學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精備課資料一、利用向量解決幾何問題的進一步探討用平面向量的幾何運算處理平面幾何問題有其獨到之處,特別是處理線段相等，線線平行，垂直，點共線，線共點等問題，往往簡單明了，少走彎路,同時避免了復雜,煩瑣的運算和推理，可以收到事半功倍的效果.現(xiàn)舉幾例以供教師、學生進一步探究使用。1.簡化向量運算圖11例1如圖11所示,O為△ABC的外心，H為垂心,求證:.證明：如圖11,作直徑BD,連接DA，DC，有=,且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DAH∥DC，得四邊形AHCD是平行四邊形。從而=.又=得即。2.證明線線平行例2如圖12,在梯形ABCD中,E，F(xiàn)分別為腰AB,CD的中點.求證：EF∥BC,且｜|=(｜|+｜|)。圖12證明:連接ED，EC,∵AD∥BC,可設=λ(λ〉0）,又E，F(xiàn)是中點，∴+=0,且=(+）。而+=+++=+=(1+λ），∴=，EF與BC無公共點,∴EF∥BC.又λ>0，∴｜｜=（｜|+｜λ|)=（｜｜+||).3。證明線線垂直圖13例3如圖13,在△ABC中，由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE,且AD與BE交于H,連接CH,求證：CH⊥AB.證明:由已知AH⊥BC，BH⊥AC,有又故有(+)·=0,且=0,兩式相減,得=0，即·=0,∴⊥.4.證明線共點或點共線圖14例4求證：三角形三中線共點，且該點到頂點的距離等于各該中線長的。已知:△ABC的三邊中點分別為D，E，F(xiàn)(如圖14）。求證:AE，BF,CD共點,且。證明:設AE,BF相交于點G,=λ1,由定比分點的向量式有=,又F是AC的中點,，設,則，∴∴即=。又==（CA+2CE)=·（+)=,∴C，G,D共線，且=.二、備用習題1。有一邊長為1的正方形ABCD，設=a，=b，=c，則｜a—b+c|=_______________。2.已知|a｜=2,|b｜=，a與b的夾角為45°,則使λb—a與a垂直的λ=____________。3.在等邊△ABC中,=a，=b，=c，且|a｜=1,則a·b+b·c+c·a=____________。4.已知三個向量=(k,12），=(4，5），=(10，k）,且A,B,C三點共線，則k=_________.圖155。如圖15所示，已知矩形ABCD，AC是對角線,E是AC的中點，過點E作MN交AD于點M,交BC于點N,試運用向量知識證明AM=CN。6.已知四邊形ABCD滿足||2+｜|2=｜|2+｜|2，M為對角線AC的中點。求證：｜｜=｜｜.7。求證:如果一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。參考答案:1.22.23?！?。-2或11圖165.建立如圖16所示的直角坐標系,設BC=a，BA=b,則C(a，0），A（0,b），E（)。又設M(x2，b)，N（x1,0），則=（x2，0）,=（x1—a，0)?！?，∴(=0?！鄕2=a-x1.∴｜|=而｜｜=∴｜｜=|｜,即AM=CN。6.設=a，=b,=c,=d，∵a+b+c+d=0,∴a+b=—（c+d）.∴a2+b2+2a·b=c2+d2+2c·d?！遼｜2+|｜2=|｜2+｜｜2,∴a2+b2=(—d)2+(-c)2=c2+d2。②由①②得a·b=c·d.圖17∵M是AC的中點,如圖17所示,則=（d-c）,=(b—a）.∴||2=2=(b2+a2—2a·b）,｜|2=2=（d2+c2—2c·d）.∴｜|2=|｜2?！鄚|=｜|.7。解:已知OA∥O′A′，OB∥O′B′。求證:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.證明:∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，∴=λ(λ∈R，λ≠0),=μ（μ∈R,μ≠0).∴cos∠AOB=。cos∠A′O′B′=,當與，與均同向或反向時,取正號，即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.∵∠AOB,∠A′O′B′∈（0，π)，∴∠AOB=∠A′O′B′.當與，與只有一個反向時，取負號，即cos∠AOB=-cos