長(zhǎng)沙市周南中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

分量：150分時(shí)量：120分鐘

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1+i

z------

1.若復(fù)數(shù)1—i,則z的共輾復(fù)數(shù)N=（）

A.-iB.iC.-1D.1

2.H=4,W=3,a-b—6A/2?則〃與b的夾角為（）

兀兀一兀3兀

A.—B.―C.-D.—

4634

3.一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同，從兩個(gè)口袋內(nèi)

分別取一個(gè)小球，則不同的取法數(shù)為（）

A.7B.16C.9D.12

4.集合A={x|x(x—2)20},集合8=之0>,則“xeA”是“xeB”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.函數(shù)〃x）=ln（尤2—2%—15）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（-co,l）B.（1,+oo）C.（5,+oo）D.[5,+oo）

6.直線/：X+y=2,圓C:/+y2—2x—2y—2=0.則直線/被圓。所截得的弦長(zhǎng)為（)

A.2B.4C.2A/3D.?

7.函數(shù)了二人5由（〃比一0）（人＞0,外＞0,0＜0＜兀）的部分圖象如圖所示，則其解析式為（）

A.y=2sinI2%--^-B.y=2sin(^x~~

D.j=sinf2x-j

8.已知函數(shù)〃％）=（%+1心—a,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（）

D,4,+℃

二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.長(zhǎng)沙市周南中學(xué)高二某班有45人，其中男生、女生的人數(shù)及其團(tuán)員人數(shù)如下表所示.

團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)

男生16925

女生14620

合計(jì)301545

記事件A：“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到男生”

事件B：“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到團(tuán)員”

下列說法正確的是（）

A.事件A的對(duì)立事件為：“在班級(jí)里隨機(jī)選一人，選到女生”

B.事件A與事件B互斥

C尸（A）g尸（5）=|

D.事件A與事件B相互獨(dú)立

10.己知函數(shù)/（x）=；x3—4x+4,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)在點(diǎn)（0,4）處切線的斜率為—4

B.函數(shù)/（%）在點(diǎn)（3,1）處切線方程為y=5x-14

C.函數(shù)圖象上瞬時(shí)變化率為1的點(diǎn)有3個(gè)

D.函數(shù)八％）的極大值點(diǎn)為x=—2,極小值點(diǎn)為x=2

11.直線/經(jīng)過拋物線C:：/=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線。相交于4（%,%）、5（%，%）兩點(diǎn)，下列說法正確

的是（）

A.X[X2=1,yxy2=-4

B.直線/的斜率為1時(shí)，AB=2及

C.的最小值為6

D.以A3為直徑的圓與。的準(zhǔn)線相切

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-4與中，尸在線段8。上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的

有（）

A.APVB.C

B.PD上BC

TT

c.直線PG與平面A8C2所成角的最大值是1

D.PC+PD的最小值為2有

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.從7件不同的禮物中選出3件分別送給3位不同的同學(xué)，則不同方法的種數(shù)為.

14.請(qǐng)寫出同時(shí)滿足下列條件的一個(gè)函數(shù)解析式.

①周期為2；②偶函數(shù)

15.著名的“漢洛塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號(hào)柱上從上至下、從小到大套著〃個(gè)中心帶孔的圓

盤，將一個(gè)柱子最上方的一個(gè)圓盤移動(dòng)到另一個(gè)柱子，且保持每個(gè)柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，

視為一次操作.設(shè)將幾個(gè)圓盤全部從1號(hào)柱子移動(dòng)到3號(hào)柱子的最少操作數(shù)為4，則%=

16.設(shè)點(diǎn)A3分別為雙曲線C:三—5=1(。〉0/〉0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線C的左、

右支上，若麗=5而，MB且|說|<|福|，則雙曲線的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知。，"c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊，且asinB=J%cosA.

(1)求A的值；

(2)若。=2,且的面積為求6,c.

18.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A3兩組，每組

100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，3組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃

度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如

圖直方圖：

甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于4.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.85.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中。泊的值且估計(jì)甲離子殘留百分比的中位數(shù)；

(2)從A組小鼠和8組小鼠分別取一只小鼠，兩只小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比都高于5.5的概率為多

少.

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，尸底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形，AD1DC,AB//DC,

PC=AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)E在棱PB上.

p

(1)證明：平面E4C_L平面尸5C；

(2)當(dāng)E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求二面角。一AC—E的余弦值.

20.已知等差數(shù)列｛。"｝滿足4+%=6，%+。4=12,數(shù)列也｝滿足〃=22_1.且有4=%.記｛4｝的

前n項(xiàng)和為Sn.

(1)求數(shù)列｛%｝、｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列cn=an-bn,求｛cn｝前〃項(xiàng)和Tn.

21.己知圓、：(x+iy+y2=1,圓N:(九一l『+y2=9動(dòng)圓尸與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心尸的軌

跡為曲線C.

(1)求曲線C方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)Q(0,、回)的直線/與曲線C相交于A3兩點(diǎn)，直線Q4與直線的斜率均存在且斜率

之和為-2,直線AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，寫出定點(diǎn)坐標(biāo).

22.已知函數(shù)/(X)=X1IIY—2X,有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)百,%，使得/(%)=/(%).

(1)求函數(shù)八％)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)證明：2e<x；+x2<e.

長(zhǎng)沙市周南中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題簡(jiǎn)要答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】A

【3題答案】

【答案】D

【4題答案】

【答案】B

【5題答案】

【答案】C

【6題答案】

【答案】B

【7題答案】

【答案】B

【8題答案】

【答案】A

二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

【9題答案】

【答案】AC

【10題答案】

【答案】ABD

[11題答案】

【答案】AD

【12題答案】

【答案】ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

【13題答案】

【答案】210

【14題答案】

【答案】/(x)=cos7a(答案不唯一)

【15題答案】

【答案】①7