課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(十七)1．(2024·西安模擬)已知函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則()A．f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)B．f(x)在x＝1處取得極小值C．f(x)有極大值，沒(méi)有極小值D．f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減C解析：由題意及題圖分析可知，f(x)在(－∞，3)上單調(diào)遞增，在(3，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)有一個(gè)極大值，沒(méi)有極小值，所以A，B，D錯(cuò)誤，C正確．故選C．2．已知函數(shù)f(x)＝－xex，那么f(x)的極大值是A．1e B．－C．－e D．eA解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－xex，所以f′(x)＝－(x＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1.當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>－1時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)極大值＝f(－1)＝1e.故選A3．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋1，則下列說(shuō)法正確的是()A．f(x)有極大值2ln2B．f(x)有極小值3－2ln2C．f(x)無(wú)最大值D．f(x)在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增BCD解析：因?yàn)閒(x)＝ex－2x＋1的定義域?yàn)镽，并且f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得x＝ln2.當(dāng)x∈(－∞，ln2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝ln2時(shí)，f(x)取得極小值，無(wú)極大值，也無(wú)最大值，并且f(x)極小值＝f(ln2)＝3－2ln2，所以BCD正確，A錯(cuò)誤．故選BCD．4．(2022·全國(guó)甲卷)當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝alnx＋bx取得最大值－2，則f′(2)＝(A．－1 B．－1C．12 D．B解析：由題意知f(1)＝aln1＋b＝b＝－2.f′(x)＝ax－bx2，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a＋2＝0，所以a＝－2，所以f′(2)＝5．設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小值時(shí)t的值為()A．1 B．1C．52 D．D解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象始終在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－lnx.設(shè)h(x)＝x2－lnx，則h′(x)＝2x－1x＝2x2－1x(x＞0)．令h′(x)＝2x2－1x＝0，得x＝22，所以h(x)在6．已知函數(shù)f(x)＝3lnx－x2＋a－12x在區(qū)間(1，3)上有最大值，則實(shí)數(shù)－12，112解析：因?yàn)閒(x)＝3lnx－x2＋a－12x，所以f′(x)＝3x－2x＋a－12.由于f(x)＝3lnx－x2＋a－12x在區(qū)間(1，3)上有最大值，且f′(x)＝3x－2x＋a－12在(1，3)上單調(diào)遞減，故需滿足f′(x)在(17．函數(shù)f(x)＝－3x－|lnx|＋3的最大值為_(kāi)_______.2－ln3解析：由題知當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝－3x－lnx＋3，所以f′(x)＝－3－1x<0，所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝0.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝－3x＋lnx＋3，所以f′(x)＝－3＋1x＝－3x+1x，所以當(dāng)x∈0，13時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈13，1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)max＝8．(2024·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax－52＋6lnx(a∈R)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6)，則函數(shù)f(2＋6ln3解析：因?yàn)閒(x)＝a(x－5)2＋6lnx，所以f(1)＝16a，即切點(diǎn)為(1，16a)．又f′(x)＝2a(x－5)＋6x，k＝f′(1)＝6－8a，所以切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)．又切線過(guò)點(diǎn)(0，6)，所以6－16a＝(6－8a)(0－1)，解得a＝12，所以f(x)＝12x－52＋6lnx，則f′(x)＝x－5＋6x＝x2－5x+6x＝x－2x－3x，所以當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)2<x<3時(shí)，f′(x)<0.所以f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f9．(2024·1月·九省適應(yīng)性測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x2＋ax＋2在點(diǎn)(2，f(2))處的切線與直線2x＋3y＝0垂直．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：(1)f′(x)＝1x＋2x＋a(x＞0)，則f′(2)＝12＋2×2＋a＝92由題意可得92+a×－23＝(2)因?yàn)閍＝－3，所以f(x)＝lnx＋x2－3x＋2，所以f′(x)＝1x＋2x－3＝2x2－3x+故當(dāng)0<x<12時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)12<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，12，(1，＋∞)故f(x)的極大值為f12＝ln12+122－3×12極小值為f(1)＝ln1＋12－3×1＋2＝0.10．(多選題)設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(1)＝12，則下列結(jié)論正確的是(A．xf(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增B．xf(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減C．xf(x)在(0，＋∞)上有極大值1D．xf(x)在(0，＋∞)上有極小值1AD解析：由x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，可得xf′(x)＋f(x)＝1xlnx，x>0，所以[xf(x)]′＝lnxx.令g(x)＝xf(x)，x>0，則g′(x)＝lnxx，當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上有極小值g(1)＝f(1)＝11．(多選題)(2024·漳州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－3)ex，現(xiàn)給出下列結(jié)論，其中正確的是()A．函數(shù)f(x)有極小值，但無(wú)最小值B．函數(shù)f(x)有極大值，但無(wú)最大值C．若方程f(x)＝b恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則bD．若方程f(x)＝b恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則0<b<6e-3BD解析：由題意得f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f′(x)＝0，即(x2＋2x－3)ex＝0，解得x＝1或x＝－3，則當(dāng)x<－3或x>1時(shí)，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)在(－∞，－3)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)－3<x<1時(shí)，f′(x)<0，即函數(shù)f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞減．所以函數(shù)f(x)在x＝－3處取得極大值f(－3)＝6e-3，在x＝1處取得極小值f(1)＝－2e.又x趨向于－∞時(shí)，f(x)趨向于0；x→＋∞時(shí)，f(x)趨向于＋∞.作出函數(shù)f(x)＝(x2－3)ex的大致圖象如圖所示．因此f(x)有極小值f(1)，也有最小值f(1)，有極大值f(－3)，但無(wú)最大值．若方程f(x)＝b恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則b>6e-3或b＝－2e；若方程f(x)＝b恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則0<b<6e-3.故選BD．12．現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，該方盒容積的最大值是________.227a3解析：容積V(x)＝(a－2x)2x，0<x<a2，則V′(x)＝2(a－2x)(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)．由V′(x)＝0，得x＝a6或x＝a2(舍去)，當(dāng)0＜x＜a6時(shí)，V′(x)＞0，則V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a6＜x＜a2時(shí)，V′(x)＜0，則V(x)單調(diào)遞減．則x＝a6為V(x)在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí)V(13．(2024·渭南模擬)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為_(kāi)_______.1e解析：因?yàn)閒(x)＝aex－lnx(x>0)，所以f′(x)＝aex－1x.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(1，2)上恒成立．顯然a>0，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xex≥1a在(1，2)上恒成立．設(shè)g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex>0，所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)＝e.故e≥1a，解得a≥1e14．已知函數(shù)f(x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，a∈R.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的極值；(2)當(dāng)|a|≥1時(shí)，求f(x)在[0，|a|]上的最小值．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x3－3x2，f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)．故當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0.則f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，所以f(x)的極大值為f(0)＝0，極小值為f(1)＝－1.(2)因?yàn)閒(x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，所以f′(x)＝6x2－2(a＋3)x＋2a＝2(x－1)(3x－a)．①當(dāng)a>3時(shí)，f(x)在[0，1)上單調(diào)遞增，在1，a3所以f(x)min