武漢市重點中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為，滿足，且是與的等差中項，則下列選項正確的是（）A. B.C D.2．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.3．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.相交C.相離 D.不確定4．已知x，y是實數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.5．為調(diào)查學(xué)生的課外閱讀情況，學(xué)校從高二年級四個班的182人中隨機抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機剔除的個數(shù)分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，26．已知正實數(shù)a，b滿足，若不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知直線與圓相交于，兩點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)，則此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為（）A. B.C. D.以上全不對10．下列求導(dǎo)不正確的是（）A B.C. D.11．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____14．參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點.他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為個單位長度，在球的右上方有一個燈泡（當(dāng)成質(zhì)點），燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面的點為，影子橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則這個影子橢圓的離心率______.15．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__16．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是菱形，平面平面.（1）證明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE與平面CDF所成的二面角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍19．（12分）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標(biāo)原點（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.20．（12分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時，恒成立，求的最大值．（其中為的導(dǎo)函數(shù)．）21．（12分）已知函數(shù).（1）記函數(shù)，當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在兩個不同的零點，證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）.22．（10分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可判斷D.【詳解】解：因為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故B錯誤；所以，故A錯誤；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：D.2、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D3、B【解析】直線恒過定點，而此點在圓的內(nèi)部，故可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】直線恒過定點，而，故點在圓的內(nèi)部，故直線與圓的位置關(guān)系為相交，故選：B.4、D【解析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的幾何意義是圓上一點與點連線的斜率，進而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與點A連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時斜率最大.此時，，，所以的最大值為.故選：D5、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機剔除人.故選：A.6、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號由題意，得，即對任意的實數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D7、B【解析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B8、C【解析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，利用弦長公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點，又，故點在圓內(nèi)，又圓的圓心為則，此時直線過圓心；當(dāng)直線與直線垂直時，取得最小值，此時.故的取值范圍為.故選：.9、B【解析】利用古典概型的概率求法求解.【詳解】從全體三位正整數(shù)中任取一數(shù)共有900種取法，以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的三位數(shù)有，共3個，所以以此數(shù)以2為底的對數(shù)也是正整數(shù)的概率為，故選：B10、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的運算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算后可判斷【詳解】A：；B：；C：；D：故選：C11、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限故選：D12、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因為，所以兩圓相交.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進而求得橢圓的離心率.【詳解】以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為設(shè),由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）則，又設(shè)直線PN方程為由到直線PN的距離為1，得，整理得則，又，故則直線PN的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率故答案為：【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。15、36【解析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案為：3616、【解析】利用等差中項求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點，連接，要證明，只需證明平面即可；（2）以D為原點建系，分別求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式計算即可得到答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點，連接四邊形為正方形，，且為的中點又四邊形為菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，則故可取，同理故可取，所以設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為18、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為﹣1，無極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數(shù)法得到，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減∴當(dāng)時，取得極大值﹣1所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減極大值為﹣1，無極小值【小問2詳解】由，得，令，只需.求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取得最大值，∴k的取值范圍為19、(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，滿足條件的點存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，根據(jù)三個式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)，由等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當(dāng)，時，存在滿足條件的點.故，a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題.20、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定義域為，，分和兩種情況解不等式和即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可得對于恒成立，分離可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，對于恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由可得；由可得；此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅱ）若，由可得，因為，所以，所以所以對于恒成立，令，則，，令，則對于恒成立，所以在單調(diào)遞增，因為，，所以在上存在唯一零點，即，可得：，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以的最大值為.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負，由符號確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.21、（1）在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導(dǎo)，然后對導(dǎo)數(shù)化簡整理后再解不等式即可得單調(diào)性；（2）要證明，通過求函數(shù)的極值可證明，要證，根據(jù)有兩個不同的零點，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再通過換元從求函數(shù)的最值上證明.【小問1詳解】因為，所以，令，得或.所以時，或；時，.所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】因為，所以.當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞減，此時不可能存在兩個不同的零點，不符合題意.當(dāng)時，.令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時，，時，.所以要使存在兩個不同的零點，則，即，解得.因為存在兩個不同的零點，則，即.不妨設(shè)，則，