3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)課時(shí)目標(biāo)1.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.2.會(huì)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單問題．1．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：(1)公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝(q≠1),(q＝1))).(2)注意：應(yīng)用該公式時(shí)，一定不要忽略q＝1的情況．2．若{an}是等比數(shù)列，且公比q≠1，則前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝____________.3．推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫________法．一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和．一、選擇題1．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)等于()A．11B．5C．－8D．－112．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則eq\f(S10,S5)等于()A．－3B．5C．－31D．333．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S4,a2)等于()A．2B．4C.eq\f(15,2)D.eq\f(17,2)4．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于(A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)5．在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋k，則實(shí)數(shù)k的值為()A．0B．1C．－1D．26．在等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為()A．514B．513C．512D．510二、填空題7．若{an}是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________.8．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________.9．若等比數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n項(xiàng)和為Sn＝－341，則n的值是________．10．如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.三、解答題11．在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．能力提升13．已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為Sn，S2n，S3n，求證：Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋2－4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝an·log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.1．在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”．2．前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前n項(xiàng)和公式要分類討論，即q≠1和q＝1時(shí)是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況．3．一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減的方法求和．3．2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)答案知識(shí)梳理1．(1)eq\f(a1(1－qn),1－q)eq\f(a1－anq,1－q)na12.eq\f(a1,q－1)3.錯(cuò)位相減作業(yè)設(shè)計(jì)1．D[由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，則eq\f(S5,S2)＝eq\f(a1(1＋25),a1(1－22))＝－11.]2．D[由題意知公比q≠1，eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a1(1－q6),1－q),\f(a1(1－q3),1－q))＝1＋q3＝9，∴q＝2，eq\f(S10,S5)＝eq\f(\f(a1(1－q10),1－q),\f(a1(1－q5),1－q))＝1＋q5＝1＋25＝33.]3．C[方法一由等比數(shù)列的定義，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(a2,q)＋a2＋a2q＋a2q2，得eq\f(S4,a2)＝eq\f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq\f(15,2).方法二S4＝eq\f(a1(1－q4),1－q)，a2＝a1q，∴eq\f(S4,a2)＝eq\f(1－q4,(1－q)q)＝eq\f(15,2).]4．B[∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4＝1∴設(shè){an}的公比為q，則q>0，且aeq\o\al(2,3)＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，∴a1＝eq\f(1,q2)＝4.∴S5＝eq\f(4(1－\f(1,25)),1－\f(1,2))＝8(1－eq\f(1,25))＝eq\f(31,4).]5．C[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋k，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.由題意知{an}為等比數(shù)列，所以a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.]6．D[由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q3＝18,a1q＋a1q2＝12))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝16,q＝\f(1,2))).∵q為整數(shù)，∴q＝2，a1＝2，S8＝eq\f(2(28－1),2－1)＝29－2＝510.]7．－eq\f(1,3)解析顯然q≠1，此時(shí)應(yīng)有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).8．3解析S6＝4S3?eq\f(a1(1－q6),1－q)＝eq\f(4·a1(1－q3),1－q)?q3＝3(q3＝1不合題意，舍去)．∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.9．10解析Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，∴－341＝eq\f(1＋512q,1－q)，∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，∴n＝10.10．2n－1解析當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)∴an＝2an－1，∴{an}是等比數(shù)列，∴an＝2n－1，n∈N＋.11．解∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1an＝128，,a1＋an＝66，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64.))②將①代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝eq\f(1,2)，由an＝a1qn－1可解得n＝6.將②代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝eq\f(1,2)或2.12．解分x＝1和x≠1兩種情況．(1)當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n(n＋1),2).(2)當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝eq\f(x(1－xn),1－x)－nxn＋1.∴Sn＝eq\f(x(1－xn),(1－x)2)－eq\f(nxn＋1,1－x).綜上可得Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n(n＋1),2)(x＝1),\f(x(1－xn),(1－x)2)－\f(nxn＋1,1－x)(x≠1且x≠0))).13．證明設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，當(dāng)q＝1時(shí)，則Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝n2aeq\o\al(2,1)＋4n2aeq\o\al(2,1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2aeq\o\al(2,1)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．當(dāng)q≠1時(shí)，則Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)，S2n＝eq\f(a1,1－q)(1－q2n)，S3n＝eq\f(a1,1－q)(1－q3n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,1－q)))2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴Seq\o\al(2,n)＋Seq\o\al(2,2n)＝Sn(S2n＋S3n)．14．解(1)由題意，Sn＝2n＋2－4，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝23－4＝4，也適合上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，n∈N＋.(2)∵bn＝anlog2