第1頁/共1頁2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編解直角三角形及其應(yīng)用一、單選題1．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，．點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)（不與C，B重合），過點(diǎn)P作交于點(diǎn)．設(shè)，的長為，的面積為，則與x，S與滿足的函數(shù)關(guān)系分別為（

）

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系二、解答題2．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，，分別與相切于，兩點(diǎn)，是的直徑．

(1)求證：(2)連接交于點(diǎn)，若，，求的長．3．（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于，其中，，給出如下定義：將邊繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，與的過點(diǎn)A的高線交于點(diǎn)，將點(diǎn)關(guān)于直線對稱得到點(diǎn)，我們稱為的留緣點(diǎn)．

(1)若，，請?jiān)趫D中畫出的留緣點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知，，若線段上存在的留緣點(diǎn)，求的取值范圍．4．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知線段是的弦，點(diǎn)在直線上．對于弦和點(diǎn)，給出如下定義：若將弦繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，點(diǎn)叫做映射中心，叫做映射角度．

(1)如圖1，點(diǎn)是等邊的中心，作交于點(diǎn)．在三點(diǎn)中，弦關(guān)于點(diǎn)_________中心胦射；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的角平分線交軸于點(diǎn)．若與線段相交所得的弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，直接寫出的半徑的取值范圍；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，線段是的弦．對于每一條弦，都有相應(yīng)的點(diǎn)，使得弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，且映射角度為．設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，直接寫出的取值范圍．5．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，的直徑與弦相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在的延長線上，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，求半徑的長．6．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的平行線，相交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形為矩形；(2)連接，若，求的長．7．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，在中，邊繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，邊繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．

(1)以點(diǎn)F為對稱中心，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)G，連接．①依題意補(bǔ)全圖形，并證明；②求證：；(2)若，且于H，直接寫出用等式表示的與的數(shù)量關(guān)系．8．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對于和點(diǎn)(不與點(diǎn)重合）給出如下定義：若邊，上分別存在點(diǎn)，點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則稱點(diǎn)為的“翻折點(diǎn)”．(1)已知，．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，直接寫出的“翻折點(diǎn)”的坐標(biāo)；②是線段上一動點(diǎn)，當(dāng)是的“翻折點(diǎn)”時，求長的取值范圍；(2)直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，若存在以直線為對稱軸，且斜邊長為2的等腰直角三角形，使得該三角形邊上任意一點(diǎn)都為的“翻折點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．9．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖，是直徑，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使．(1)求證：是的切線；(2)點(diǎn)是弧中點(diǎn)，連接并延長，分別交于點(diǎn)，若，，求線段的長．

參考答案1．A【分析】先求出，再求出，然后解得到，，進(jìn)而得到，，由此即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∴與x，S與滿足的函數(shù)關(guān)系分別為一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊對等角，列函數(shù)關(guān)系式，正確求出，是解題的關(guān)鍵．2．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)可得，，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，可得，，得到，從而得證；（2）根據(jù)余弦，正弦的定義及勾股定理可得，從而有，，代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，交于點(diǎn)．∵、為的切線，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴．

（2）解：∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的長為．

【點(diǎn)睛】本題考查切線長定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，解直角三角形，勾股定理．正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)或【分析】（1）先根據(jù)題意畫出圖形，然后再說明四邊形是菱形，即；再確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后根據(jù)關(guān)于確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；（2）設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)，由題意可得的所有留緣點(diǎn)在以K為圓心為半徑的圓上，然后分和兩種情況，分別畫出圖像，根據(jù)勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式和圓的性質(zhì)列方程求解即可解答．【詳解】（1）解：如圖：當(dāng)，時，點(diǎn)Q即為的留緣點(diǎn)，連接，

∵，，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∵將邊繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形，∴，

∵，∴，∴，∵，，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線對稱，∴．（2）解：設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)，則由題意，如圖：的所有留緣點(diǎn)在以K為圓心為半徑的圓上，當(dāng)時，如圖：，

∴，解得：，∴；如圖：當(dāng)點(diǎn)時，

由題意，，解得．∴，綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圓的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確畫出各類圖形是解答本題的關(guān)鍵．4．(1)A(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題干中心映射的定義與旋轉(zhuǎn)方向，判斷弦是否仍在上．確定只有點(diǎn)A符合題意．（2）討論與線段相交成弦的范圍，根據(jù)角平分線定理與比例性質(zhì)求解．（3）考慮到對稱性與不失一般，將H點(diǎn)設(shè)在x軸上，方便得出d的取值范圍．【詳解】（1）根據(jù)中心映射的定義，若將弦繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關(guān)于點(diǎn)中心映射，點(diǎn)叫做映射中心．由于是等邊三角形，因此直線繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，可使弦落在弦上．但直線繞B點(diǎn)、C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，弦無法與再相交成弦．故只有點(diǎn)A符合映射中心的條件，如下圖．

（2）如下圖，的角平分線交軸于點(diǎn)，過D作，垂足為G．

則與線段EF相交所得的弦關(guān)于點(diǎn)E中心映射，此時的半徑r的取值范圍是．在中，平分，過D作x軸的平行線，與EF交于H，則，又，所以，則．由得，，所以即，。在直角三角形OEF中，．∴，解得．∵，∴在直角與直角相似．∴，即．因此，．所以，的半徑r的取值范圍是．即．（3）考慮到對稱性與不失一般性，為了研究問題的方便，設(shè)弦繞點(diǎn)H逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，恰好也是的弦，且與交于x軸，見下圖．

作與交于點(diǎn)F，再過F作的平行線，是的切線．則滿足條件的弦最大為直徑，最小應(yīng)大于0，所以，．當(dāng)O與H重合時，，此時弦為直徑；當(dāng)H與E重合時，，此時弦長度為0．故d的取值范圍是：．由已知條件知．又因，故．在直角中，，則．故d的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題考察了圖形旋轉(zhuǎn)、角平分線性質(zhì)、含30°角的直角三角形等相關(guān)知識點(diǎn)，深入細(xì)致審題是解本題的關(guān)鍵．5．(1)見詳解(2)4【分析】（1）連接，由題意易得，則有，然后可得，則可得，進(jìn)而問題可求證；（2）由題意可設(shè)，則，則有，，然后可列方程進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵，是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：由題意可設(shè)，則，∴，，∴在中，，解得：，∴，即的半徑為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定、垂徑定理及三角函數(shù)，熟練掌握切線的判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．(1)見詳解(2)【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的判定，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，及勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：由題意得，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，即，四邊形為矩形；（2）解：∵四邊形為矩形，，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，在中，，解得：在中，，故的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)①補(bǔ)全圖形見解析，證明見解析；②見解析(2)【分析】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示，先證明，推出，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得結(jié)論；②根據(jù)對稱的性質(zhì)可證明，可得結(jié)論；（2）連接，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合（1）②的結(jié)論可得是等邊三角形，可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示：證明：∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)為G，∴，又∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴；

②證明：∵點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)F的對稱點(diǎn)為G，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，如圖，由題意得，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴；∴與的數(shù)量關(guān)系是．

【點(diǎn)睛】本題考查了對稱變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)已知條件得出，則，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，依題意，則，進(jìn)而求得，即可求解；②根據(jù)心得與得出為線段的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，，點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，即可求得的范圍；（2）根據(jù)一次函數(shù)得出,，對于中，先固定點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動時始終由，進(jìn)而得出以為圓心，為半徑的與以為圓心，為半徑的的兩圓的公共部分，當(dāng)以直線為對稱軸時，斜邊為2的等腰直角三角形邊上任意一點(diǎn)都是的“翻折點(diǎn)”，即該等腰直角三角形在上述封閉圖形內(nèi)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理，求得的值，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】（1）①∵，∴，則∴，∴，則∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

依題意，則∴，∴，∴的“翻折點(diǎn)”的坐標(biāo)為；②∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，∴為線段的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，∴

（2）直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，令，則，令，解得，∴,對于中，先固定點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動時始終由，∴在運(yùn)動時，點(diǎn)到軌跡為以為圓心，為半徑的一段圓弧上，臨界點(diǎn)分母是與點(diǎn)與點(diǎn)重合時，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，這段圓弧也隨之運(yùn)動，形成封閉的圖形，如圖所示，

該圖形為：以為圓心，為半徑的與以為圓心，為半徑的的兩圓的公共部分，當(dāng)以直線為對稱軸時，斜邊為2的等腰直角三角形邊上任意一點(diǎn)都是的“翻折點(diǎn)”，即該等腰直角三角形在上述封閉圖形內(nèi)∵的半徑大于的半徑，∴當(dāng)?shù)妊苯侨切蔚男边厔偤迷谏希礊榈南遥r，可得的最大值

∴,解得：∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)【分析】（1