【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.8角平分線的性質(zhì)與判定大題專練（重難點培優(yōu)）【考點1】利用角平分線的性質(zhì)定理進行計算與證明1．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的長．2．（2021·江蘇揚州·八年級期中）已知：如圖，△ABC中，∠ACB的平分線與AB的垂直平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC交CB的延長線于點F．（1）求證：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判斷△ABC的形狀，并證明．3．（2021·江蘇連云港·八年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD為∠BAC的平分線，F(xiàn)為AC上的點，DE⊥AB，垂足為E，DF＝DB．（1）求證：DC＝DE；（2）求∠ADF的度數(shù)．4．（2021·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，點D，E分別在AC，AB上，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BD，CE交于點F．（1）求∠DFE的度數(shù)；（2）求證：EF＝DF．5．（2021·江蘇無錫·八年級期中）如圖，點D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點，DG⊥AB于點G，DH⊥AC交AC的延長線于點H．（1）求證：BG＝CH；（2）若AB＝12，AC＝8，求BG的長．6．（2021·江蘇揚州·八年級期中）如圖，△ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分別為F、G．（1）求證：BG＝CF；（2）若AB＝18，AC＝6，求AF的長度．7．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）求證：BE＝DF；（2）探究線段AB、AD、AF三者之間的數(shù)量關系；（3）若△ABC的面積是23，△ADC的面積是18，則△BEC的面積等于．8．（2021·江蘇·靖江市實驗學校八年級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．（1）試說明AD垂直平分EF；（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的長．9．（2021·江蘇·淮安市洪澤實驗中學八年級期中）在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B，C重合），連接AD．（1）如圖①，當D是BC中點時，則S△ABD：S△ACD＝．（2）如圖②，當AD是∠BAC的平分線時求證：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．（3）如圖③，AD是∠BAC的平分線，延長AD到點E，使得AD＝DE，連接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求△ABC的面積．10．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）已知，如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試問：DE和DF相等嗎？說明理由．【考點2】利用角平分線的判定定理進行計算與證明11．（2021·江蘇·星海實驗中學八年級期中）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的長．12．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求13．（2020·江蘇·昭陽湖初中八年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，（1）求證：AD是△ABC的角平分線；（2）若AB=8，S△ABC14．（2020·江蘇·南京市第一中學八年級期中）已知：如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求證：AD平分∠BAC．15．（2019·江蘇·南京市江北新區(qū)浦口外國語學校八年級期中）如圖，C是∠AOB內(nèi)部的一點，CE⊥OA，CF⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn)，且CE＝CF．點D是OC上任意一點，DG⊥OA，DH⊥OB，垂足分別為G，H．求證：DG＝DH．16．（2018·江蘇無錫·八年級期中）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10（1）尺規(guī)作圖：作AD平分∠CAB，交BC于點D；（2）求CD的長度．【考點3】角平分線的性質(zhì)與定理的應用與作圖17．（2017·江蘇揚州·八年級期中）如圖，七年級（1）班與七年級（2）班的學生分別在M、N兩處參加植樹勞動，現(xiàn)要設一個茶水供應點，使茶水供應點到兩個班的距離相等（不寫作法、要求保留作圖痕跡）．（1）若茶水供應點P設在道路AB上，請你作出點P；（2）若茶水供應點Q設在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)，并且使點Q到兩條道路的距離相等，請你作出點Q．18．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）使用直尺與圓規(guī)完成下面作圖，（不寫作法，保留作圖痕跡，用水筆描黑）(1)在AB上找一點P使得P到AC和BC的距離相等；(2)在射線CP上找一點Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，則點Q到邊AC的距離為．19．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，已知△ABC(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：（保留作圖痕跡）作△ABC的角平分線AD；作∠EBC＝∠ADC，BE交CA的延長線于E；(2)若AF⊥BE，垂足為F，證明BF＝EF．20．（2021·江蘇無錫·八年級期中）已知：如圖，△ABC中，∠A＝90°，現(xiàn)要在AC邊上確定一點D，使點D到BA、BC的距離相等．(1)請你按照要求，在圖上確定出點D的位置（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若BC＝5，AB＝4，則AC＝，AD＝（直接寫出結果）．21．（2021·江蘇常州·八年級期中）按要求作（畫）圖并證明：（1）尺規(guī)作圖：如圖∠AOB，作∠AOB的平分線OP（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）過平分線上一點C畫CD∥OB交OA于點D，取線段OC的中點E，過點E畫直線分別交射線CD、OB于點M、N（M不與C、D重合），請你探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．22．（2021·江蘇無錫·八年級期中）作圖題：（1）如圖，已知∠AOB及點C、D兩點，請利用直尺和圓規(guī)作一點P，使得點P到射線OA、OB的距離相等，且P點到點C、D的距離也相等．（2）①利用方格紙畫出△ABC關于直線l的對稱圖形△A′B′C′，②判斷△ABC的形狀并說明理由．23．（2021·江蘇南京·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠A＞∠B．（1）用尺規(guī)作圖，在BC上作點D、E，使點D到AB與AC的距離相等，點E到點A與B的距離相等（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）連接EA、DA，若∠B=45°，∠C=65°，則∠DAE=°．24．（2021·江蘇·無錫市第一女子中學八年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°．（1）在圖①中的斜邊AB上確定一點E，使點E到點A、C兩點的距離相等；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在圖②中的斜邊AB上確定一點E，使點E到點B距離與點E到AC的距離相等．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【講練課堂】2022-2023學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.8角平分線的性質(zhì)與判定大題專練（重難點培優(yōu)）【考點1】利用角平分線的性質(zhì)定理進行計算與證明1．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）DE=3【解析】【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得DE＝DF，再根據(jù)HL證明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，從而證明結論；（2）根據(jù)DE＝DF，得S△ABD【詳解】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，在Rt△AED與Rt△AFD中，AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE＝DF，∴S△ABD∵AB+AC＝10，∴DE＝3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握這些知識點．2．（2021·江蘇揚州·八年級期中）已知：如圖，△ABC中，∠ACB的平分線與AB的垂直平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC交CB的延長線于點F．（1）求證：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判斷△ABC的形狀，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）△ABC是直角三角形，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AD，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得BD＝DA，可證Rt△ADE≌Rt△BDF，可得AE＝BF；（2）根據(jù)Rt△CDE≌Rt△CDF得出CE＝CF，求出AC＝24，由勾股定理的逆定理即可得出結論；【詳解】（1）證明：連接AD．記AB的垂直平分線交AB于M，如圖所示：∵DM垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DEA＝∠DFC＝90°，在Rt△DEA和Rt△DFB中，DA=DBDE=DF∴Rt△DEA≌Rt△DFB（HL），∴AE＝BF．（2）△ABC是直角三角形，理由如下：在Rt△CDE和Rt△CDF中，CD=CDDE=DF∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF，由（1）得：Rt△DEA≌Rt△DFB，∴AE＝BF＝7，∴CF＝BC+BF＝10+7＝17，∴AC＝AE+CF＝7+17＝24，∴BC2+AC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查的是直角三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理的應用，熟練的應用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形是解本題的關鍵.3．（2021·江蘇連云港·八年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD為∠BAC的平分線，F(xiàn)為AC上的點，DE⊥AB，垂足為E，DF＝DB．（1）求證：DC＝DE；（2）求∠ADF的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）30°．【解析】【分析】（1）先根據(jù)∠ACB=90°可得BC⊥AC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可得證；（2）先利用直角三角形全等的判定定理證出Rt△CDF?Rt△EDB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠CFD=∠B=50°，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠DAF=1【詳解】證明：（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵AD是∠BAC的平分線，且DE⊥AB，∴DC=DE；（2）在Rt△CDF和Rt△EDB中，DF=DBDC=DE∴Rt△CDF?Rt△EDB(HL)，∴∠CFD=∠B=50°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=50°，∴∠BAC=90°?∠B=40°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAF=1∴∠ADF=∠CFD?∠DAF=50°?20°=30°．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．4．（2021·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，點D，E分別在AC，AB上，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BD，CE交于點F．（1）求∠DFE的度數(shù)；（2）求證：EF＝DF．【答案】（1）120°；（2）見解析【解析】【分析】（1）由BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，可推出∠DFE＝∠BFC＝120°；（2）過點F作FP⊥AB于點P，F(xiàn)G⊥BC于點G，F(xiàn)Q⊥AC于點Q，由BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，得FP＝FG＝FQ，再根據(jù)AAS證出△FEP≌△FDQ即可得出結論．【詳解】（1）解：∵BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°，∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°，∴∠DFE＝∠BFC＝120°；（2）證明：過點F作FP⊥AB于點P，F(xiàn)G⊥BC于點G，F(xiàn)Q⊥AC于點Q，∵BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴FP＝FG＝FQ，∵∠ABC＝40°，∠BCF＝40°，∴∠FEP＝∠ABC+∠BCF＝80°，∵∠FBC＝20°，∠ACB＝80°，∴∠FDQ＝180°﹣∠FBC﹣∠ACB＝80°，∴∠FEP＝∠FDQ，在△FEP與△FDQ中，∠FEP=∠FDQ∠FPE=∠FQD∴△FEP≌△FDQ（AAS），∴EF＝DF．【點睛】此題主要考查全等三角形與角平分線的性質(zhì)綜合，解題的關鍵是熟知角平分線上的點到角兩邊距離相等．5．（2021·江蘇無錫·八年級期中）如圖，點D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點，DG⊥AB于點G，DH⊥AC交AC的延長線于點H．（1）求證：BG＝CH；（2）若AB＝12，AC＝8，求BG的長．【答案】（1）見詳解；（2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)題意連接BD、CD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DB=DC；依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DG=DH；依據(jù)HL定理可判斷出Rt△BDG≌Rt△CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結論；（2）由題意可得Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），得出AG=AH，進而得出答案．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接BD、CD，∵D是線段BC垂直平分線上的點，∴BD=DC，∵D是∠BAC平分線上的點，DG⊥AB，DH⊥AC∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°，在Rt△BDG與Rt△CDH中，DG=DHBD=DC∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），∴BG=CH；（2）在Rt△ADG與Rt△ADH中，∵DG=DH，AD=AD，∴Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），∴AG=AH，∴AB-AC=AG+BG-（AH-CH）=2BG=12-8=4，∴BG=2，∴AG=AB-BG=12-2=10．【點睛】本題考查線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)和直角三角形全等的判定定理及性質(zhì)，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出直角三角形．6．（2021·江蘇揚州·八年級期中）如圖，△ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分別為F、G．（1）求證：BG＝CF；（2）若AB＝18，AC＝6，求AF的長度．【答案】（1）見解析；（2）6【解析】【分析】（1）連接BD，CD，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出BD=CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DG，即可利用HL判定Rt△BDG≌Rt△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）利用HL證明Rt△DGA≌Rt△DFA，得出AG=AF，再根據(jù)線段的和差列出式子2AF+6=18，即可得解．【詳解】（1）證明：連接BD，CD，∵DE是BC的垂直平分線，∴BD=CD，∵DF⊥AC，DG⊥AB，AD平分∠BAF，∴DF=DG，在Rt△BDG和Rt△CDF中，BD=CDDG=DF∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG=CF；（2）解：由（1）得DG=DF，BG=CF，∠DGA=∠DFA=90°，在Rt△DGA和Rt△DFA中，AD=ADDG=DF∴Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），∴AG=AF，∵BG=CF，AB=18，AC=6，∴BG=AF+AC=AF+6，AB=BG+AG=AF+6+AF=2AF+6=18，∴AF=6．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟記全等三角形的性質(zhì)定理即角平分線的性質(zhì)定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵．7．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）求證：BE＝DF；（2）探究線段AB、AD、AF三者之間的數(shù)量關系；（3）若△ABC的面積是23，△ADC的面積是18，則△BEC的面積等于．【答案】（1）見解析；（2）AB+AD=2AF;（3）5【解析】【分析】（1）證明△DCF≌△BCE即可證明BE＝DF；（2）根據(jù)（1）的結論可得DF=BE，證明△AFC≌△AEC可得AE=AF，根據(jù)AB?BE=AE，BE=DF=AF?AD,即可得AB+AD=2AF；（3）根據(jù)S△ADC+S【詳解】（1）∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF=180°∴∠CDF=∠B∵CE⊥AB，CF⊥AD，AC平分∠BAD，∴FC=EC，∠F=∠CEB=90°∴△DCF≌△BCE（AAS）∴BE＝DF；（2）∵FC=EC，AC=AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AE=AF∵AB?BE=AE，BE=DF=AF?AD∴AB?即AB?AF+AD=AF∴AB+AD=2AF（3）∵△DCF≌△BCE，△AFC≌△AEC，∴SS△AFC=即S∴18+∴S故答案為：5【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．8．（2021·江蘇·靖江市實驗學校八年級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．（1）試說明AD垂直平分EF；（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的長．【答案】（1）見解析（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理解答．（2）根據(jù)S△ABC=S【詳解】（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=AFD=90°，在Rt△ADE和RtAD=ADDE=EF∴Rt△ADE≌Rt△ADF∴AE=AF.又∵∠EAD=FAD，AO=AO∴△AEO≌△AFO∴EO=FO，∠AOE=∠AOF=90°，∴AD是線段EF的垂直平分線；（2）S∴1∵AB+AC=10,DE=DF.∴∴DE=DF=3.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，角平分線等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用面積法解決問題．9．（2021·江蘇·淮安市洪澤實驗中學八年級期中）在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B，C重合），連接AD．（1）如圖①，當D是BC中點時，則S△ABD：S△ACD＝．（2）如圖②，當AD是∠BAC的平分線時求證：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．（3）如圖③，AD是∠BAC的平分線，延長AD到點E，使得AD＝DE，連接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求△ABC的面積．【答案】（1）1：1；（2）答案見解析；（3）9.【解析】【分析】(1)過A作AE⊥BC于E，根據(jù)三角形面積公式求出即可；(2)過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝DF，根據(jù)三角形面積公式求出即可；(3)根據(jù)已知和（1）（2）的結論求出△ABD和△ACD的面積，即可求出答案．【詳解】解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于E，∵點D是BC邊上的中點，∴BD＝DC，∴S△ABD：S△ACD＝（12×BD×AE）：（12×CD×故答案為1：1；（2）如圖2，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD為∠BAC的角平分線，∴DE＝DF，∴S△ABD：S△ACD＝（12×AB×DE）：（12×AC×DF）＝AB:（3）如圖③，∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解(3)的關鍵．10．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）已知，如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試問：DE和DF相等嗎？說明理由．【答案】相等，理由見解析【解析】【分析】連接AD，證明ACD≌△ABD，可得∠DAE=∠DAF，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明DE和DF相等．【詳解】連接AD，如圖，在△ACD和△ABD中，AB=ACAD=AD∴ACD≌△ABD（SSS），∴∠DAB=∠DAC即∠DAE=∠DAF∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE＝DF．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．【考點2】利用角平分線的判定定理進行計算與證明11．（2021·江蘇·星海實驗中學八年級期中）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的長．【答案】（1）見解析；（2）4【解析】【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝AF，由線段的和差關系求出答案．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）由（1）知，Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∵AB＝AE?BE＝AF?BE＝AC?CF?BE，BE＝CF，∴AB＝AC?2BE，∵AB＝12，AC＝20，∴BE＝AC?AB2【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形），全等三角形的對應邊相等，對應角相等．12．（2020·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF=50°，連接DE．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求【答案】（1）（1）40°；（2）證明見解析；（3）354【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠FAE，根據(jù)補角的定義計算，得到答案；（2）過點E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝EG，EF＝EH，等量代換得到EG＝EH，根據(jù)角平分線的判定定理證明結論；（3）根據(jù)三角形的面積公式求出EG，再根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）證明：過點E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴1212解得，EG＝EH＝52∴EF＝EH＝52∴△ABE的面積=1【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計算，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．13．（2020·江蘇·昭陽湖初中八年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，（1）求證：AD是△ABC的角平分線；（2）若AB=8，S△ABC【答案】（1）證明見解析；（2）92【解析】【分析】1根據(jù)HL可證Rt△BED≌Rt△2根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C【詳解】證明：1∵∴BD∵DE⊥AB∴△BED和△在Rt△BED與BD=∴Rt△BED∴DE∴AD是△2如圖，連接AD，∵Rt△BED∴∠B∴AB在Rt△ABD和AB=∴Rt△ABD∴S∴1∴4DE∴DE【點睛】本題主要考查學生對角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點的靈活運用，關鍵是證明Rt△BED≌14．（2020·江蘇·南京市第一中學八年級期中）已知：如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求證：AD平分∠BAC．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結論.【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中BD=CDBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.【點睛】此題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，角平分線的判定定理，正確理解題意證明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解題的關鍵.15．（2019·江蘇·南京市江北新區(qū)浦口外國語學校八年級期中）如圖，C是∠AOB內(nèi)部的一點，CE⊥OA，CF⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn)，且CE＝CF．點D是OC上任意一點，DG⊥OA，DH⊥OB，垂足分別為G，H．求證：DG＝DH．【答案】見解析【解析】【分析】先由CE⊥OA，CF⊥OB，且CE＝CF判定OC是角平分線，再利用角平分線的性質(zhì)得到DG=DH.【詳解】證明：∵

CE⊥OA，CF⊥OB，且CE＝CF，∴

∠AOC＝∠BOC．∵

DG⊥OA，DH⊥OB，D是OC上任意一點，∴

DG＝DH．【點睛】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)的應用，比較基礎，熟記性質(zhì)定理和判定定理是解題關鍵.16．（2018·江蘇無錫·八年級期中）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10（1）尺規(guī)作圖：作AD平分∠CAB，交BC于點D；（2）求CD的長度．【答案】（1）詳見解析；（2）CD=3.【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得；（2）作DP⊥AB，證△CAD≌△PAD可得DP=DC、AC=AP=6、BP=4，設CD=PD=x，則BD=8-x，Rt△BDP中由DP2+BP2=BD2列方程求解可得．【詳解】（1）如圖所示，AD即為所求；（2）∵AC=6、BC=8、AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，作DP⊥AB于點P，∴∠DPA=∠DPB=∠C=90°，在△CAD和△PAD中，{∠C=∠APD∴△CAD≌△PAD（AAS）∴DP=DC、AC=AP=6，∴BP=AB﹣AP=4，設CD=PD=x，則BD=8﹣x，在Rt△BDP中，∵DP2+BP2=BD2，∴x2+42=（8﹣x）2解得x=3，即CD=3【點睛】本題主要考查作圖-基本作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及尺規(guī)作圖．【考點3】角平分線的性質(zhì)與定理的應用與作圖17．（2017·江蘇揚州·八年級期中）如圖，七年級（1）班與七年級（2）班的學生分別在M、N兩處參加植樹勞動，現(xiàn)要設一個茶水供應點，使茶水供應點到兩個班的距離相等（不寫作法、要求保留作圖痕跡）．（1）若茶水供應點P設在道路AB上，請你作出點P；（2）若茶水供應點Q設在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)，并且使點Q到兩條道路的距離相等，請你作出點Q．【答案】（1）MN的垂直平分線與AB的交點；（2）∠BAC的平分線與MN的垂直平分線的交點．【解析】【詳解】解：(1)線段MN的垂直平分線與AB的交點即為點P，如下圖：(2)點Q是∠BAC的平分線與線段MN的垂直平分線的交點，如下圖：18．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）使用直尺與圓規(guī)完成下面作圖，（不寫作法，保留作圖痕跡，用水筆描黑）(1)在AB上找一點P使得P到AC和BC的距離相等；(2)在射線CP上找一點Q，使得QB＝QC；(3)若BC＝10，則點Q到邊AC的距離為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)5【解析】【分析】（1）作出∠C的角平分線交AC于P，點P即為所求；(2)作線段BC的垂直平分線，交CP于點Q，點Q即為所求；（3）如圖：BC的垂直平分線交BC于E，過Q作QF⊥AC于F點，根據(jù)CP為∠ACB的平分線，得到QF=QE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠QEC=90°，也可以證∠QCE=∠CQE，所以得到CE=QE=5，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到QF=QE=5，即可求解；(1)作出∠C的角平分線，標出點P(2)作出BC的垂直平分線標出點Q(3)如圖：BC的垂直平分線交BC于E，過Q作QF⊥AC于F點，∵QE為BC的垂直平分線，∴QE⊥BC，∠QEC=90°∵CP為∠ACB的平分線，∴QF=QE∴∠PCE=∠ACP=12∵∠QEC=90°∴∠CQE=90°-∠QCE=90°-45°=45°，所以∠QCE=∠CQE所以CE=QE∵QE為BC的垂直平分線，∴BE=CE=12∴CE=QE=5所以QF=QE=5∴點Q到邊AC的距離為5，故答案為：5【點睛】本題考查作圖，應用與設計作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．19．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，已知△ABC(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：（保留作圖痕跡）作△ABC的角平分線AD；作∠EBC＝∠ADC，BE交CA的延長線于E；(2)若AF⊥BE，垂足為F，證明BF＝EF．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）如圖1，運用直尺與圓規(guī)按要求畫角平分線即可得直線AD；根據(jù)∠EBC=∠ADC得到AD∥BE，過B作BE∥AD即可；（2）如圖1，作AF⊥BE于F，由角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，可得∠BEA=∠EBA，進而可判定△ABE是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可證BF=EF．(1)解：如圖1，射線AD就是∠BAC的角平分線；∠EBC=∠ADC，點E就是所求作的點；

圖1(2)證明：如圖1，作AF⊥B于F，∵射線AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵AD∥BE，∴∠CAD=∠BEA，∠EBA=∠BAD∴∠BEA=∠EBA∴AB=AE∴△ABE是等腰三角形∵AF⊥BE∴BF=EF【點睛】本題考查了作角平分線、作一個角等于已知角、等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵在于對知識的靈活運用．20．（2021·江蘇無錫·八年級期中）已知：如圖，△ABC中，∠A＝90°，現(xiàn)要在AC邊上確定一點D，使點D到BA、BC的距離相等．(1)請你按照要求，在圖上確定出點D的位置（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若BC＝5，AB＝4，則AC＝，AD＝（直接寫出結果）．【答案】(1)見解析；(2)AC=3，AD=4【解析】【分析】（1）由題意可知以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB、BC于兩點，然后再以這兩個點為圓心，大于這兩個點距離的一半為半徑畫弧，交于一點，連接點B與這個點，交AC于點D，進而問題可求解；（2）過點D作DH⊥BC于點H，由勾股定理可得AC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得AD=DH，進而根據(jù)面積法可求解．(1)解：由題意可得如圖所示：(2)解：過點D作DH⊥BC于點H，如（1）圖：∵∠A＝90°，BC＝5，AB＝4，∴由勾股定理得：AC=B∵BD平分∠ABC，∴AD=DH，∴S△ABC∵S△ABC∴12解得：AD=4故答案為3，43【點睛】本題主要考查勾股定理及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握勾股定理及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．21．（2021·江蘇常州·八年級期中）按要求作（畫）圖并證明：（1）尺規(guī)作圖：如圖∠AOB，作∠AOB的平分線OP（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）過平分線上一點C畫CD∥OB交OA于點D，取線段OC的中點E，過點E畫直線分別交射線CD、OB于點M、N（M不與C、D重合），請你探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】（1）見解析；（2）OD=ON+DM或OD=ON-DM．證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法即可求解；（2）①當點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關系是：OD＝DM＋ON．首先根據(jù)OC是∠AOB的平分線，CD∥OB，判斷出∠DOC＝∠DCO，所以OD＝CD＝DM＋CM；然后根據(jù)E是線段OC的中點，CD∥OB，推得△CME≌△ONE，得到CM＝ON，即可判斷出OD＝DM＋ON．②當點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關系是：OD＝ON?DM．同①，可得OD＝DC＝CM?DM，再根據(jù)CM＝ON，推得OD＝ON?DM即可．【詳解】（1）如圖，OP為所求；（2）①當點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關系是：OD＝DM＋ON．證明：如圖1，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠DOC＝∠COB，又∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠COB，∴∠DOC＝∠DCO，∴OD＝CD＝DM＋CM，∵E是線段OC的中點，∴CE＝OE，∵CD∥OB，∴∠C=∠EON∴∠CEM=∠OEN∴△CME≌△ONE∴CM＝ON，又∵OD＝DM＋CM，∴OD＝DM＋ON．②當點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關系是：OD＝ON?DM．證明：如圖2，由①同理可得OD＝DC＝CM?