第4講隨機事務(wù)的概率1．概率(1)在相同條件下，大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事務(wù)A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)旁邊搖擺，即隨機事務(wù)A發(fā)生的頻率具有eq\o(□,\s\up3(01))穩(wěn)定性．我們把這個常數(shù)叫做隨機事務(wù)A的eq\o(□,\s\up3(02))概率，記作eq\o(□,\s\up3(03))P(A)．(2)頻率反映了一個隨機事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機的，而eq\o(□,\s\up3(04))概率是一個確定的值，因此，人們用eq\o(□,\s\up3(05))概率來反映隨機事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時也用eq\o(□,\s\up3(06))頻率作為隨機事務(wù)概率的估計值．(3)概率的幾個基本性質(zhì)①概率的取值范圍：eq\o(□,\s\up3(07))0≤P(A)≤1．②必定事務(wù)的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up3(08))1．③不行能事務(wù)的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up3(09))0．④概率的加法公式假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up3(10))P(A)＋P(B)．⑤對立事務(wù)的概率若事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，則A∪B為必定事務(wù)．P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up3(11))1，P(A)＝eq\o(□,\s\up3(12))1－P(B)．2．事務(wù)的關(guān)系與運算名稱定義符號表示包含關(guān)系若事務(wù)Aeq\o(□,\s\up3(13))發(fā)生，則事務(wù)Beq\o(□,\s\up3(14))肯定發(fā)生，這時稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)eq\o(□,\s\up3(15))B?A(或eq\o(□,\s\up3(16))A?B)相等關(guān)系若B?A，且eq\o(□,\s\up3(17))A?B，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相等eq\o(□,\s\up3(18))A＝B并事務(wù)(和事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生eq\o(□,\s\up3(19))當且僅當事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))eq\o(□,\s\up3(20))A∪B(或eq\o(□,\s\up3(21))A＋B)交事務(wù)(積事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當且僅當eq\o(□,\s\up3(22))事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))eq\o(□,\s\up3(23))A∩B(或eq\o(□,\s\up3(24))AB)互斥事務(wù)若A∩B為eq\o(□,\s\up3(25))不行能事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對立事務(wù)若A∩B為eq\o(□,\s\up3(26))不行能事務(wù)，A∪B為eq\o(□,\s\up3(27))必定事務(wù)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)A∩B＝?且A∪B＝Ω1．從集合的角度理解互斥事務(wù)和對立事務(wù)(1)幾個事務(wù)彼此互斥，是指由各個事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事務(wù)A的對立事務(wù)eq\o(A,\s\up10(－))所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補集．2．概率加法公式的推廣當一個事務(wù)包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).1．(2024·寧夏固原檢測)抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事務(wù)A為“至少有2件次品”，則事務(wù)A的對立事務(wù)為()A.至多有2件次品 B．至多有1件次品C.至多有2件正品 D．至少有2件正品答案B解析∵“至少有n個”的反面是“至多有n－1個”，又事務(wù)A為“至少有2件次品”，∴事務(wù)A的對立事務(wù)為“至多有1件次品”．2．(2024·河北邯鄲高三月考)從裝有2個白球和2個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事務(wù)：①至少有1個白球與至少有1個黃球；②至少有1個黃球與都是黃球；③恰有1個白球與恰有1個黃球；④恰有1個白球與都是黃球．其中互斥而不對立的事務(wù)有()A.0組 B．1組C．2組 D．3組答案B解析①中“至少有1個白球”與“至少有1個黃球”可以同時發(fā)生，如恰有1個白球和1個黃球，故①中的兩個事務(wù)不是互斥事務(wù)．②中“至少有1個黃球”說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，則兩個事務(wù)不互斥．③中“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”，都是指有1個白球和1個黃球，因此兩個事務(wù)是同一事務(wù)．④中兩事務(wù)不能同時發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事務(wù)是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)，故選B.3．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)狀況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0.03，則抽檢一件是正品(甲級品)的概率為()A.0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案C解析記抽檢的產(chǎn)品是甲級品為事務(wù)A，是乙級品為事務(wù)B，是丙級品為事務(wù)C，這三個事務(wù)彼此互斥，因此所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.故選C.4．(2024·新高考Ⅰ卷)某中學(xué)的學(xué)生主動參與體育熬煉，其中有96%的學(xué)生喜愛足球或游泳，60%的學(xué)生喜愛足球，82%的學(xué)生喜愛游泳，則該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B．56%C．46% D．42%答案C解析記“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球”為事務(wù)A，“該中學(xué)學(xué)生喜愛游泳”為事務(wù)B，則“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球或游泳”為事務(wù)A＋B，“該中學(xué)學(xué)生既喜愛足球又喜愛游泳”為事務(wù)AB，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選C.5．一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892則這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是________(保留四位小數(shù)).答案0.5173解析男嬰誕生的頻率依次約是0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.由于這些頻率特別接近0.5173，因此這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是0.5173.6．在一次班級聚會上，某班到會的女同學(xué)比男同學(xué)多6人，從這些同學(xué)中隨機選擇一人表演節(jié)目．若選到女同學(xué)的概率為eq\f(2,3)，則這班參與聚會的同學(xué)的人數(shù)為________．答案18解析設(shè)該班到會的女同學(xué)有x人，則該班到會的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，解得x＝12，故該班參與聚會的同學(xué)有18人．考向一事務(wù)的概念例1從6件正品與3件次品中任取3件，視察正品件數(shù)與次品件數(shù)，推斷下列每對事務(wù)是不是互斥事務(wù)；假如是，再推斷它們是不是對立事務(wù)．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種狀況：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品.(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它們是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3種狀況，它與“全是次品”既不是互斥事務(wù)也不是對立事務(wù)．(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2種狀況；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2種狀況，它們既是互斥事務(wù)也是對立事務(wù).1．精確把握互斥事務(wù)與對立事務(wù)(1)互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)生的事務(wù)，但可同時不發(fā)生.(2)對立事務(wù)是特殊的互斥事務(wù)，特殊在對立的兩個事務(wù)不行能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．2．判別互斥、對立事務(wù)的方法判別互斥、對立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個事務(wù)，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事務(wù)為對立事務(wù)，對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù).1.(2024·南陽模擬)一個勻稱的正方體玩具的各個面上分別標以數(shù)字1，2，3，4，5，6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事務(wù)A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事務(wù)B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事務(wù)C表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，則：①A與B是互斥而非對立事務(wù)；②A與B是對立事務(wù)；③B與C是互斥而非對立事務(wù)；④B與C是對立事務(wù)．以上四個結(jié)論中正確的是________．答案④解析依據(jù)互斥與對立的定義，A∩B＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3}，事務(wù)A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必定事務(wù))，故事務(wù)B，C是對立事務(wù)．考向二隨機事務(wù)的概率與頻率例2某網(wǎng)站從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機用戶中隨機抽取10000名進行調(diào)查，將受訪用戶按年齡分成5組：[10，20)，[20，30)，…，[50，60]，并整理得到如圖頻率分布直方圖．(1)求a的值；(2)從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機用戶中隨機抽取一人，估計其年齡低于40歲的概率；(3)估計春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機用戶的平均年齡．解(1)依據(jù)頻率分布直方圖可知10×(a＋0.005＋0.01＋0.02＋0.03)＝1，解得a＝0.035.(2)依據(jù)題意，樣本中年齡低于40歲的頻率為10×(0.01＋0.035＋0.03)＝0.75，所以從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機用戶中隨機抽取一人，估計其年齡低于40歲的概率為0.75.(3)依據(jù)題意，春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機用戶的平均年齡估計為15×0.1＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.05＝32.5(歲).1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來描述隨機事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事務(wù)概率的估計值．2．隨機事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義可求事務(wù)的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事務(wù)發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．2.電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬變更投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變更．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變更，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？(只需寫出結(jié)論)解(1)由題意，知樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25＝50，故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025.(2)設(shè)“隨機選取1部電影，這部電影沒有獲得好評”為事務(wù)B.沒有獲得好評的電影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部).由古典概型的概率公式，得P(B)＝eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五類電影的好評率，削減其次類電影的好評率.精準設(shè)計考向，多角度探究突破考向三互斥、對立事務(wù)的概率角度互斥事務(wù)的概率例3(2024·山西陽泉模擬)某保險公司利用簡潔隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機車主獲賠金額為4000元的概率.解(1)設(shè)A表示事務(wù)“賠付金額為3000元”，B表示事務(wù)“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率，得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事務(wù)“投保車輛中新司機獲賠4000元”．由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率，得P(C)＝0.24.角度對立事務(wù)的概率例4經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？解記“無人排隊等候”為事務(wù)A，“1人排隊等候”為事務(wù)B，“2人排隊等候”為事務(wù)C，“3人排隊等候”為事務(wù)D，“4人排隊等候”為事務(wù)E，“5人及5人以上排隊等候”為事務(wù)F，則事務(wù)A，B，C，D，E，F(xiàn)兩兩互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事務(wù)G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一：記“至少3人排隊等候”為事務(wù)H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：記“至少3人排隊等候”為事務(wù)H，則其對立事務(wù)為事務(wù)G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求困難的互斥事務(wù)的概率的一般方法(1)干脆法：將所求事務(wù)的概率分解為一些彼此互斥的事務(wù)的概率的和，運用互斥事務(wù)的概率求和公式計算.(2)間接法：先求此事務(wù)的對立事務(wù)的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))，即運用逆向思維，特殊是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡便．3.某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事務(wù)分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事務(wù)為M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事務(wù)N，則事務(wù)N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事務(wù)，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).1．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參與演講競賽，事務(wù)“至少有一名女生”與事務(wù)“全是男生”()A．是互斥事務(wù)，不是對立事務(wù)B．是對立事務(wù)，不是互斥事務(wù)C．既是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)D．既不是互斥事務(wù)，也不是對立事務(wù)答案C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種狀況，這兩種狀況加上“全是男生”構(gòu)成全部基本領(lǐng)件，且不能同時發(fā)生，故事務(wù)“至少有一名女生”與事務(wù)“全是男生”互為對立事務(wù)，且是互斥事務(wù)，故選C.2．假如事務(wù)A與B是互斥事務(wù)，且事務(wù)A∪B發(fā)生的概率是0.64，事務(wù)B發(fā)生的概率是事務(wù)A發(fā)生的概率的3倍，則事務(wù)A發(fā)生的概率為()A．0.64 B．0.36C．0.16 D．0.84答案C解析設(shè)P(A)＝x，則P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，解得x＝0.16.故選C.3．(2024·西安五校模擬)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，假如事務(wù)“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事務(wù)是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡答案A解析因為事務(wù)“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，所以概率是eq\f(7,10)的事務(wù)是事務(wù)“2張全是移動卡”的對立事務(wù)，也就是“2張不全是移動卡”即“至多有一張移動卡”．故選A.4．(2024·四川眉山車城中學(xué)模擬)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.4，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.3，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.4 B.0.3C．0.7 D.0.6答案B解析由題意得不用現(xiàn)金支付的概率P＝1－0.4－0.3＝0.3.故選B.5．同時擲3枚質(zhì)地勻稱的硬幣，至少有1枚正面對上的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,8)答案A解析由題意知本題是一個等可能事務(wù)的概率，同時擲3枚質(zhì)地勻稱的硬幣，共有23＝8種結(jié)果，滿意條件的事務(wù)的對立事務(wù)是3枚硬幣都是背面對上，有1種結(jié)果，所以至少有一枚正面對上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故選A.6．(2024·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者()A．10名 B．18名C．24名 D．32名答案B解析由題意，其次天須要志愿者完成的訂單數(shù)為500＋1600－1200＝900，故須要志愿者eq\f(900,50)＝18名．故選B.7．(2024·四川綿陽診斷考試)圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1答案C解析設(shè)“從中隨意取出2粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中隨意取出2粒都是白子”為事務(wù)B，“從中隨意取出2粒恰好是同一色”為事務(wù)C，則C＝A∪B，且事務(wù)A與B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(17,35).8．有兩張卡片，一張的正、反面分別寫著數(shù)字0與1，另一張的正、反面分別寫著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)答案C解析將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)有12，13，20，21，30，31，共6個，兩位數(shù)為奇數(shù)的有13，21，31，共3個，故所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).9．已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙勝的概率為eq\f(1,3)，則甲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為()A．eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C．eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事務(wù)，所以甲勝的概率為1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).設(shè)“甲不輸”為事務(wù)A，則A可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個互斥事務(wù)的和事務(wù)，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)(或設(shè)“甲不輸”為事務(wù)A，則A可看作是“乙勝”的對立事務(wù)，所以P（A）＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)).故選C.10．拋擲一個質(zhì)地勻稱的骰子的試驗，事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個發(fā)生的概率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)答案A解析∵事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，又小于5的偶數(shù)點有2和4，不小于5的點數(shù)有5和6，所以事務(wù)A和事務(wù)B為互斥事務(wù)，則一次試驗中，事務(wù)A或事務(wù)B至少有一個發(fā)生的概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故選A.11．(2024·云南玉溪高三入學(xué)考試)有一批貨物須要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條馬路，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條馬路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布狀況如下表所示：所用時間(天數(shù))10111213通過馬路1的頻數(shù)20402020通過馬路2的頻數(shù)10404010假設(shè)汽車A只能在約定日期(某月某日)的前11天動身，汽車B只能在約定日期的前12天動身(將頻率視為概率)，為了在各自允許的時間內(nèi)將貨物運至城市乙，汽車A和汽車B選擇的最佳路徑分別為()A．馬路1和馬路2 B．馬路2和馬路1C．馬路2和馬路2 D．馬路1和馬路1答案A解析通過馬路1到城市乙用時10，11，12，13天的頻率分別為0.2，0.4，0.2，0.2；通過馬路2到城市乙用時10，11，12，13天的頻率分別為0.1，0.4，0.4，0.1，設(shè)A1，A2分別表示汽車A在約定日期前11天動身，選擇馬路1，2將貨物運往城市乙；B1，B2分別表示汽車B在約定日期前12天動身，選擇馬路1，2將貨物運往城市乙，則P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽車A最好選擇馬路1，汽車B最好選擇馬路2.12．若隨機事務(wù)A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))答案A解析由題意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P（A）<1，,0<P（B）<1，,P（A）＋P（B）≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2)，所以實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))).故選A.13．(2024·河南平頂山模擬)某班要選一名學(xué)生做代表，每個學(xué)生當選是等可能的，若“選出的代表是男生”的概率是“選出的代表是女生”的概率的eq\f(1,3)，則這個班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為________．答案75%解析設(shè)“選出的代表是女生”的概率為a，則“選出的代表是男生”的概率為eq\f(1,3)a，因為a＋eq\f(1,3)a＝1，所以a＝eq\f(3,4)，所以這個班的女生人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為75%.14．(2024·陜西榆林模擬)某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天起先營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)覺存貨少于2件，則當天進貨補充至3件；否則不進貨．將頻率視為概率，則當天商店不進貨的概率為________．答案eq\f(3,10)解析商店不進貨即日銷售量少于2件，明顯“日銷售量為1件”與“日銷售量為0件”不行能同時發(fā)生，彼此互斥．記“當天商品銷售量為0件”為事務(wù)A，“當天商品銷售量為1件”為事務(wù)B，“當天商店不進貨”為事務(wù)C，則P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).15．已知小李每次打靶命中靶心的概率都為40%，現(xiàn)采納隨機模擬的方法估計小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率．先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次打靶的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965據(jù)此估計，小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率為________．答案0.3解析由題意知，在20組隨機數(shù)中表示三次打靶恰有兩次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6組隨機數(shù)，所以所求概率為eq\f(6,20)＝0.3.16．(2024·北京第四十三中學(xué)月考)某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個手機號只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號的方式確定能否勝利購買到該商品．規(guī)則如下：①搖號的初始中簽率為0.19；②當中簽率不超過1時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加0.05.為了使中簽率超過0.9，則至少須要邀請________位好友參與到“好友助力”活動．答案15解析因為搖號的初始中簽率為0.19，所以要使中簽率超過0.9，須要增加中簽率0.9－0.19＝0.71，因為每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加0.05，所以至少須要邀請的好友人數(shù)為eq\f(0.71,0.05)＝14.2，所以至少須要邀請15位好友參與到“好友助力”活動．17．依據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率是0.5，購買乙種保險的概率是0.3，設(shè)各車主至多購買一種保險．(1)求該地一位車主購買甲、乙兩種保險中一種的概率；(2)求該地一位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．解記A表示事務(wù)“該地一位車主購買甲種保險”；B表示事務(wù)“該地一位車主購買乙種保險”；C表示事務(wù)“該地一位車主購買甲、乙兩種保險中的一種”；D表示事務(wù)“該地一位車主甲、乙兩種保險都不購買”．(1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因為D與C是對立事務(wù)，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.18．袋中有外形、質(zhì)量完全相同的紅球、黑球、黃球、綠球共12個．從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12).(1)試分別求得到黑球、黃球、綠球的概率；(2)從中任取一球，求“得到的不是紅球且不是綠球”的概率.解(1)從12個球中任取一個，記事務(wù)A為“得到紅球”，事務(wù)B為“得到黑球”，事務(wù)C為“得到黃球”，事務(wù)D為“得到綠球”，則事務(wù)A，B，C，D兩兩互斥，由題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B＋C）＝\f(5,12)，,P（C＋D）＝\f(5,12)，,P（A＋B＋C＋D）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B）＋P（C）＝\f(5,12)，,P（C）＋P（D）＝\f(5,12)，,P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1，))解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).故得到黑球、黃球、綠球的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).(2)事務(wù)“得到紅球或綠球”可表示為事務(wù)“A＋D”，由(1)及互斥事務(wù)概率加法公式得P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12)，故“得到的不是紅球且不是綠球”的概率P＝1－P(A＋D)＝1－eq\f(7,12)＝eq\f(5,12).19．(