函數(shù)模型的應(yīng)用第二課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)廊坊第八高級(jí)中學(xué)陳學(xué)松（一）教學(xué)內(nèi)容教科書(shū)例5和例6，用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程．（二）教學(xué)目標(biāo)1．通過(guò)例題能讓學(xué)生將具體的實(shí)際問(wèn)題化歸為函數(shù)問(wèn)題，并能通過(guò)分析函數(shù)圖象及表格數(shù)據(jù)了解相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的變化差異，正確選擇合適的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)．2.通過(guò)例題條件出發(fā)，能夠根據(jù)“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合地素養(yǎng)；（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)選擇合適的函數(shù)類(lèi)型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程．2.難點(diǎn)如何選擇合適的函數(shù)類(lèi)型建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過(guò)程我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)．面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？看以下問(wèn)題例5.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？問(wèn)題1：請(qǐng)初步選擇一種你認(rèn)為合適的投資方案．師生活動(dòng)：學(xué)生讀完題后進(jìn)行分析，明白題中給出什么條件，要求什么量。進(jìn)行簡(jiǎn)單的思考后，選擇一個(gè)方案。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解題意，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，并能利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。追問(wèn)：（1）你能根據(jù)例題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系，并建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型嗎？（2）三個(gè)方案的本質(zhì)是三個(gè)不同的函數(shù)模型，如何選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)比較它們的差異，從而選擇合適的函數(shù)模型？（3）根據(jù)例1中的表格提供的數(shù)據(jù)，你對(duì)三種投資方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什么認(rèn)識(shí)？（4）你能借助計(jì)算工具作出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？師生活動(dòng)：教師可提出進(jìn)一步的問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生正確寫(xiě)出三種投資方案所對(duì)應(yīng)的每天回報(bào)金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況，作出需要分投資天數(shù)進(jìn)行選擇的初步判斷．學(xué)生通過(guò)教師指導(dǎo)，分析出題中的數(shù)量關(guān)系，能寫(xiě)出三種投資方案所對(duì)應(yīng)的每天回報(bào)金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況，選出最佳方案。設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)除了關(guān)注例題本身承載的教學(xué)目的外，還要注意不同層次的學(xué)生在學(xué)習(xí)上的差異，本例設(shè)問(wèn)意在分層次、有針對(duì)性地給出不同的臺(tái)階，做到“總體引導(dǎo)，分層指導(dǎo)”，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，利用追問(wèn)逐步深入．追問(wèn)（1）意在指導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；追問(wèn)（2）意在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異選擇合適的函數(shù)模型；追問(wèn)（3）意在引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)表對(duì)三種模型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，借助增加量初步發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長(zhǎng)得快，一次函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得快，尤其是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察增加量體會(huì)指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度；追問(wèn)（4）意在借助計(jì)算結(jié)果與圖象直觀理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的實(shí)際含義，并通過(guò)描述三種方案的特點(diǎn)，為下一個(gè)問(wèn)題埋下伏筆．問(wèn)題2：僅僅分析每天的回報(bào)數(shù)就能準(zhǔn)確作出選擇嗎？請(qǐng)結(jié)合教科書(shū)152頁(yè)邊空的問(wèn)題進(jìn)一步思考：關(guān)于三種投資方案的選擇，你應(yīng)當(dāng)如何判斷？師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行分析明白每天回報(bào)數(shù)并不能準(zhǔn)確地做出選擇。通過(guò)邊空的問(wèn)題，學(xué)生思考能夠做出判斷。設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到要作出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時(shí)間內(nèi)累計(jì)的回報(bào)．讓學(xué)生對(duì)不同類(lèi)型的函數(shù)增長(zhǎng)總量有更直觀的認(rèn)知.追問(wèn)：教科書(shū)152頁(yè)邊空的問(wèn)題中，是根據(jù)投資天數(shù)作出不同方案的選擇，劃分天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？這種劃分正確嗎？師生活動(dòng)：教師可根據(jù)學(xué)生的思考，指出計(jì)算每月回報(bào)的增加量（或增長(zhǎng)率）是對(duì)數(shù)據(jù)的基本處理方法，本例提供的表格和圖象都可以直觀看出三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，但要具體到投資的天數(shù)，回報(bào)的增加量還不足以作為選擇投資方案的依據(jù)，然后利用下述追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生選擇累計(jì)的回報(bào)數(shù)進(jìn)行判斷，作出正確的回答．最后，在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，給出本題的完整解答．設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到要作出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時(shí)間內(nèi)累計(jì)的回報(bào)．最后借助計(jì)算工具，得出總收益并作出正確判斷．解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N方案三可以用函數(shù)y=0.4×進(jìn)行描述．三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是增函數(shù)．要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析．我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況三種方案每天回報(bào)表方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第１天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二所無(wú)法企及的．從每天所得回報(bào)看，在第１～３天，方案一最多；在第４天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第５～８天，方案二最多；第9天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過(guò)2億元．下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)．通過(guò)信息技術(shù)列表如下投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三。上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到，不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型，增長(zhǎng)變化存在很大差異例6

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%．三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？問(wèn)題1：根據(jù)題目條件，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型才符合公司的要求？師生活動(dòng)：學(xué)生讀完題后進(jìn)行分析，明白題中給出什么條件，要干什么事情。在給定的三個(gè)函數(shù)模型中進(jìn)行簡(jiǎn)單的思考后，選擇正確模型。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解題意，能夠按要求選擇符合題意的模型，并能利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。追問(wèn)：（1）公司提出的要求與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？這對(duì)選擇函數(shù)模型有什么幫助？（2）函數(shù)圖象能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)特征，從而可以直觀判斷函數(shù)模型是否符合公司的要求．為此，你能否作出函數(shù)圖象，并通過(guò)觀察作出初步的判斷嗎？師生活動(dòng)：教師可以在學(xué)生思考問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，提出追問(wèn)中的問(wèn)題，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目條件，分析例題中隱藏的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定符合公司要求的函數(shù)模型．設(shè)計(jì)意圖：這里依然關(guān)注教學(xué)的生成，繼續(xù)在總體指導(dǎo)下有針對(duì)性地給出不同臺(tái)階的分層問(wèn)題．追問(wèn)（1）意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律，并建立與函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系，為選擇合適模型做好準(zhǔn)備；追問(wèn)（2）意在引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)作出初步判斷，從而實(shí)現(xiàn)將實(shí)際問(wèn)題向函數(shù)模型轉(zhuǎn)化．問(wèn)題2：（1）你是如何判定所選擇的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合要求？（2）能否給出本題的解答過(guò)程？師生活動(dòng)：教師在學(xué)生嘗試給出解答的基礎(chǔ)上，通過(guò)問(wèn)題作進(jìn)一步的指導(dǎo)，幫助學(xué)生從畫(huà)函數(shù)圖象入手，通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，得出初步的判斷，再通過(guò)具體計(jì)算求解得出正確結(jié)果．設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇合適的函數(shù)模型，給出正確解答．（1）意在引導(dǎo)學(xué)生指出判斷依據(jù)；（2）意在指導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)解題基本思路，從而學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析問(wèn)題．解：借助信息技術(shù)畫(huà)出函數(shù)y＝５，y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的圖象．觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［10，1000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的圖象都有一部分在直線y＝５的上方，只有模型y=log7x+1的圖象始終在y＝５的下方，這說(shuō)明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷．先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)５萬(wàn)元．對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間［10，1000］上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x＝２０時(shí)，y＝５，因此，當(dāng)x＞２０時(shí)，y＞５，所以該模型不符合要求；對(duì)于模型,y=1.002x，由函數(shù)圖象，并利用信息技術(shù)，可知在區(qū)間（805，806）內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿(mǎn)足1.002因此當(dāng)x＞x0對(duì)于模型y=log7x+1，它在區(qū)間［10，1000］上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x＝1000時(shí)，y=log71000+1≈4.55＜５，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)５萬(wàn)元的要求．再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25％，即當(dāng)x∈［10，1000］時(shí)，是否有y≤0.25x，即y=log7x+1≤0.25x成立．令f(x)＝y(tǒng)=log7x+1-0.25x，x∈［10，1000］,利用信息技術(shù)畫(huà)出它的圖象由圖象可知函數(shù)f(x)在區(qū)間［10，1000］上單調(diào)遞減，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜０，即y=log7x+1＜0.25x．所以，當(dāng)x∈［10，1000］時(shí)，y≤0.25x，說(shuō)明按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25％．綜上所述，模型y=log7x+1確實(shí)能符合公司要求．課堂小結(jié)問(wèn)題：通過(guò)解答以上兩道例題的實(shí)際問(wèn)題，并結(jié)合教科書(shū)中的例3和例4，你能歸納出用建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程嗎？設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)用建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力．五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)課堂檢測(cè)完成教科書(shū)第154頁(yè)練習(xí)1，2．師生活動(dòng)：教師結(jié)合兩道例題的教學(xué)情況讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，并根據(jù)學(xué)生的解答情況，給出應(yīng)有的指導(dǎo)，或提供正確的解答．設(shè)計(jì)意圖：促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，并從中評(píng)價(jià)學(xué)生達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的情況．課后作業(yè)1．為了能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸量，某運(yùn)輸公司提出了五種運(yùn)輸方案，每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如下圖所示．運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高的圖象編號(hào)是______________．

設(shè)計(jì)意圖：考查在具體背景下，根據(jù)不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)選擇合適的函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題．2．某工廠今年前三個(gè)月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件．現(xiàn)有三種函數(shù)模型用于描述產(chǎn)量y（單位：萬(wàn)件）關(guān)于月份x的關(guān)系：y=ax+b，y=ax2+bx+c，．若4月份的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)件，請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)函數(shù)更符合實(shí)際？設(shè)計(jì)意圖：考查根據(jù)題目條件，選擇和求解函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)