2024~2025學(xué)年高二10月質(zhì)量檢測(cè)卷數(shù)學(xué)（A卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知圓的方程是，則圓心的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.在長(zhǎng)方體中，為棱的中點(diǎn).若，，，則（）A. B. C. D.4.兩平行直線，之間的距離為（）A. B.3 C. D.5.曲線與軸圍成區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.6.已知平面的一個(gè)法向量，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.37.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A.2 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列關(guān)于空間向量的命題中，是真命題的是（）A.若三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們一定不共面B.若，則，的夾角是銳角C.不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟菵.若，是兩個(gè)不共線的向量，且（，且），則構(gòu)成空間的一個(gè)基底10.已知直線，直線，則（）A.當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)為 B.直線恒過(guò)點(diǎn)C.若，則 D.存在，使11.“太極圖”是中國(guó)傳統(tǒng)文化之一，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，也被稱為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓.則下列命題正確的是（）A.黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界所在圓的方程為B.直線與白色部分有公共點(diǎn)C.點(diǎn)是黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點(diǎn)，則的最大值為4D.過(guò)點(diǎn)作互相垂直的直線，，其中與圓交于點(diǎn)，，與圓交于點(diǎn)，，則四邊形面積的最大值是22三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線與直線垂直，且它在軸上的截距為4，則直線的方程為_(kāi)________.13.圓和圓的公切線的方程為_(kāi)_______.14.如圖，在四棱錐中，，且，若，，則平面與平面夾角的余弦值為_(kāi)_______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）已知直線與交于，兩點(diǎn).（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）若，求的值.16.（本小題滿分15分）如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，是圓錐底面的一條直徑，，，是的中點(diǎn).（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）在平行四邊形中，，，.（1）若圓過(guò)，，三點(diǎn)，求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，求.18.（本小題滿分17分）如圖，四邊形是直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，，，，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（本小題滿分17分）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且截直線所得的弦長(zhǎng)為4.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)且滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.①求曲線的方程，并說(shuō)明曲線的形狀；②在直線上是否存在異于原點(diǎn)的定點(diǎn)，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，為定值，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

20242025學(xué)年高二10月質(zhì)量檢測(cè)卷?數(shù)學(xué)（A卷）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.C設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選C.2.A圓的方程可化為，圓心的坐標(biāo)是.故選A.3.D.故選D.4.A直線可化為，直線，所以兩平行直線之間的距離為.故選A.5.B曲線的方程化為，即，所以這條曲線與軸圍成的區(qū)域是一個(gè)半徑的半圓，其面積為.故選B.6.C，點(diǎn)到平面的距離.故選C.7.B解法一：設(shè)，由以為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，得關(guān)于的不等式有解，即有解，所以，解得或.故選B.解法二：圓的方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓是以為圓心，1為半徑的圓.又直線上存在點(diǎn)，使以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以只需圓與直線有公共點(diǎn)即可.由，解得或.故選B.8.D因?yàn)樵谡庵?，為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)槭抢馍系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)椋?，于是令，，所以?又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最小值為.故選D.9.AC選項(xiàng)A，由空間向量基本定理可知正確；選項(xiàng)B，當(dāng)且，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由向量定義可知正確；選項(xiàng)D，由平面向量基本定理可知，與，共面，則不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選AC.10.ABC對(duì)于A.當(dāng)時(shí)，直線，直線，由解得所以兩直線的交點(diǎn)為，故A正確；對(duì)于B，直線，令解得即直線恒過(guò)點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若，則，解得，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在，使，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，舍去，當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線重合，舍去，所以不存在，使，故D錯(cuò)誤.故選ABC.11.ABD對(duì)于A，黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界所在圓的圓心為，半徑為2，所以圓的方程為，故A正確；對(duì)于B，白色部分包含左側(cè)小半圓和右側(cè)大半圓，直線的斜率大于0，且過(guò)點(diǎn)，所以直線與右側(cè)大半圓無(wú)公共點(diǎn)，左側(cè)小半圓的方程為，圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以左側(cè)小半圓與直線有公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，黑色陰影部分小半圓的方程為，設(shè)，由題意知直線與圓有公共點(diǎn)，此時(shí)，解得，又黑色陰影部分小半圓在軸右側(cè)，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)有最大值，此時(shí)在軸截距為，故，故C錯(cuò)誤；設(shè)原點(diǎn)到直線，的距離分別為，，則，，且，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形面積的最大值是22，故D正確.故選ABD.12.因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率，又直線在軸上的截距為4，即直線過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可得直線，化簡(jiǎn)得.13.或或由題意易得兩圓相外切，且均與直線相切，直線與直線的交點(diǎn)為，所以設(shè)過(guò)的另外一條切線為，故，解得，或，故.因?yàn)榈男甭蕿椋蔬^(guò)兩圓切點(diǎn)的切線斜率為，設(shè)過(guò)公切點(diǎn)的切線方程為，則，所以，故.14.因?yàn)?，所以，，又，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所?分別取，的中點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以，又，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，則平面與平面夾角的余弦值.15.解：（1）方程可化為，圓心，半徑，取的中點(diǎn)，則直線是線段的垂直平分線，所以，因?yàn)?，所以，所以線段的垂直平分線的方程為，即.（2）點(diǎn)到直線的距離，所以，即，解得.16.解：（1）以為原點(diǎn)，，，的方向分別作為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.設(shè)直線與所成的角為，則，即直線與所成角的余弦值是.（2）由（1）知，，，設(shè)平面的法向量為，則取，得，所以平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.17.解：（1）設(shè)圓的方程為，則解得故所求圓的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由題意知，所以，所以，，即，所以，所以，所以四邊形的面積.又，所以，所以.18.（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?又因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所?又因?yàn)椋?，又，，平面，所以平?（2）解：以為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，.設(shè)，則，即點(diǎn)，則三棱錐的體積，解得，所以.則，設(shè)平面的法向量，由令，得平面的一個(gè)法向量，易知，為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是.19.解：（1）設(shè)圓心，因?yàn)閳A與軸正半軸相切，所以，且半徑