浙東北聯(lián)盟（ZDB）20222023學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：浙江省平湖中學(xué)命題老師：汪大秀審卷老師：陳杰考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋淼?，解得：或，因?yàn)?，所?故選：C.2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，對(duì)稱軸為，所以.故選：C.3.隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列246則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列得到等差中項(xiàng)，由分布列知概率之和為，從而解出的值，得到.【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，由分布列知，所以，解得，所以，故選：D.4.三個(gè)班分別從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是（）A.729 B.18 C.216 D.81【答案】C【解析】【分析】每個(gè)班個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，每個(gè)班都有6種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得解.【詳解】第一步，從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選一個(gè)給第一個(gè)班，有6種選法；第二步，從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選一個(gè)給第二個(gè)班，有6種選法；第三步，從六個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選一個(gè)給第三個(gè)班，有6種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)是故選：C.5.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由排除AB，再根據(jù)坐標(biāo)軸上與的位置，排除C即可.【詳解】由知，，故排除AB；對(duì)于CD，由于，，對(duì)比點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，顯然可排除C．故選：D常規(guī)方法：由知函數(shù)是偶函數(shù)，且，，故排除AB；所以只需考慮當(dāng)≥0時(shí)的圖象．當(dāng)≥0時(shí)，，求導(dǎo)得，再次求導(dǎo)得，令得，所以函數(shù)在(0,ln4)單調(diào)遞減，在(ln4,+∞)單調(diào)遞增，又，，，所以，使得，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故選:D6.某同學(xué)通過計(jì)算機(jī)測(cè)試的概率為，他連續(xù)測(cè)試3次，其中恰有2次通過的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，連續(xù)測(cè)試3次，其中恰有2次通過的概率為.故選：B7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A.118 B.119 C.120 D.121【答案】A【解析】【分析】根據(jù)得到，即可得到的周期，然后利用賦值的思路得到，，，最后利用周期性求值即可.【詳解】由得，所以，則為周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?，，所以，，，，所?故選：A.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性得矛盾，時(shí)，由即可求解.【詳解】解：由，得，，易知.當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，矛盾當(dāng)時(shí)，，所以，所以，記函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又由得，所以，所以.綜上所述，.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較大小問題，常常根據(jù)：（1）結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較；（2）利用特殊值進(jìn)行估計(jì)，再進(jìn)行間接比較；（3）根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.得全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】，.故BD錯(cuò)誤，顯然AC正確.故選：AC.10.下列說法正確的有（）A.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)＝50，D(X)＝20，則B.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，若，則C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為12D.若從這10件產(chǎn)品(7件正品，3件次品)中任取2件，則恰好取到1件次品的概率【答案】BC【解析】【分析】選項(xiàng)A.由二項(xiàng)分布的期望和方差公式可求出，從而判斷；選項(xiàng)B.由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可判斷；選項(xiàng)C.由方差的性質(zhì)可判斷；選項(xiàng)D.由古典概率可求解判斷.【詳解】選項(xiàng)A.由隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，則解得，故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，則所以，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C.樣本數(shù)據(jù)的方差為3則數(shù)據(jù)的方差為，故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.恰好取到1件次品的概率為，故選項(xiàng)D不正確.故選：BC11.已知定義在上的偶函數(shù)，定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性與單調(diào)性分別判斷即可．【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)，定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞增，所以，，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，因?yàn)榈恼?fù)無法確定，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，在上單調(diào)遞增，則，故B正確；對(duì)于C，由，在上單調(diào)遞增，則，故C正確；對(duì)于D，由，在上單調(diào)遞增，則，故D正確；故選：BCD．12.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以事件，和表示從甲罐取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以事件B表示從乙罐取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（）A.，，是兩兩互斥的事件B.事件B與事件相互獨(dú)立C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由題意直接分析出，，是兩兩互斥的事件，即可判斷A；直接利用條件概率公式求出，可以判斷C;利用全概率公式求出，即可判斷D；利用可以判斷B.【詳解】解：由題意分析可知：，，是兩兩互斥的事件.故A正確；，，.所以.故C正確；同理，可得，所以.故D正確；因?yàn)?而，所以,所以事件B與事件不是相互獨(dú)立事件.故B錯(cuò)誤.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)10對(duì)樣本數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的數(shù)據(jù)求出樣本的中心點(diǎn)，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程過樣本中心點(diǎn)即得.【詳解】由，得，則，所以.故答案為：14.已知函數(shù)滿足，則___________.【答案】##【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，再代入，進(jìn)行求解.【詳解】，，即，解得：故答案為：15.甲?乙?丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則4次傳球后球在甲手中的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)次傳球后球在甲手中概率為，求出，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，求出的表達(dá)式，即可求得的值.【詳解】設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，當(dāng)時(shí)，，

設(shè)“次傳球后球在甲手中”，則，

則,即，

所以，，且，

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，

所以，所以，

所以4次傳球后球在甲手中的概率為．

故答案為：.16.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)得到，即可得到的單調(diào)性，然后根據(jù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，又由flnx+2>x所以，解得，所以原不等式解集為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為29.（1）求的值；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）（2）最大的項(xiàng)為，【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)列方程，解方程得到；（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到第4項(xiàng)與第5項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意知，得，又，所以【小問2詳解】展開式通項(xiàng)公式為，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的值是，對(duì)應(yīng)項(xiàng)是第4項(xiàng)與第5項(xiàng)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，.18.（1）求方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)；（2）求方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).【答案】（1）21；（2）34【解析】【分析】（1）方法一：分別令，列舉得到正整數(shù)解個(gè)數(shù)；方法二：與排列組合問題結(jié)合，看成八個(gè)物品分成三份，由擋板法可得到答案；（2）分別令，列舉得到正整數(shù)解的個(gè)數(shù).【詳解】（1）方法一：當(dāng)時(shí)，，則一共有6種；當(dāng)時(shí)，，則一共有5種；當(dāng)時(shí)，，則一共有4種；當(dāng)時(shí)，，則一共有3種；當(dāng)時(shí)，，則一共有2種；當(dāng)時(shí)，，則一共有1種.所以方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有種方法二：利用擋板法可得正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為；（2）當(dāng)時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為，由（1）知一共有21種；當(dāng)時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為，則一共有10種；當(dāng)時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為，則一共有3種；當(dāng)時(shí)，不合題意；綜上所述，方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.19.浙江省實(shí)行新高考改革方案以來，英語每年安排兩次考試，第一次在1月與選考科目同期進(jìn)行，稱為“首考”，第二次在6月與語文、數(shù)學(xué)同期進(jìn)行，稱為“老高考”，考生可選用其中一次較好的成績(jī)計(jì)入高考總分.英語在“首考”中“一考兩用”，成績(jī)既用于評(píng)定學(xué)業(yè)水平等級(jí)又可用于高考，學(xué)考合格后的考生，英語第二次考試成績(jī)僅用于高考，不計(jì)算學(xué)考等第.2023年1月“首考”中，英語成績(jī)達(dá)到122分及以上的學(xué)生，學(xué)考等第為A.某校為了解英語考試情況，隨機(jī)抽取了該校男女各100名學(xué)生在“首考”中的英語考試成績(jī)，情況如下表.男生女生A等4070非A等6030（1）估計(jì)事件“從200名學(xué)生中隨機(jī)選擇1人，選到的學(xué)生英語學(xué)考等第為A”的概率；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生英語學(xué)考等第與學(xué)生性別是否有關(guān)？附：參考公式：，其中.獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（2）與學(xué)生性別有關(guān)【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）求出的值，與臨界值比較即可.【小問1詳解】記事件“從200名學(xué)生中隨機(jī)選擇1人，選到的學(xué)生英語學(xué)考等第為”，則.【小問2詳解】2×2列聯(lián)表為男生女生合計(jì)A等4070110非A等603090合計(jì)100100200零假設(shè)：學(xué)生英語學(xué)考等第與學(xué)生性別無關(guān)，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以學(xué)生英語學(xué)考等第與學(xué)生性別有關(guān)，且判斷出錯(cuò)的概率不超過0.001.20.已知函數(shù).（1）已知在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1），.（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得且，即可求出，的值；（2）分、、三種情況討論，分別說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以，綜上所述，.【小問2詳解】因?yàn)?，（ⅰ）?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，解得或，當(dāng)或時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；①當(dāng)時(shí)，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；②當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，21.已知一個(gè)口袋中有3個(gè)白球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，6的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號(hào)為的抽屜.123456（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P；（2）隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)，求X的數(shù)學(xué)期望的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；或者利用全概率公式求解，（2）隨機(jī)變量的取值有：3，4，5，6，求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列及數(shù)學(xué)期望【小問1詳解】（方法一）編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率（方法二）編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率【小問2詳解】（方法一）隨機(jī)變量X的取值有：3，4，5，6又，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為3456所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.（方法二）隨機(jī)變量X的取值有：3，4，5，6又，，，3456所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.22.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在三個(gè)零點(diǎn)，，.（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）設(shè)，求證：.【答案】（1）答案見解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）分和兩種情況分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分別討論在和上的單調(diào)性，從而得解；（2）（?。┯纱嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)得到，再結(jié)合得到；（ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合的單調(diào)性得到，從而得證.【小問1詳解】①當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，令得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞