東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x[2*<4},B-[x\logix>-1],則4ClB=()

3

A.(0,2)B.(-oo,2)C.(-8,3)D.0

2.已知(2久+1)5=的+MX+42久2+…+。5刀5,則612=()

A.10B.20C.40D.80

3.已知{斯}是無窮數(shù)列,。1=3,則“對任意的m,nGN*,都有口加+n=a7n+即"是"{an}是等差數(shù)列”的

()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.攢尖式屋頂是中國古代傳統(tǒng)建筑的一種屋頂樣式，如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓

錐，已知該圓錐的底面直徑為8爪，高為3m,則該屋頂?shù)拿娣e約為()

A.157rm2B.20mn2C.247rm2D.30nm2

5.已知拋物線。必=2p%(p>0)的焦點為F,若拋物線上一點M滿足|MF|=2,乙OFM=60°,則p=()

A.3B.4C.6D.8

6.如圖，4(%|)是函數(shù)y=sin(%一$圖象上的一點，則tan(2a+§=()

7.已知函數(shù)f(x),對任意的久,yeR都有f(x+y)=2x/(y)+2廳(切，且f(l)=2,則下列說法不正確的

是()

第1頁，共8頁

A./(O)=0B.要是奇函數(shù)

C.y=/(%)是R上的增函數(shù)D.f(n)=n-2n(nEN*)

8.已知直線-y+5=0與直線%：%+ay-a+4=0(aER)的交點為P,則點P到直線Z：y=%-3距離的

取值范圍是()

A.[3",7詢B.(3",7西C.[2隹6的D.(2也6曲

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知向量2=(1,2),3=(2,—1),則下列判斷正確的是()

A.a+b=(3,l)B.a-b=(2,-2)C.albD.|a|=\b\

10.現(xiàn)統(tǒng)計具有線性相關(guān)關(guān)系的變量X,匕Z的幾組數(shù)據(jù)，如下表所示：

變量123n平均數(shù)方差

X%2%3%71X黃

Y10%i10x登

1OX210%3ny

ZZ1Z2Z3Znz

并對它們進(jìn)行相關(guān)性分析，得到Z=biX+ai，Z與X的相關(guān)系數(shù)是n，Z=b2Y+a2,Z與丫的相關(guān)系數(shù)是

「2,則下列判斷正確的是()

附：經(jīng)驗回歸方程夕=bx+3中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為B='祓?=y-bx,

主口斗寶特_____Eli(須一元)(％一刃

相關(guān)系數(shù)r-#/1(符-幻2^^](”-/2?

A.y=10xB.登=10簧C.bi=10b2D.r2=r1

11.如圖，直四棱柱ABCD—a/iCiDi中，底面4BCD是菱形，其所在平面為a,且NBAD=60°,AB=2A

&=2.。是力C,BD的交點，P是平面a內(nèi)的動點(圖中未畫出).則下列說法正確的是()

第2頁，共8頁

A.若QP=2,則動點P的軌跡長度為27r

B.若NOQP=90。，則動點P的軌跡是一條直線

C.若OP=C1P,則動點P的軌跡是一條直線

D.若動點P到直線。射的距離為1,貝+PC為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

7

12.已知復(fù)數(shù)z的實部為2,且亦為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=.

13.已知雙曲線。/一步=9,點N的坐標(biāo)為(6刀)，其中nuie{1,2,3},存在過點N的直線與雙曲線C相交于

A,B兩點，且點N為弦48的中點，則點N的坐標(biāo)是.(寫出一個符合條件的答案即可)

14.已知a>0且x>0時，不等式ae2x-ln(x+爪)+赤>0恒成立，則正數(shù)m的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=2x3-3ax2+1.

(1)當(dāng)a=l時，求函數(shù)/(工)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若x=0是函數(shù)f(X)的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

某市為了解車主用車的能源類型與對該市交通擁堵感受的關(guān)系，共調(diào)查了100名車主，并得到如下的2X2

列聯(lián)表：

覺得交通擁堵覺得交通不擁堵合計

燃油車車主302050

新能源車車主252550

合計5545100

(1)將頻率估計為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機(jī)抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件

公，“抽取到新能源車車主”為事件4，”抽取到的車主覺得交通擁堵”為事件當(dāng),“抽取到的車主覺得

交通不擁堵”為事件外,計算PG1M2),比較它們的大小，并說明其意義；

(2)是否有90%的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與對該市交通擁堵的感受有關(guān)？將分析結(jié)果與(1)中結(jié)

論進(jìn)行比較，并作出解釋.

附表及公式：

第3頁，共8頁

a0.1000.0100.001

2.7066.63510.828

Xa

%=(a+b)還+d)(a+K(b+d)，71=a+b+C+d-

17.(本小題12分)

如圖，已知斜三棱柱ABC-aB1J中，側(cè)面BBiQC1側(cè)面44道聲，側(cè)面B&CiC是矩形，側(cè)面A&BpB是

菱形，NB44i=60°,AB=2BC=2,點E是棱44i的中點.

(1)證明：BE，平面BBiJC；

(2)求二面角A-BiC-E的余弦值.

18.(本小題12分)

已知直線Z:x=2經(jīng)過橢圓C:,+噲=l(a>b>0)的右焦點F且被橢圓C截得的弦長為2業(yè).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點P(4,0)的動直線爪與橢圓C相交于4B兩點，且直線Lt的點M滿足施〃而，求證：直線MB過定

點，并求該定點的坐標(biāo).

19.(本小題12分)

二進(jìn)制是在數(shù)學(xué)和數(shù)字電路中以2為基數(shù)的記數(shù)系統(tǒng)，在這一系統(tǒng)中，通常用兩個不同的符號0,1來表示

kfc-1

數(shù).如果十進(jìn)制中的整數(shù)n^ak-2+ay2+…+的?2+劭(七6(0,1},i=0,l,---,fc),則這個數(shù)在二進(jìn)

制下記為電以_1…的的，即(71)10=(怒在_1…。1的)2.記十進(jìn)制下的整數(shù)n在二進(jìn)制表示下的各位數(shù)字之和為

(p(n),即s(n)—a0+ai+???+ak.

(1)計算3(7)；

(2)證明：0(4幾+3)=(p(2n+1)+1；

(3)求數(shù)列&(3-2九-1)}的前n項和Sn.

第4頁，共8頁

參考答案

l.A

2.C

3.X

4.B

5.4

6.D

7.C

8.D

9.ACD

IQ.ACD

ll.BCD

12.2-4i##-4i+2

13.(1,2)(或(1,3),(2,3))

14.(0,e]

15.【小問1詳解】

(1)當(dāng)a=l時,f(x)=2x3-3x2+1,

=6x2-6x=6x(x—1),

由廣(無)<0解得0<刀<1,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

【小問2詳解】

f'(x)=6%(x—a),f'(x)=0時，x=0或x=a.

①若a<0,

當(dāng)X<(2或工>0時，/'(久)>0,

當(dāng)a<x<0時，f'(x)<0,

因此久=0時，函數(shù)/'(久)取極小值；

②若a=0,

當(dāng)％<0或無>0時，/'(久)>0,

因此x=0不是函數(shù)/'(%)的極值點；

③若a>0,

第5頁，共8頁

當(dāng)x<0或無>a時，f'(x)>0,

當(dāng)0<x<a時,f'(x)<0，

因此x=0時，函數(shù)/'(%)取極大值.

綜上，a的取值范圍是(-8,0).

16.【小問1詳解】

由題意得

1

P(B1M2)=3,

說明從抽樣情況來看，燃油車車主覺得交通擁堵的比例比新能源車車主覺得交通擁堵的比例更高

【小問2詳解】

2100X(30X25-20X25)2100100,

z55x45x50x5011X999、“八口’

因此沒有90%的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵有關(guān)，

說明調(diào)查人數(shù)太少，(1)中的結(jié)論不具有說服力，需要調(diào)查更多車主.

17.【小問1詳解】

證明：因為側(cè)面8B1JC是矩形，所以BC1BBi，

又因為側(cè)面BB1C1C1側(cè)面平面n平面=BBlt

所以BC，平面44//,

因為BEu平面所以BC1BE.

菱形中，N8A4i=60。，所以444/是等邊三角形，

又E是441的中點，所以BE1AAi，得BE1BB1,

又BB]CBC=B,BBi，BCu平面BBiCi。，

所以BE1平面BB1C1C.

【小問2詳解】

解：由(1),如圖，以B為坐標(biāo)原點，BE,BBi，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

第6頁，共8頁

因為4B=2BC=2,所以BE=ABsin6(T=避，

因止匕Bi(0,2,0),4式避,1,0),E(強(qiáng)0,0),C(0,0,l),

所以猊=(0,—2,1),取=(避,一2,0),0；=(避,一1,0),

設(shè)平面EBiC的法向量為薪=(%i,yi,zi),

由zn1B]C,得—2yi+z1=0,

由有IB",得4%1-2yl=0,令yi=l,得租=(^^,1,2),

設(shè)平面/l&C的法向量為蔡=(%2》2/2),

由?i_LBiC,得一2y2+z2=0,

由蔡1瓦再，得避%2—丫2=0,令丫2=1，得￡=(孝,1,2),

18.【小問1詳解】

由題意得C=2,

將X=。代入橢圓方程，可以求到兩交點坐標(biāo)為（2,±9）,

所以?=",因此a2—"a—4=0,

解得a=2"或a=-"（舍去），b=2,

即橢圓方程為（+[=1.

o4

【小問2詳解】

當(dāng)直線機(jī)的斜率為0時，直線MB的方程為y=0,此時施〃麗;

當(dāng)直線Hi的斜率不為0時，可設(shè)直線m的方程為久=ty+4,

第7頁，共8頁

代入橢圓方程，得到Q2+2)y2+8ty+8=0,

由d>0,得到t