2.2基本不等式課前檢測題一、單選題1．已知，若，則的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．22．若，則（）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值3．“”是“函數(shù)的最小值大于4”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．5．若x，y∈R，2x+2y=1，則x+y的取值范圍是（）A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)6．已知m，n∈R，m2+n2=100，則mn的最大值是（）A．25 B．50 C．20 D．7．函數(shù)的最小值為（）A．9 B．6 C．5 D．28．已知都是正數(shù)，若，則的最小值是（）A．5 B．4 C． D．二、多選題9．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明.如圖，在上取一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交以為直徑，為圓心的半圓周于點(diǎn)，連接.下面不能由直接證明的不等式為（）A． B．C． D．10．下列說法中，正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則三、填空題11．已知，則函數(shù)的最小值為______________.12．函數(shù)的最小值是___________.13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+xy=1，則y2﹣2xy的最小值為___________.14．已知，且，則的最小值為___________.四、解答題15．已知、都是正數(shù)，求證：（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值.16．（1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；（2）若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；（3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值；參考答案1．D【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以的最小值是故選：D2．A【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】解：∵，又，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故選：A．3．C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：若，則的最小值為；若的最小值大于4，則，且，則，故選：C．4．B【分析】將變形為，再用基本不等式和解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，所以，所以，即?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故的最小值．故選：B.5．A【分析】利用基本不等式由2x+2y=1可得，從而可求出x+y的取值范圍【詳解】解：因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以x+y的取值范圍是(﹣∞，﹣2].故選：A.6．B【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得結(jié)果.【詳解】由m2+n2≥2mn，得mn≤=50，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=±時(shí)等號成立.所以mn的最大值是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是關(guān)鍵.7．C【分析】本題可通過基本不等式求出最值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故函數(shù)的最小值為.故選：C.8．C【分析】利用將化為積為定值的形式后，由基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以的最小值是.故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.9．BCD【分析】由，得到，然后利用射影定理得到判斷.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以由射影定理得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故選：BCD10．ABD【分析】利用基本不等式分別判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，由，得，故A正確；對于B選項(xiàng)，由，得，即，故B正確；對于C選項(xiàng)，雖然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正確；對于D選項(xiàng)，由基本不等式，得，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．【分析】利用基本不等式求得最小值.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.故答案為：12．4【分析】根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.所以函數(shù)的最小值是4.故答案為：4【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.13．【分析】由已知可得，利用兩元換一元及基本不等式即得．【詳解】由x2+xy=1，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：.14．【分析】首先根據(jù)題意得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號.故答案為：15．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用基本不等式可證明出結(jié)論成立；（2）利用基本不等式可證明出結(jié)論成立.【詳解】因?yàn)?、都是正?shù)，所以.（1）當(dāng)積等于定值時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.于是，當(dāng)時(shí)，和有最小值；（2）當(dāng)和等于定值時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.于是，當(dāng)時(shí)，積有最大值.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式證明和與積的最值，在應(yīng)用基本不等式時(shí)，要注意“一正二定三相等”三個(gè)條件的成立，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16．（1）的最大值；（2）的最小值為5；（3）函數(shù)的最大值為【解析】