PAGE8-核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)七指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.QUOTE·QUOTE·QUOTE的化簡(jiǎn)結(jié)果為 ()A.2 B.3 C.4 D.6【解析】選B.原式=QUOTE·QUOTE·1QUOTE=QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=3·20=3.2.(2024·撫州模擬)已知a>b>1,ab=ba,lna=4lnb,則QUOTE=()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.4【解析】選D.a>b>1,lna=4lnb?lna=lnb4?a=b4,ab=ba?b4b=ba?4b=a?QUOTE=4.3.(2024·武漢模擬)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,則 ()A.b<a<c B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<c【解析】選B.因?yàn)閍=0.24=0.0016,b=0.32=0.09,c=0.43=0.064,所以b>c>a.4.(a2-a+2021)-x-1<(a2-a+2021)2x+5的解集為 ()A.(-∞,-4) B.(-4,+∞)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)【解析】選D.因?yàn)閍2-a+2021>1,所以-x-1<2x+5,所以x>-2.5.(2024·太原模擬)函數(shù)f(x)=ax-b的圖像如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是 ()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0【解析】選D.由題干圖像知f(x)是減函數(shù),所以0<a<1,又由圖像在y軸上的截距小于1可知a-b<1,即-b>0,所以b<0.6.(2024·北京模擬)若ea+πb≥e-b+π-a,則有 ()A.a+b≤0 B.a-b≥0C.a-b≤0 D.a+b≥0【解析】選D.令f(x)=ex-π-x,則f(x)在R上單調(diào)遞增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.7.(2024·十堰模擬)定義在[-7,7]上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)0<x≤7時(shí),f(x)=2x+x-6,則不等式f(x)>0的解集為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】選B.當(dāng)0<x≤7時(shí),f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(2)=22+2-6=0,所以當(dāng)0<x≤7時(shí),f(x)>0等價(jià)于f(x)>f(2),即2<x≤7,因?yàn)閒(x)是定義在[-7,7]上的奇函數(shù),所以-7≤x<0時(shí),f(x)在[-7,0)上單調(diào)遞增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等價(jià)于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集為(-2,0)∪(2,7].二、填空題(每小題5分,共15分)8.指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(m,3),則f(0)+f(-m)=________________.

【解析】設(shè)f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=am=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.若f(x)=QUOTE是R上的奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為________________,f(x)的值域?yàn)開_______________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,所以QUOTE=0,解得a=1,f(x)=QUOTE=1-QUOTE.因?yàn)?x+1>1,所以0<QUOTE<2,所以-1<1-QUOTE<1,所以f(x)的值域?yàn)?-1,1).答案:1(-1,1)10.給出下列結(jié)論:①當(dāng)a<0時(shí),(a2QUOTE=a3;②QUOTE=|a|(n>1,n∈N*,n為偶數(shù));③函數(shù)f(x)=(x-2QUOTE-(3x-7)0的定義域是QUOTE;④若2x=16,3y=QUOTE,則x+y=7.其中正確結(jié)論的序號(hào)有________________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)閍<0時(shí),(a2QUOTE>0,a3<0,所以①錯(cuò);②明顯正確;解QUOTE,得x≥2且x≠Q(mào)UOTE,所以③正確;因?yàn)?x=16,所以x=4,因?yàn)?y=QUOTE=3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以④錯(cuò).故②③正確.答案:②③(15分鐘35分)1.(5分)(2024·重慶模擬)設(shè)y=f(x)在(-∞,1]上有定義,對(duì)于給定的實(shí)數(shù)K,定義fK(x)=QUOTE給出函數(shù)f(x)=2x+1-4x,若對(duì)于隨意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),則 ()A.K的最大值為0 B.K的最小值為0C.K的最大值為1 D.K的最小值為1【解析】選D.依據(jù)題意可知,對(duì)于隨意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),則f(x)≤K在x≤1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.令2x=t,則t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值為1,所以K≥1.2.(5分)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),則下列結(jié)論中,肯定成立的是 ()A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2c D.2a+2c<2【解析】選D.作出函數(shù)f(x)=|2x-1|的圖像,如圖.因?yàn)閍<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),結(jié)合圖像知0<f(a)<1,a<0,c>0,b<1,所以0<2a<1,2-a>1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1,所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,又因?yàn)閒(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.【變式備選】(2024·西安模擬)若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),滿意f(1)=QUOTE,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]【解析】選B.由f(1)=QUOTE,得a2=QUOTE,解得a=QUOTE或a=-QUOTE(舍去),即f(x)=QUOTE.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上遞減,在[2,+∞)上遞增,所以f(x)在(-∞,2]上遞增,在[2,+∞)上遞減.3.(5分)(2024·北京模擬)某種物質(zhì)在時(shí)刻t(min)與濃度M(mg/L)的函數(shù)關(guān)系為M(t)=art+24(a,r為常數(shù)).在t=0min和t=1min時(shí)測(cè)得該物質(zhì)的濃度分別為124mg/L和64mg/L,那么在t=4min時(shí),該物質(zhì)的濃度為______________mg/L;若該物質(zhì)的濃度小于24.001mg/L,則最小的整數(shù)的值為________________.

【解析】依據(jù)條件:ar0+24=124,ar+24=64,所以a=100,r=QUOTE,所以M(t)=100QUOTE+24;所以M(4)=100QUOTE+24=26.56;由100QUOTE+24<24.001得:QUOTE<(0.1)5;所以lgQUOTE<lg(0.1)5;所以tlgQUOTE<-5;所以t[lg2-(1-lg2)]<-5;所以t(2lg2-1)<-5,代入lg2≈0.301得:-0.398t<-5;解得t>12.6;所以最小的整數(shù)t的值是13.答案:26.5613【變式備選】已知a-QUOTE=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.【解析】因?yàn)閍-QUOTE=3,所以a2+QUOTE=QUOTE+2·a·QUOTE=9+2=11,而QUOTE=a2+QUOTE+2=13,所以a+QUOTE=QUOTE,所以a2+a+a-2+a-1=11+QUOTE.4.(10分)已知函數(shù)y=aQUOTE+b的圖像過原點(diǎn),且無限接近直線y=2,但又不與該直線相交. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求該函數(shù)的解析式,并畫出圖像.(2)推斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=aQUOTE+b的圖像過原點(diǎn),所以0=aQUOTE+b,即a+b=0,所以b=-a.函數(shù)y=aQUOTE-a=aQUOTE.又0<QUOTE≤1,-1<QUOTE-1≤0.且y=aQUOTE+b無限接近直線y=2,但又不與該直線相交,所以a<0且0≤aQUOTE<-a,所以-a=2,函數(shù)y=-2QUOTE+2.用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖像,如圖.(2)明顯函數(shù)的定義域?yàn)镽.令y=f(x),則f(-x)=-2QUOTE+2=-2QUOTE+2=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),y=-2QUOTE+2=-2QUOTE+2為單調(diào)增函數(shù).當(dāng)x<0時(shí),y=-2QUOTE+2=-2QUOTE+2為單調(diào)減函數(shù).所以y=-2QUOTE+2在(-∞,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù).5.(10分)已知函數(shù)f(x)=QUOTE. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)若a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=QUOTE,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞增,在[-2,+∞)上單調(diào)遞減,而y=QUOTE在R上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,+∞)上單調(diào)遞增,即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2].(2)令g(x)=ax2-4x+3,則f