120個(gè)中考熱點(diǎn)解題技巧思想以及常見(jiàn)幾何模型添加技巧精髓

幾何最值之將軍飲馬問(wèn)題

知識(shí)導(dǎo)航

題型一：兩定一動(dòng)模型即E，三：西口71n模則,

最值之將軍飲馬問(wèn)題

題型二：-定兩動(dòng)模型題型四：兩定點(diǎn)-定長(zhǎng)

三角形中的最值（將軍飲馬模型）問(wèn)題在考試中，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題,

都是學(xué)生感覺(jué)有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等

的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。在解決幾何最值問(wèn)

題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱

變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過(guò)本

專題的講解讓大家對(duì)這類問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。

［模型引入】

什么是將軍飲馬？

“白日登?山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李碩《古從軍行》里的一句詩(shī)。而由此卻引申出一系

列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”-

【模型描述】

如圖，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營(yíng)，問(wèn)：將軍怎么走能

使得路程最短？

8軍營(yíng)

將軍A

河

【模型抽象】

如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最?。?/p>

B

A

P

這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于B4+PB是一段折線段，通過(guò)觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我

們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短''等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問(wèn)

題，將折線段變?yōu)橹本€段.

【模型解析】

作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A',連接B4',貝所以必+P2=RT+P8

當(dāng)4、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA,+PB=A,B,此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）

B

/

A端點(diǎn)/

卜、/

J'/______________

I/尸折點(diǎn)

I/

K

A

【模型展示】

【模型】一'兩定一動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)

在。4、上分別取點(diǎn)M、N,使得△PMN周長(zhǎng)最小.

此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)尸關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的

對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P'M+MN+NP”,當(dāng)產(chǎn)、M、N、P”共線時(shí)，zkPMN周長(zhǎng)

最小.

【精典例題】如圖，點(diǎn)尸是乙4。8內(nèi)任意一點(diǎn)，ZAOB=3Q°,0P=8,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是

射線OA和射線0B上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為.

【分析】APAW周長(zhǎng)即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)尸關(guān)于0B、

。4對(duì)稱點(diǎn)尸、P”,化PM+PN+MN為P'N+MN+P”M.

當(dāng)尸、N、M、尸”共線時(shí)，得△2〃汽周長(zhǎng)的最小值，即線段尸'尸"長(zhǎng)，連接。尸、0P",可

得AOP，P”為等邊三角形，所以P/"=OP，=OP=8.

【模型】二、兩定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)

在04、上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMN0的周長(zhǎng)最小。

考慮尸。是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)尸、。關(guān)于

。4、08對(duì)稱，化折線段PM+MN+NQ為P，M+MN+N0,當(dāng)P、M、N、。，共線時(shí)，四邊形

PMNQ的周長(zhǎng)最小。

【模型】三、一定兩動(dòng)之點(diǎn)線

在OA、08上分別取M、N使得PM+MN最小。

此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于。4對(duì)稱的點(diǎn)產(chǎn)，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為PA/+MM即過(guò)

點(diǎn)產(chǎn)作0B垂線分別交0A,0B于點(diǎn)M,N,得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線

段最短）

0題型精講

題型一：兩定一動(dòng)模型

模型作法結(jié)論

A

；

,1/Z

ZB4+P8的最小值為

BB

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線1異側(cè)時(shí)，在直線連接A2交直線/于點(diǎn)P，點(diǎn)P

/上找一點(diǎn)尸，使出+尸8最小.即為所求作的點(diǎn).

B

.A

11'//////P

1/B4+PB的最小值為A3

B'

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線1同側(cè)時(shí)，在直線

作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B',

/上找一點(diǎn)P,使得以十尸8最小.

連接A8交直線/于點(diǎn)P,點(diǎn)P

即為所求作的點(diǎn).

【解析】解：解：（1）作A關(guān)于;v=3的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接AB交直線x=3與點(diǎn)C.

:點(diǎn)A與點(diǎn)A，關(guān)于產(chǎn)3對(duì)稱,：.AC=A,C.AC+BC=A,C+BC.

當(dāng)點(diǎn)B、C、A，在同一條直線上時(shí)，AC+BC有最小值，即AABC的周長(zhǎng)有最小值.

:點(diǎn)A與點(diǎn)A，關(guān)于x=3對(duì)稱，，點(diǎn)A，的坐標(biāo)為（6,3）.

33

設(shè)直線BA，的解析式產(chǎn)質(zhì)+6,將點(diǎn)B和點(diǎn)A，的坐標(biāo)代入得：k=-，b=~~.

3

將x=3代入函數(shù)的解析式，的值為一

4

【例2】如圖，正方形ABC。中，AB=1,M是。C上的一點(diǎn)，且。M=3,N是AC上的一

動(dòng)點(diǎn)，求ION—MM

的最小值與最大值.

【解析】解：當(dāng)ND=NM時(shí)，即N點(diǎn)DM的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，|DN-MN|=O,

因?yàn)镮DN-MN區(qū)DM,當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)|DN-MN|=DM=3,

所以|DN-MN|的最小值為0,最大值為3

【例3】如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)A（l，0）,8（5,0）,

C(0,4).

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；

（2）P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求滿足P4+PC的值為最小的點(diǎn)P坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D1中探

索)；

(3)在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)E,使四邊形OEBF是以0B為對(duì)角線且面積為12

的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.(請(qǐng)?jiān)趫D2中探索)

4248

【答案】(1)y=-x2----x+4,函數(shù)的對(duì)稱軸為：%=3；(2)點(diǎn)P(3,—)；(3)存在，

555

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,-弓)或(4,-y-).

【解析】

解：(1)根據(jù)點(diǎn)A(1,O),8(5,0)的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：

y^~ci(^x--6x+5),

??,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(。，4),

,4

則5(2=4，解得：a=—,

5

4/、416424

拋物線的表達(dá)式為：y=~^2—6x+5^=—(x—3)9——=—x2——x+4,

函數(shù)的對(duì)稱軸為：xW；

(2)連接5、。交對(duì)稱軸于點(diǎn)尸，此時(shí)PA+PC的值為最小，

設(shè)BC的解析式為：y=kx+b,

0=5左+Z?

將點(diǎn)5、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=Ax+b得：＜)

b=4

4

解得：\~~~5,

b=4

4

直線的表達(dá)式為：y=--x+4,

Q

當(dāng)時(shí)，y=一，

-5

Q

故點(diǎn)P(3,?)；

5

(3)存在，理由：

四邊形OE即是以06為對(duì)角線且面積為12的平行四邊形,

則S四邊形皿=。6義|謁=5*僅E|=12,

12

點(diǎn)E在第四象限，故：則%=一二，

將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

-6x+5j=-—,

解得：xW或4,

G12、/“12、

(2,—)(4,—)

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為5或5.

題型二：一定兩動(dòng)模型

模型作法結(jié)論

/:A

).

△PCZ)周長(zhǎng)的最小值為

0B

OD\1BPP”

l

點(diǎn)P在NA08內(nèi)部，在。8邊上找點(diǎn)

分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、0B的對(duì)

D,0A邊上找點(diǎn)C,使得△PCD周

【分析】△周長(zhǎng)即PM+PN+MN的最小值，止匕處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)尸關(guān)于0B、

。4對(duì)稱點(diǎn)尸'、P”,化PM+PN+MN為P'N+MN+P”M.

當(dāng)產(chǎn)、N、M.P”共線時(shí)，得APMN周長(zhǎng)的最小值，即線段尸了"長(zhǎng)，連接OP，、OP”,可

得40尸'尸"為等邊三角形，所以尸‘尸"=0產(chǎn)=。尸=8.

［例5］如圖，點(diǎn)P是/A0B內(nèi)任意一點(diǎn)，且/4。8=40。，點(diǎn)〃和點(diǎn)N分別是射線OA和

射線

【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于0A、。8的對(duì)稱點(diǎn)P、2，

連接P1P2,交。4于跖交。8于M則OPi=0P=OP2,Z0PM=ZMPO,NNP0=ZNP2O,

，

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得PN=P2N,則△PMN的周長(zhǎng)的最小值=尸1尸2

/.ZPlOP2=2ZAOB=SO°,；.等腰△。尸1尸2中，/。尸"2+/。尸2尸1=100°,

ZMPN^ZOPM+ZOPN=ZOP1M+ZOP2N=100°,故選：B.

【例6】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，連接DF,過(guò)點(diǎn)E

作EHJ_DF,垂足為H,EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.

(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)H作MN〃CD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)

P是MN上一點(diǎn)，求APDC周長(zhǎng)的最小值.

【答案】（1）結(jié)論：CF=2DG,理由見(jiàn)解析；（2）△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2而.

【詳解】

(1)結(jié)論：CF=2DG.

理由：???四邊形ABCD是正方形，

.,.AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°,

VDE=AE,

JAD=CD=2DE,

VEG±DF,

JZDHG=90°,

AZCDF+ZDGE=90°,ZDGE+ZDEG=90°,

:.NCDF=NDEG,

AADEG^ACDF,

.DGDE1

CF-DC-2?

???CF=2DG.

（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,

此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

「皿上55[-DEDG

由題意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=一，EG=—,DH=-------------=」5r，

22EG

???EH=2DH=2百，

DHEH

AHM==2,

DE

DM=CN=NK二yjDH--HM2=1，

在RtADCK中，DK=ylcDr+CK2=V102+227102+(2^)2=2726，

.'.△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2而.

［例7］如圖，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,C,E三點(diǎn)，其中A(-3,0),

C(0,4),點(diǎn)B在x軸上，AC=BC,過(guò)點(diǎn)B作BDJ_x軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N分別

是線段CO,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN,連接MN,AM,AN.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)ACMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)試求出AM+AN的最小值.

【答案】(1)拋物線解析式為y=--x2+-x+4；D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)；(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,

66

—)或(0,);(3)AM+AN的最小值為.

【詳解】

f1

r9a+15a+c=0a=——

(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得〈，解得〈6，

c=4

ic=4A

???拋物線解析式為丫=-、2+9X+4；

66

VAC=BC,COXAB,

.*.OB=OA=3,

AB(3,0),

VBD±x軸交拋物線于點(diǎn)D,

；.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

15

當(dāng)lzx=3時(shí)，y=-—x9+—x3+4=5,

66

?*.D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)；

(2)在RtAOBC中，BC=yJoB2+OC2=A/32+42=5-

設(shè)M（0,m）,則BN=4-m,CN=5-（4-m）=m+l,

VZMCN=ZOCB,

、，CMCN心

.,.當(dāng)----=——時(shí)，△CMNsaAcOB,則nlNCMN=NCOB=90。,

COCB

即^―竺=—+1,解得m=3,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—）；

4599

、CMCN-

當(dāng)----=——時(shí)，ACMN^AACBO,貝nUl/CNM=NCOB=90。，

CBCO

4—Tnn?+11111

HP--------=——，解得m=—,止匕時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—）；

5499

綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,梟或（0,—

99

（3）連接DN,AD,如圖，

VAC=BC,COXAB,

；.OC平分NACB,

ZACO=ZBCO,

：BD〃OC,

.,.ZBCO=ZDBC,

；DB=BC=AC=5,CM=BN,

.?.△ACM^ADBN,

；.AM=DN,

；.AM+AN=DN+AN,

而DN+ANNAD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號(hào)），

DN+AN的最小值=762+52=扃，

AAM+AN的最小值為洞.

題型三：兩定兩動(dòng)模型

模型二作法;結(jié)論

A

PC+CD+DQ的最小值為

?分P'Q',所以四邊形PQOC周

0B

長(zhǎng)的最小值為PQ+P'Q'

點(diǎn)尸、。在NAOB內(nèi)部，在邊上別作點(diǎn)P、Q關(guān)于04、0B的對(duì)

找點(diǎn)D,OA邊上找點(diǎn)C,使得四邊稱點(diǎn)P'、Q',連接P'Q',分別交

形PQDC周長(zhǎng)最小.。4、0B于點(diǎn)C、D,點(diǎn)C、D

即為所求.

【例8】如圖，在矩形A3CD中，AB=4,BC=7,E為CD的中點(diǎn)，若P、Q為BC

邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且尸Q=2,若想使得四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則的長(zhǎng)度應(yīng)為

解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2,作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接EG與BC交于

一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線

交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn).

：E為CD的中點(diǎn)，；.CE=2

，GH=DF=5,EH=2+4=6,ZH=90°,

VBC//GH

?QCE-?GHE,

.CQEC

"GH~EH'

.四二

??一,

56

5

..CQ=-,

3

510

BP=CB-PQ-CQ=7-2--=-y.

故答案為—.

3

【例9】如圖，已知直線11、〃之間的距離為8,點(diǎn)尸到直線的距離為6,點(diǎn)。到

直線h的距離為4,「。=4而’在直線’1上有一動(dòng)點(diǎn)4直線2上有一動(dòng)點(diǎn)B,滿足AB±l2,

且PA+AB+BQ最小，止匕時(shí)PA+BQ=.

【答案】16.

【詳解】

作PELh于E交L于F,在PF上截取PC=8,連接QC交12于B,作BA，h于A,此時(shí)

PA+AB+BQ最短.作QD_LPF于D.在RtAPQD中，VZD=900,PQ=4，PD=18,

，DQ='PQ：-PD),：AB=PC=8,AB〃PC，.?.四邊形ABCP是平行四邊形，

，PA=BC,CD=10,；.PA+BQ=CB+BQ=QC=+少=J]56+]00=16.故答案為16.

模型作法結(jié)論

AAM+MN+

B上NB的最小

值為A"B

如圖，在直線/上找M、N兩點(diǎn)

~\~d

（M在左），使得AM+MN+A?最

小，且MN=d.將A向右平移d個(gè)單位到4,作4

關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)A",連接與直線/交于

點(diǎn)、N,將點(diǎn)N向左平移1個(gè)單位即為M,

點(diǎn)Af,N即為所求.

AAAM+MN+

11

!flNB的最小

11/v\^k

值為A8+

BB

d.

如圖,k//h，h、L間距離為d，將A向下平移d個(gè)單位到A,連接45交直

在小/2分別找M、N兩點(diǎn)，使線/2于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作MN±h，連接AM.

得MNLh,且AM+MN+NB最小.點(diǎn)M、N即為所求.

【例10】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0ABe如圖所示，點(diǎn)A在無(wú)軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸

正半軸上，且。4=6,OC=4,。為0c中點(diǎn)，點(diǎn)E、尸在線段04上，點(diǎn)E在點(diǎn)尸左側(cè),

￡廣=2.當(dāng)四邊形8OE尸的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【解析】如圖，將點(diǎn)。向右平移2個(gè)單位得到。(2,2),作。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)￡>"(2,-

2),連接8。"交了軸于點(diǎn)凡將點(diǎn)/向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)E,此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)F為所求作的

點(diǎn)，且四邊形周長(zhǎng)最小.

理由:

四邊形BDEF的周長(zhǎng)為BD+DE+EF+BF,BD與EF是定值.

...BF+DE最小時(shí)，四邊形汨尸周長(zhǎng)最小，

'：BF+ED=BF+FD'=BF+FD"=BD''

設(shè)直線BD"的解析式為y=fcc+6,把B(6,4),D"(2,—2)代入，

33

得64+6=4,2k+b=-2,解得左=2，。=—5,.,.直線8￡)"的解析式為y=2尤一5.

令y=0,得x=￥，，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(芋，0)....點(diǎn)E坐標(biāo)為(*0).

【例11】村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直

的橋，橋址應(yīng)如

何選擇，才使A與2之間的距離最短？

?A

h

I2

B*

【解答】

設(shè)/i和/2為河岸，作BZXL/2，取等于河寬，連接AB咬/i于G，作CC2_L/2于C2,

則A-C1—C2-2為最短路線，即A與2之間的距離最短.

題型一將軍飲馬中兩定一動(dòng)模型與最值問(wèn)題

【專題說(shuō)明】

這類問(wèn)題的解法主要是通過(guò)軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩定點(diǎn)中的一個(gè)映射到直線的另一側(cè)，轉(zhuǎn)

化為兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題。

i、如圖，在aisc中，且B=ac，,總域解因是Ais。的兩條中線，尸是且。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則下列線段的長(zhǎng)度等于8尸+E尸最小值的是（）

c..IDD.AC

【答案】B

【詳解】

在A18C中，，1S=HC，AD是A￡SC的中線，可得點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AD對(duì)稱，連

結(jié)CE,交AD于點(diǎn)P,此時(shí)BP+EP最小，為EC的長(zhǎng)，故選B.

2、如圖，在正方形A8CZ）中，E是A8上一點(diǎn)，BE=2,A8=8,尸是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE

的最小值____.

【答案】10

【詳解】

解：如圖：

連接交AC于點(diǎn)P,此時(shí)尸

PB+PE=PD+PE=DE為其最小值，

?.,四邊形ABC。為正方形，且2E=2,A3=8,

AZDAB=90°,AD=AB=8,AE=AB-BE=6,

在RtzVlDE中，根據(jù)勾股定理，得

DE=^AD2+AE-

A/82+62

=10.

的最小值為10.

故答案為10.

3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。的邊交x軸于點(diǎn)D,ADLx軸，反比例

k

函數(shù)y=V(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,0),AB=BD.

x

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P為V軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E4+PB的值最小時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

912

【答案】(1)y=—；(2)(0,—)

x5

【詳解】

解：(1)???Q4BC是矩形，

/?NB=ZOAB=90°，

?/AB=DB，

/?ABAD=ZADB=45°，

；?ZOAD=45°，

又,:A￡)_L尤軸，

???ZOAD=NDOA=45°，

OD—AD，

?：D(3,0)

QD=AD=3,即A(3,3)

把點(diǎn)A(3,3)代入的y=幺得，k=9

X

9

???反比例函數(shù)的解析式為：y=—.

x

9

答：反比例函數(shù)的解析式為：y=—.

(2)過(guò)點(diǎn)3作班，AD垂足為E，

???/8=90°，AB=BD,BELAD

13

，AE=ED=-AD=-,

22

39

，0D+BE=3+-=-,

22

93

22

93

則點(diǎn)3關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)4(d)，直線ABi與y軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB

最小，

93

設(shè)直線A修的關(guān)系式為>=履+6,將A(3,3),修(一=二)，代入得，

22

「3左+6=3

…,1,12

<9,3解得：k=一,b=—,

——k+=-55

[22

1I?

???直線A耳的關(guān)系式為丁=1%+二，

當(dāng)x=0時(shí)，y=一,

5

點(diǎn)P(0,。)

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+2x+c與x軸交于A(-1,0)B(3,0)兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

(2)請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M,使ABDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形

是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為y=-x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；(2)點(diǎn)M的坐

標(biāo)為(0,3)；

(3)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(人7，2，0)或(1上0，13

3939

【詳解】

解：(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2-2ax-3a,

-2a=2,解得a=-1,

.?.拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

當(dāng)x=0時(shí)，y=-x2+2x+3=3,則C(0,3),

設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,

-p+47=0fn=3

把A(-1,0),C(0,3)代入得《，解得《，

q=3國(guó)=3

直線AC的解析式為y=3x+3；

(2),/y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),

作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)連接DB，交y軸于M,如圖1,貝B'(-3,0),

MB+MD=MB,+MD=DB,,止匕時(shí)MB+MD的值最小,

而BD的值不變，

此時(shí)ABDM的周長(zhǎng)最小，

易得直線DB，的解析式為y=x+3,

當(dāng)x=0時(shí),y=x+3=3,

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3)；

(3)存在.

過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,如圖2,

?直線AC的解析式為y=3x+3,

/.直線PC的解析式可設(shè)為y=-mx+b,

把C(0,3)代入得b=3,

.-?直線PC的解析式為y=-1x+3,

y=-%2+2x+3

解方程組,1一720、

則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(—,—）；

y=——x+39

I3

過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P,直線PC的解析式可設(shè)為y=-2x+b,

J

11

把A(-1,0)代入得一+b=0,解得b=--，

33

直線PC的解析式為y=-』x-1，

33

10

y——d+2%+3r_1

T1013

解方程組＜11,解得c或1

13,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(§，-§)?

y=——x——[y=。

~9

綜上所述，符合條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)為(y,)或(，，-T).

5、如圖1(注:與圖2完全相同)，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)A(l,0),8(5,0),C(0,4).

(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；

(2)尸是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求滿足P4+PC的值為最小的點(diǎn)P坐標(biāo)(請(qǐng)?jiān)趫D1中探

索)；

(3)在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)E,使四邊形OEBF是以03為對(duì)角線且面積為12

的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.(請(qǐng)?jiān)趫D2中探索)

4248

【答案】(1)y=-x2——x+4,函數(shù)的對(duì)稱軸為：后；(2)點(diǎn)P(3,—)；(3)存在，

555

1212

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,-y)或(4,-y).

【詳解】

解：(1)根據(jù)點(diǎn)A(l，0),8(5,0)的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：

y^ci(^x--6x+5),

??,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,4),

4

則5。=4,解得：〃=—,

4/、416424

拋物線的表達(dá)式為：丁=^(尤2—6x+5)=g(x—3)9——=—x2——x+4,

函數(shù)的對(duì)稱軸為：xW；

(2)連接5、。交對(duì)稱軸于點(diǎn)尸，止匕時(shí)A4+PC的值為最小,

設(shè)BC的解析式為：y=kx+b,

將點(diǎn)3、。的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：丁=丘+。得：'/

。二4

\=A

解得：,5,

b=4

4

直線的表達(dá)式為：y=—《x+4,

O

當(dāng)時(shí)，y=一，

-5

Q

故點(diǎn)。(3,與；

5

(3)存在，理由：

四邊形OEB尸是以03為對(duì)角線且面積為12的平行四邊形，

則金邊形皿=。叼％|=5'兇=12,

點(diǎn)E在第四象限，故：則%=—-，

5

將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

y=4-(/^-2-64x+5a)=-1y2,

解得：x=2或4，

個(gè)12、,“12、

(2,一一)(4,—)

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為5或5.

題型二將軍飲馬中一定兩動(dòng)模型與最值問(wèn)題

【專題說(shuō)明】

一定兩動(dòng)型可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短和點(diǎn)到直線的垂線段最短問(wèn)題，進(jìn)而求最值。關(guān)鍵是作定點(diǎn)（或

動(dòng)點(diǎn)）關(guān)于動(dòng)折點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，通過(guò)等量代換轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

【模型展示】

【模型】三、一定兩動(dòng)之點(diǎn)線

在。4、08上分別取M、N使得RW+MN最小。

此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)尸關(guān)于0A對(duì)稱的點(diǎn)產(chǎn)，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為即過(guò)

點(diǎn)戶作02垂線分別交。4、于點(diǎn)M、N,得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線

段最短）

【精典例題】

1、如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形A3CD中，ZABC=60°,將AABD沿射線3。的方向平移

得到AAZ'。'，分別連接AC,AD，5'C則A'C+3'C的最小值為一.

【答案】上

【詳解】

如圖，過(guò)C點(diǎn)作BD的平行線I,以I為對(duì)稱軸作B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)連接4月交直線/于點(diǎn)。

根據(jù)平移和對(duì)稱可知A'C+B'C=AC,+BCX,當(dāng)A,By,C,三點(diǎn)共線時(shí)AQ+BQ取最小值,

即AB-又AB=B4=1,

根據(jù)勾股定理得，AB、=拒,故答案為血

2、點(diǎn)P是定點(diǎn)，在OA、0B上分別取M、N,使得PM+MN最小。

【解法】作點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)P,,將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P'M+MN,即過(guò)點(diǎn)P，作

OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,得PM+MN最小值(垂線段最短)

3、點(diǎn)P是定點(diǎn)，在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N,使得APMN周長(zhǎng)最小.

B

【解法】分別作點(diǎn)P關(guān)于0A(折點(diǎn)M所在直線)、0B(折點(diǎn)N所在直線)的對(duì)稱點(diǎn)，化

折線段PM+MN+NP為PM+MN+NP"，當(dāng)P\M、N、P”共線時(shí),△PMN周長(zhǎng)最小.

3、如圖，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,C,E三點(diǎn)，其中A(-3,0),C

(0,4),點(diǎn)B在x軸上，AC=BC,過(guò)點(diǎn)B作BDLx軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N分別是

線段CO,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN,連接MN,AM,AN.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)ACMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)試求出AM+AN的最小值.

【答案】(1)拋物線解析式為y=--x2+-x+4；D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)；(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,

66

-)或(0,);(3)AM+AN的最小值為.

【詳解】

f1

r9〃+15〃+c=0a=——

(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得，，解得〈6，

c=4

ic=4A

.??拋物線解析式為y=--x2+-x+4

66;

VAC=BC,CO±AB,

AOB=OA=3,

AB(3,0),

VBD±x軸交拋物線于點(diǎn)D,

??.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

當(dāng)x=3時(shí)，y=--x9+-x3+4=5,

66

???D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)；

⑵在RtzkOBC中，BC=1OB?+OC=J32+42=5,

設(shè)M(0,m),則BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+l,

VZMCN=ZOCB,

、“CMCN-E

.,.當(dāng)----=——時(shí)，ACMNs/A^cOB,貝！J/CMN=/COB=90。,

COCB

4—THm+11616

即-----=-—，解得!n=吧，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—)；

4599

、CMCN心

當(dāng)----=——時(shí)，ACMNs/AiCBO,貝nilJ/CNM=NCOB=90。，

CBCO

4—TH+11111

即-----=——，解得m=一,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—）；

5499

綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,裳）或（0,—）；

99

（3）連接DN,AD,如圖，

VAC=BC,CO±AB,

AOC平分NACB,

AZACO=ZBCO,

VBD/7OC,

.\ZBCO=ZDBC,

VDB=BC=AC=5,CM=BN,

.".△ACM^ADBN,

；.AM=DN,

；.AM+AN=DN+AN,

而DN+ANNAD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號(hào)），

DN+AN的最小值=762+52=向，

.,.AM+AN的最小值為洞.

4、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，連接DF,過(guò)點(diǎn)E作EH

±DF,垂足為H,EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G.

(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)H作MN〃CD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)

P是MN上一點(diǎn)，求APDC周長(zhǎng)的最小值.

【答案】（1）結(jié)論：CF=2DG,理由見(jiàn)解析；（2）4PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2J記.

【詳解】

(1)結(jié)論：CF=2DG.

理由：??,四邊形ABCD是正方形，

.,.AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°,

VDE=AE,

.'.AD=CD=2DE,

VEGXDF,

???ZDHG=90°,

/.ZCDF+ZDGE=90°,ZDGE+ZDEG=90°,

???NCDF=NDEG,

AADEG^ACDF,

?DGDE1

**CF~DC-2?

???CF=2DG.

（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,

此時(shí)^PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

?皿上55/-DE?DG「

由題意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=一，EG=—,DH=------------=J5，

22EG

AEH=2DH=2A/5,

DHEH

AHM=