第二十一講與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系1．（2022?鹽城）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點(diǎn)A的切線交CB的延長線于點(diǎn)D，若∠BAD＝35°，則∠C＝°．2．（2022?泰州）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且與點(diǎn)A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為°．命題點(diǎn)2切線的性質(zhì)類型一切線性質(zhì)的簡單計算3．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°4．（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為（）A．32° B．52° C．64° D．72°5．（2021?西寧）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則陰影部分的面積為（）A． B． C．4﹣π D．6．（2022?衢州）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)BC．若∠A＝40°，則∠C的度數(shù)為．7．（2022?青島）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OA與⊙O交于點(diǎn)C，以點(diǎn)A為圓心、以O(shè)C的長為半徑作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OC＝2，AB＝4，則圖中陰影部分的面積為．類型二切線性質(zhì)的相關(guān)證明與計算8．（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（）A．28° B．50° C．56° D．62°9．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接AO交⊙O于點(diǎn)C，延長AO交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．410．（2022?玉林）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點(diǎn)，AD平分∠CAB，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．命題點(diǎn)3與切線的判定及性質(zhì)有關(guān)的計算11.（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．12．（2022?鄂爾多斯）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．13．（2022?日照）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．14．（2022?百色）如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)M，作AD⊥MC，垂足為D，已知AC平分∠MAD．（1）求證：MC是⊙O的切線；（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．15．（2022?十堰）如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．（1）求證：FG是⊙O的切線；（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的長．第二十一講與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系1．（2022?鹽城）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點(diǎn)A的切線交CB的延長線于點(diǎn)D，若∠BAD＝35°，則∠C＝°．【答案】35【解答】解：連接OA并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，∵AD與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAD＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，∴∠C＝∠E＝35°，故答案為：35．2．（2022?泰州）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且與點(diǎn)A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為°．【答案】32【解答】解：如圖，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵點(diǎn)C在上，且與點(diǎn)A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案為：32．命題點(diǎn)2切線的性質(zhì)類型一切線性質(zhì)的簡單計算3．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故選：C．4．（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為（）A．32° B．52° C．64° D．72°【答案】B【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB＝128°，∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝52°，故選：B．5．（2021?西寧）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則陰影部分的面積為（）A． B． C．4﹣π D．【答案】C【解答】解：連結(jié)AO、BO、DO，CO，設(shè)⊙O半徑為r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴＝，∴r＝＝2，∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE∴四邊形OFCE是正方形，∴∠FOE＝90°，∴S陰影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，故選：C．6．（2022?衢州）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)BC．若∠A＝40°，則∠C的度數(shù)為．【答案】25°【解答】解：如圖，連接OB．∵AB是⊙O切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC，∵∠AOB＝∠C+∠OBC，∴∠C＝25°．故答案為：25°．7．（2022?青島）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OA與⊙O交于點(diǎn)C，以點(diǎn)A為圓心、以O(shè)C的長為半徑作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OC＝2，AB＝4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】4﹣π【解答】解：連接OB，∵AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠OBA＝90°，∴∠BOA+∠A＝90°，由題意得：OB＝OC＝AE＝AF＝2，∴陰影部分的面積＝△AOB的面積﹣（扇形BOC的面積+扇形EAF的面積）＝AB?OB﹣＝×4×2﹣π＝4﹣π，故答案為：4﹣π．類型二切線性質(zhì)的相關(guān)證明與計算8．（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（）A．28° B．50° C．56° D．62°【答案】C【解答】解：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝28°，∴∠AOB＝124°，∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∴∠APB+∠AOB＝180°；∴∠APB＝56°．故選：C．9．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，連接AO交⊙O于點(diǎn)C，延長AO交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如圖，連接OB，∵AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半徑，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD?AD，即OA2﹣OB2＝OD?AD，設(shè)OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（負(fù)值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝3，故選：C．10．（2022?玉林）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點(diǎn)，AD平分∠CAB，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD．∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝∠EAD．∴OD∥AE．∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線；（2）連接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝4，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3，∴DH＝5﹣3＝2，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四邊形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2，∴AE＝6+2＝8，∵∠DAB＝∠DAE，∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝＝＝．命題點(diǎn)3與切線的判定及性質(zhì)有關(guān)的計算11.（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．12．（2022?鄂爾多斯）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．13．（2022?日照）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝AD＝AB，∴AD＝AC，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥AB，∵OD過圓心O，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，又∵AC＝，∴BD＝AC＝，∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，即（2OD）2＝OD2+（）2，解得：OD＝1（負(fù)數(shù)舍去），所以陰影部分的面積S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣14．（2022?百色）如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長線于點(diǎn)M，作AD⊥MC，垂足為D，已知AC平分∠MAD．（1）求證：MC是⊙O的切線；（2）若AB＝BM＝4，求tan∠MAC的值．【解答】（1）證明：∵AD⊥MC，∴∠D＝90°，