濟(jì)南稼軒學(xué)校48級(jí)初二10月份綜合能力展示數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題（每題4分，共40分）1．下列實(shí)數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（）A．0 B． C．3.14 D．2．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點(diǎn)M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為6，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意列方程組得（）A． B． C． D．5．直線和在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．6．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示．小星根據(jù)圖象得到如下結(jié)論：①在一次函數(shù)的圖象中，y的值隨著x值的增大而增大；②方程組的解為；③方程的解為；④當(dāng)時(shí)，．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，我們定義符號(hào)的意義為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例如：，．若關(guān)于x的函數(shù)為，則該函數(shù)的最小值是（）A． B．0 C．5 D．78．如圖所示，在中，，且周長(zhǎng)為36m，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向B點(diǎn)以每秒1m的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊向點(diǎn)C以每秒2m的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過(guò)3秒時(shí)，點(diǎn)B到的距離為（）．A． B．6m C．3m D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)O沿直線對(duì)折，點(diǎn)O恰好落在的平分線上的處，則b的值為（）A． B． C． D．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，于點(diǎn)C，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為（）A． B．1 C． D．二、填空題（每題4分，共24分）11．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)，且點(diǎn)P為x軸上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________．12．若，則代數(shù)式的值為_(kāi)_________．13．如圖，是直角三角形，點(diǎn)C表示，且，，若以點(diǎn)C為圓心，為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為_(kāi)_________．14．利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，是矩形的對(duì)角線，將分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若，，則矩形的面積是__________．15．如圖1，在中，，點(diǎn)P為邊上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，，垂足分別為D、E，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為F，、、滿足一定的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決如下問(wèn)題：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且，A為，點(diǎn)B到x軸的距離為3，點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于E，點(diǎn)P到的距離為1時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_________．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作等腰直角三角形（與原點(diǎn)O重合），再以為腰作等腰直角三角形，以為腰作等腰直角三角形，…按照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，那么的坐標(biāo)為_(kāi)_________．三、解答題17．計(jì)算（12分）（1） （2）（3） （4）18．解方程（8分）（1） （2）19．（8分）已知，如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為．（1）請(qǐng)根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)在方格紙中建立平面直角坐標(biāo)系，并直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)為_(kāi)_________；（2）依次連接A，B，C，A，得到，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_________；（4）在y軸上找一點(diǎn)F，使的面積等于的面積，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．20．（8分）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子垂到地面多出一段的長(zhǎng)度為3米，小明同學(xué)將繩子拉直，繩子末端落在點(diǎn)C處，到旗桿底部B的距離為9米．（1）求旗桿的高度；（2）小明在C處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺(tái)的2米高的臺(tái)階上，此時(shí)繩子剛好拉直，繩子末端落在點(diǎn)E處，問(wèn)小明需要后退幾米（即的長(zhǎng)）？21．（10分）我校將舉辦一年一度的秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要采購(gòu)一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍標(biāo)價(jià)80元，一盒球標(biāo)價(jià)25元．體育商店提供了兩種優(yōu)惠方案，具體如下：方案甲：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價(jià)出售；方案乙：按購(gòu)買金額打9折付款．學(xué)校欲購(gòu)買這種乒乓球拍10副，乒乓球盒．（1）請(qǐng)直接寫出兩種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額（元），（元）與x（盒）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果學(xué)校需要購(gòu)買15盒乒乓球，哪種優(yōu)惠方案更省錢？（3）如果學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇哪個(gè)方案能購(gòu)買更多乒乓球？22．（10分）某書(shū)店在“讀書(shū)節(jié)”之前，圖書(shū)按標(biāo)價(jià)銷售，在“讀書(shū)節(jié)”期間制定了活動(dòng)計(jì)劃．（1）“讀書(shū)節(jié)”之前小明發(fā)現(xiàn)：購(gòu)買5本A圖書(shū)和8本B圖書(shū)共花335元，購(gòu)買10本A圖書(shū)比購(gòu)買6本B圖書(shū)多花120元，請(qǐng)求出A、B圖書(shū)的標(biāo)價(jià)；（2）“讀書(shū)節(jié)”期間書(shū)店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、B圖書(shū)共200本，且A圖書(shū)不少于40本．不多于60本，A、B兩種圖書(shū)進(jìn)價(jià)分別為20元、18元；銷售時(shí)準(zhǔn)備A圖書(shū)每本降價(jià)1.5元，B圖書(shū)價(jià)格不變，那么書(shū)店如何進(jìn)貨才能使利潤(rùn)最大，最大是多少？23．（8分）甲騎電動(dòng)車，乙騎自行車從深圳灣公園門口出發(fā)沿同一路線勻速游玩，設(shè)乙行駛的時(shí)間為，甲、乙兩人距出發(fā)點(diǎn)的路程、關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖①所示，甲、乙兩人之間的路程差y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）甲的速度是__________，乙的速度是__________；（2）對(duì)比圖①、圖②可知：__________，__________；（3）求乙出發(fā)多少時(shí)間，甲、乙兩人路程差為7.5？24．（10分）材料閱讀：二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如，的計(jì)算，需要運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”，例如：，．．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：；．根據(jù)上述知識(shí)，請(qǐng)你完成下列問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：__________；（2）比較與的大小，并說(shuō)明理由；（3）計(jì)算：的值．25．（12分），如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，以為邊在y軸的右側(cè)作正方形，且．（1）求直線l的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在的右側(cè)，，．①探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E在一條定直線上，請(qǐng)直接寫出該直線的解析式__________；②當(dāng)最小時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；③如圖2，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)H在直線上，且，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．參考答案一、選擇題1．B2．C3．D4．A5．D6．B7．C8．A9．D10．D二、填空題11．12．13．14．1615．或16．三、解答題17．（1） （2） （3） （4） 18．（1）解：①得：③②-①得：將代入①得：，方程組解為（2）解：化簡(jiǎn)①得：③②得：④③+④得：，將代入②得：，，方程組解為．19．（1）如圖即為所求（2）是直角三角形理由：，，即是直角三角形（3）（4）或20．（1）解：設(shè)旗桿的高度為則在中，由勾股定理得：解得：答：旗桿的高度為．（2）過(guò)E作重為M，在中，由勾股定理得：答：小明需后退．21．（1），（2）當(dāng)時(shí)，（元）甲種優(yōu)惠方案更省錢．（3）當(dāng)時(shí)，甲：乙：選擇甲種方案可購(gòu)買更多乒乒球．22．（1）解：設(shè)A圖書(shū)標(biāo)價(jià)x元，B圖書(shū)標(biāo)價(jià)y元．解得答：A圖書(shū)標(biāo)價(jià)27元，B圖書(shū)標(biāo)價(jià)25元．（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A圖書(shū)a元，B圖書(shū)元，利潤(rùn)為w元．隨a的增大而減小當(dāng)時(shí)，w最大值為（元），（本）答：購(gòu)進(jìn)A圖書(shū)40本，B圖書(shū)160本，利潤(rùn)最大．23．（1）2510（2）101.5（3）解：設(shè)乙出發(fā)x小時(shí)，路程差為．①解得：②答：乙出發(fā)人或1.75人，甲、乙兩人路程差為．24．（1）2（2）理由：