用導(dǎo)數(shù)證明與數(shù)列有關(guān)的不等式例4[2024·山東濟南模擬]已知函數(shù)f(x)＝alnx＋1－x.(1)若f(x)≤0，求a的值；

題后師說證明與數(shù)列有關(guān)的不等式的策略在證明與數(shù)列有關(guān)的不等式時，往往是從題目中已經(jīng)證得的結(jié)論(參數(shù)取值范圍、不等式等)出發(fā)，通過特殊化處理，即將其中的變量替換為特殊的變量，尤其是可替換為與

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