1.2子集、全集、補(bǔ)集【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一子集、真子集、集合相等定義符號(hào)表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A＝B考點(diǎn)二空集1．定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.2．規(guī)定：空集是任何集合的子集．考點(diǎn)三：全集與補(bǔ)集考點(diǎn)三：．全集(1)定義：如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.考點(diǎn)四：．補(bǔ)集自然語(yǔ)言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作?UA符號(hào)語(yǔ)言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語(yǔ)言【題型歸納】題型一：子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，則的真子集共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．7個(gè)2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，，則滿足的集合C的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．7 C．8 D．153．（2021·陜西寶雞·高一期中）集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．31 B．30 C．15 D．14題型二：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a=（

）A． B．1 C．0或 D．0或15．（2022·江蘇·高一）設(shè)，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若集合，，且，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型三：根據(jù)集合相等關(guān)系求參數(shù)7．（2021·浙江省杭州第二中學(xué)高一期中）已知，若A=B，則a=（

）A．1 B．0 C．1或0 D．1或8．（2021·福建·福州黎明中學(xué)高一期中）已知，，若集合，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2022·全國(guó)·高一）已知a，b為實(shí)數(shù)，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B．0 C． D．1題型四：與空集有的集合問(wèn)題10．（2021·天津市濱海新區(qū)大港第八中學(xué)高一期中）下列六個(gè)寫法：①；②；③；④?；⑤?；⑥??{0}，其中錯(cuò)誤寫法的個(gè)數(shù)為（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)11．（2020·安徽·蚌埠二中高一階段練習(xí)）若集合的子集只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值情況是（

）A．或 B． C． D．12．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．是空集B．不是空集C．集合與是同一個(gè)集合D．集合中元素的個(gè)數(shù)是有限的題型五：根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求集合13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知全集，則（

）A． B．C． D．14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．15．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知，，則圖中陰影表示的集合是（

）A． B．或 C． D．題型六：根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求參數(shù)問(wèn)題16．（2022·全國(guó)·高一）設(shè)全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或217．（2020·遼寧·阜新市第二高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知全集，集合，，則a的所有可能值形成的集合為（

）A． B． C． D．18．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．題型七：子集、真子集和補(bǔ)集的綜合性問(wèn)題19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，在下列條件下分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個(gè)元素.20．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求滿足AB的實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2021·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)榧螦，集合B=.（1）求集合A；（2）若AB,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高一）已知，，則的非空子集的個(gè)數(shù)為（

）.A．6 B．7 C．8 D．923．（2022·全國(guó)·高一）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．24．（2022·上?！じ咭唬┘螦={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±125．（2022·全國(guó)·高一）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可表示為，求的值．26．（2022·全國(guó)·高一）已知(1)若求實(shí)數(shù)a的取值范圍(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【高分突破】一：?jiǎn)芜x題27．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合則的關(guān)系為（

）A． B． C． D．28．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．29．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則集合B的子集的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．8 D．1630．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值組成的集合是（

）A． B． C． D．31．（2021·河南南陽(yáng)·高一階段練習(xí)）若集合，，則、、的關(guān)系是（

）A． B． C． D．32．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．33．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）給出下列四個(gè)命題：①設(shè)集合，則；

②空集是任何集合的子集；③集合，表示同一集合；④集合，集合，則P=Q其中不正確的命題是（

）A．①② B．②④ C．①③ D．③④二、多選題34．（2021·福建·泉州現(xiàn)代中學(xué)高一期中）設(shè)集合，集合，若，則可能是（

）A． B． C． D．35．（2022·全國(guó)·高一）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)集合相等的是（

）A．，B．，C．，D．，36．（2021·全國(guó)·高一）已知集合，，下列命題正確的是（

）A．不存在實(shí)數(shù)a使得 B．存在實(shí)數(shù)a使得C．當(dāng)時(shí)， D．存在實(shí)數(shù)a使得37．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在實(shí)數(shù)使得 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．存在實(shí)數(shù)使得38．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．集合為無(wú)限集B．方程的解構(gòu)成的集合的所有子集共四個(gè)C．D．39．（2021·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第二中學(xué)高一期中）若集合，，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．三、填空題40．（2022·全國(guó)·高一）已知全集，集合，則________41．（2022·浙江·臺(tái)州市書生中學(xué)高一）設(shè)集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為___________.42．（2022·湖南·株洲二中高一）已知集合，若，則實(shí)數(shù)___________.43．（2022·全國(guó)·高一）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．44．（2022·全國(guó)·高一）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的值為___________.四、解答題45．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)集合A中的時(shí)，求集合A的非空真子集的個(gè)數(shù)；(3)若，且不存在元素x，使得與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．46．（2022·全國(guó)·高一）已知集合．(1)若是的子集，且至少含有元素，寫出滿足條件的所有集合；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值集合．47．（2022·江蘇·高一）已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．48．（2021·湖南·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高一期中）已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.49．（2021·河南·范縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；若兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”.設(shè)，則滿足條件的所有組成的集合為，集合.(1)求集合；(2)若、兩個(gè)集合可以構(gòu)成“全食”或“偏食”，求實(shí)數(shù)的值.【答案詳解】1．C【分析】求出集合可得集合的真子集.【詳解】集合，所以集合的真子集有.故選：C.2．B【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)集合關(guān)系列舉即可得答案.【詳解】解：由題知，,所以滿足的集合有，故集合C的個(gè)數(shù)為7個(gè).故選：B3．D【分析】根據(jù)集合的定義，結(jié)合自然數(shù)集與真子集的定義求解即可.【詳解】由題意得集合，則該集合的非空真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D4．C【分析】分與兩種情況討論，根據(jù)，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，解得，綜上實(shí)數(shù)的所有可能取值的集合為．故選：C．5．B【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，列不等關(guān)系，解不等式即可.【詳解】由題：，，則.故選：B6．D【分析】根據(jù)題意分和兩種情況求解.【詳解】若，即時(shí)，，滿足，若，則，因?yàn)?，所以，解得，所以，綜上，a的取值范圍是.故選：D.7．B【分析】根據(jù)集合相等及集合元素的互異性進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋?，解?故選：B.8．B【分析】先利用集合相等列式，解得a，b，再驗(yàn)證集合元素的互異性，代入計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故，，即.故選：B.9．C【分析】根據(jù)集合相等得到方程組，求出的值，即可得解；【詳解】解：因?yàn)榧?，集合，且，所以，所以，，所?故選：C.10．B【分析】根據(jù)集合與集合、集合與元素及空集的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤，即可確定錯(cuò)誤寫法的個(gè)數(shù).【詳解】①兩個(gè)集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；②0.3是有理數(shù)，即，故錯(cuò)誤；③所含元素相同，正確；④空集沒有任何元素，故錯(cuò)誤；⑤任意集合與空集的交集為空集，故錯(cuò)誤；⑥空集是任意非空集合的真子集，故正確.故錯(cuò)誤的有①②④⑤.故選：B.11．C【解析】集合是空集的時(shí)候滿足題意，求無(wú)解時(shí)的取值范圍即可.【詳解】集合的子集只有一個(gè)，所以集合是空集，當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，有，即，集合是空集，滿足條件，綜上所述，集合的子集只有一個(gè)時(shí)，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的性質(zhì)，空集的性質(zhì).12．C【分析】對(duì)A：由是以0為元素的集合即可判斷；對(duì)B：由方程無(wú)解即可判斷；對(duì)C：由集合A與集合B都是大于或等于0的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合即可判斷；對(duì)D：由，0.1，0.01，…時(shí)，即可判斷.【詳解】解：對(duì)A：∵是以0為元素的集合，∴不是空集，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：∵，∴方程無(wú)解，集合是空集，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：∵集合A與集合B都是大于或等于0的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，∴，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：∵當(dāng)，0.1，0.01，…時(shí)，，∴集合中的元素有無(wú)限個(gè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.13．C【分析】根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算的概念，即可得答案.【詳解】由題意得.故選：C14．D【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳解】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．15．D【分析】結(jié)合圖像以及補(bǔ)集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由圖可知，陰影表示的集合為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，即陰影表示的集合是，所以.故選：D16．A【分析】利用給定條件，結(jié)合元素的互異性直接列式計(jì)算作答.【詳解】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以實(shí)數(shù)的值為0.故選：A17．A【解析】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，不符合元素的互異性，時(shí)，符合題意.【詳解】由，即，則，解得，若，則，而，不符合集合中元素的互異性，舍去；若，則，，，符合題意.所以a的所有可能值形成的集合為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的性質(zhì)，注意，屬于基礎(chǔ)題.18．B【詳解】試題分析：因?yàn)榧?，，且，所?,4是方程的根，所以p=1×4=4，故選B．考點(diǎn)：本題主要考查集合的運(yùn)算．點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，直接按補(bǔ)集的定義及韋達(dá)定理建立p的方程．19．(1)(2)【分析】若，則關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)解，則，且，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．若A恰有一個(gè)元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，分類討論能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．（1）若，則關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)解，則，且，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是；（2）若A恰有一個(gè)元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，討論：當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以．綜上所述，m的取值范圍為．20．【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式組，解不等式組即可求解.【詳解】由題意，集合，因?yàn)椋?，則，解得，符合題意；若，則，解得，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．（1）;（2）.【分析】（1）求定義域注意：根號(hào)下被開方數(shù)大于等于，分式的分母不為；（2）由，分別考慮與區(qū)間左端點(diǎn)的大小關(guān)系、與區(qū)間右端點(diǎn)的大小關(guān)系，不熟練的情況下，可畫數(shù)軸去比較大小.【詳解】（1）由已知得

即∴（2）∵∴

解得∴的取值范圍.【點(diǎn)睛】（1）子集關(guān)系中包含了相等關(guān)系，這一點(diǎn)考慮問(wèn)題的時(shí)候需要注意；（2）兩個(gè)集合滿足某種關(guān)系，當(dāng)需要考慮到端點(diǎn)處取等號(hào)的情況，若不確定，可利用數(shù)軸直觀進(jìn)行分析（數(shù)形結(jié)合）.22．B【分析】先求出補(bǔ)集，再根據(jù)元素個(gè)數(shù)求子集數(shù).【詳解】根據(jù)題意可得，則非空子集有個(gè)．故選：B．23．C【分析】由兩集合相等，元素完全一樣，則可列出等式，結(jié)合集合中元素滿足互異性即可解出答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.24．D【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合求得的值.【詳解】解：A={x|x2=1}={1，-1}.當(dāng)a=0時(shí)，，滿足B?A；當(dāng)a≠0時(shí)，B=，因?yàn)锽?A，所以=1或=-1，即a=±1.綜上所述，a=0或a=±1.故選：D25．【分析】根據(jù)集合相等的定義和集合的定義求解．【詳解】由，可得，（否則不滿足集合中元素的互異性）．所以，或解得或．經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．所以．26．(1)；(2).【分析】（1）由題可得，即得；（2）根據(jù)，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求得的取值范圍．（1）∵，∴，即，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）∵，，∴，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.27．C【分析】由，即可判斷集合的關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：C．28．D【分析】直接由求解即可.【詳解】由可得.故選：D.29．C【分析】先求出集合B，再根據(jù)子集的定義即可求解.【詳解】依題意，所以集合B的子集的個(gè)數(shù)為，故選：C.30．D【分析】集合，根據(jù)，分和兩種情況討論即可得答案.【詳解】解：集合，，當(dāng)，即時(shí)，顯然滿足條件；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以或，即或，解得或；綜上，實(shí)數(shù)的取值組成的集合是.故選：D.31．A【分析】分析出集合、為奇數(shù)集，可得出，再討論集合、的包含關(guān)系，即可得解.【詳解】由已知可知，集合、為奇數(shù)集，則，，故.故選：A.32．C【分析】根據(jù)題意得出或，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以或，由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，綜上，，則.故選：C.33．C【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系、空集的性質(zhì)及相等集合的概念判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】①應(yīng)為，錯(cuò)誤；②根據(jù)空集的性質(zhì)，空集是任何集合的子集，正確；③或，，顯然不是同一集合，錯(cuò)誤；④由題設(shè)，、中所含元素一樣，即P=Q，正確；故選：C34．ACD【分析】根據(jù)子集的概念以及一元二次方程的解法即可解出．【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，，符合．故選：ACD．35．AC【分析】對(duì)于A、C：直接解出集合P、Q，即可判斷；對(duì)于B：取特殊值1，由，而，即可判斷；對(duì)于D：由集合P、Q的類別不一樣，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，，所以P和Q都只含有兩個(gè)元素1，2，所以；故A正確；對(duì)于B，，而，所以；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以；故C正確；對(duì)于D，集合P是數(shù)集，而集合Q是點(diǎn)集，所以．故選：AC．36．AD【分析】A.由相等集合判斷；B.由求解判斷；C.由，得到判斷；D.由求解判斷.，【詳解】A.由相等集合的概念可得，即，得此方程組無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)使得集合A=B，因此A正確；B.若，則，即，此不等式組無(wú)解，因此B錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，得為空集，不滿足，因此C錯(cuò)誤；D.若，則，解得，若，則，無(wú)解，綜上：，故D正確.故選：AD.37．AD【分析】選項(xiàng)A由集合相等列方程組驗(yàn)算；選項(xiàng)B由得，故不滿足；選項(xiàng)C、D通過(guò)假設(shè)求出實(shí)數(shù)的取值范圍可判定.【詳解】選項(xiàng)A：若集合，則有，因?yàn)榇朔匠探M無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)使得集合，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，不滿足，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.若，則①當(dāng)時(shí)，有，；②當(dāng)時(shí)，有此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解；所以若，則有，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選：AD.38．ACD【分析】根據(jù)題設(shè)條件利用集合元素的特點(diǎn)、子集的意義逐一判斷即可得解.【詳解】集合，不是無(wú)限集，A不正確；方程的解構(gòu)成的集合為，所有子集為，，，，共四個(gè)，B正確；因是點(diǎn)集，是數(shù)集，則它們不相等，C不正確；因，，于是得，D不正確.故選：ACD39．ABC【分析】根據(jù)子集的定義求解，注意空集是任何集合的子集．【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，，可取，當(dāng)時(shí)，，令，，可取，令，，可取，綜上、或，故選：ABC.40．【分析】根據(jù)補(bǔ)集的含義即可求解.【詳解】因?yàn)槿?，集合，所?故答案為：.41．【分析】首先求出集合，即可判斷其元素個(gè)數(shù)，從而求出其子集個(gè)數(shù).【詳解】解：因?yàn)?，所以或或或，解得或或或，即，集合中含有個(gè)元素，故其子集有個(gè)；故答案為：42．或3##3或-2【分析】利用子集關(guān)系可知，或，求出再驗(yàn)證即得結(jié)果.【詳解】，∴或，解得或或，將的值代入集合、驗(yàn)證，知不符合集合的互異性，故或3.故答案為：或3.43．【分析】根據(jù)題意分和兩種情況求解即可.【詳解】由題意，得，．①當(dāng)，即，即時(shí)，