初三知識整理

人教版體系框架(7?9年級)

七年級上冊(61)七年級下冊(62)

第1章有理數(shù)(19)第5章相交線與平行線(14)

第2章整式的加減(8)第6章平面直角坐標系(7)

第3章一元一次方程(18)第7章三角形(8)

第4章圖形認識初步(16)第8章二元一次方程組(12)

第9章不等式與不等式組(12)

第10章數(shù)據(jù)庫的收集整理與描述(9)

八年級上冊(62)八年級下冊(61)

第11章全等三角形(11)第16章分式(14)

第12章軸對稱(13)第17章反比例函數(shù)(8)

第13章實數(shù)(8)第18章勾股定理(8)

第14章一次函數(shù)(17)第19章四邊形(16)

第15章整式的乘除與因式分解(13)第20章數(shù)據(jù)的分析(15)

九年級上冊(62)九年級下冊(48)

第21章二次根式(9)第26章二次函數(shù)(12)

第22章一元二次方程(13)第27章相似(13)

第23章旋轉(zhuǎn)(8)第28章銳角三角函數(shù)(12)

第24章圓(17)第29章投影與視圖(11)

第25章概率初步(15)

全套教科書包含了課程標準(實驗稿)規(guī)定的“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合

應(yīng)用”四個領(lǐng)域的內(nèi)容，在體系結(jié)構(gòu)的設(shè)計上力求反映這些內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合，使它們形成一個有

機的整體

九年級上冊包括二次根式、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)、圓、概率初步五章內(nèi)容，學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及到了《課

程標準》的四個領(lǐng)域。包含以下章節(jié)：

第21章二次根式第22章一元二次方程

第23章旋轉(zhuǎn)第24章圓

第25章概率初步

本冊書內(nèi)容分析如下：

第21章二次根式

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過整式與分式，知道用式子可以表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系。解決與數(shù)量關(guān)系有關(guān)的

問題還會遇到二次根式。“二次根式”一章就來認識這種式子，探索它的性質(zhì)，掌握它的運算。

在這一章，首先讓學(xué)生了解二次根式的概念，并掌握以下重要結(jié)論：

(1)石是一個非負數(shù)；

(2)(⑸="。20)；

(3)(a20).

注：關(guān)于二次根式的運算，由于二次根式的乘除相對于二次根式的加減來說更易于掌握，教科書先安

排二次根式的乘除，再安排二次根式的加減?！岸胃降某顺币还?jié)的內(nèi)容有兩條發(fā)展的線索。一條

是用具體計算的例子體會二次根式乘除法則的合理性，并運用二次根式的乘除法則進行運算；一條是

由二次根式的乘除法則得到

(a'O,b20),(aNO,b>0),

并運用它們進行二次根式的化簡。

“二次根式的加減”一節(jié)先安排二次根式加減的內(nèi)容，再安排二次根式加減乘除混合運算的內(nèi)容。

在本節(jié)中，注意類比整式運算的有關(guān)內(nèi)容。例如，讓學(xué)生比較二次根式的加減與整式的加減，又如，

通過例題說明在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用。這些處理有助于學(xué)生掌握

本節(jié)內(nèi)容。

第22章一元二次方程

學(xué)生已經(jīng)掌握了用一元一次方程解決實際問題的方法。在解決某些實際問題時還會遇到一種新方

程一一一元二次方程。“一元二次方程”一章就來認識這種方程，討論這種方程的解法，并運用這種

方程解決一些實際問題。

本章首先通過雕像設(shè)計、制作方盒、排球比賽等問題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方

程的一般形式。然后讓學(xué)生通過數(shù)值代入的方法找出某些簡單的一元二次方程的解，對一元二次方程

的解加以體會，并給出一元二次方程的根的概念，

“22.2降次一一解一元二次方程”一節(jié)介紹配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的

方法。下面分別加以說明。

(1)在介紹配方法時，首先通過實際問題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡單的形

如的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進而舉例說明如何解形如的方程。然后舉

例說明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配方法。最后安排運用配方法解一元二次方程的例

題。在例題中，涉及二次項系數(shù)不是1的一元二次方程，也涉及沒有實數(shù)根的一元二次方程。對于沒有

實數(shù)根的一元二次方程，學(xué)了“公式法”以后，學(xué)生對這個內(nèi)容會有進一步的理解。

(2)在介紹公式法時，首先借助配方法討論方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后

安排運用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及有兩個相等實數(shù)根的一元二次方程，也涉及

沒有實數(shù)根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三種情況。

(3)在介紹因式分解法時，首先通過實際問題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式

分解法。然后安排運用因式分解法解一元二次方程的例題。最后對配方法、公式法、因式分解法三種

解一元二次方程的方法進行小結(jié)。

“22.3實際問題與一元二次方程”一節(jié)安排了四個探究欄目，分別探究傳播、成本下降率、面積、

勻變速運動等問題，使學(xué)生進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型。

第23章旋轉(zhuǎn)

學(xué)生已經(jīng)認識了平移、軸對稱，探索了它們的性質(zhì)，并運用它們進行圖案設(shè)計。本書中圖形變換

又增添了一名新成員一一旋轉(zhuǎn)?！靶D(zhuǎn)”一章就來認識這種變換，探索它的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，認識中

心對稱和中心對稱圖形。

“23.1旋轉(zhuǎn)”一節(jié)首先通過實例介紹旋轉(zhuǎn)的概念。然后讓學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，通

過例題說明作一個圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的方法。最后舉例說明用旋轉(zhuǎn)可以進行圖案設(shè)計。

“23.2中心對稱”一節(jié)首先通過實例介紹中心對稱的概念。然后讓學(xué)生探究中心對稱的性質(zhì)。在

此基礎(chǔ)上，通過例題說明作與一個圖形成中心對稱的圖形的方法。這些內(nèi)容之后，通過線段、平行四

邊形引出中心對稱圖形的概念。最后介紹關(guān)于原點對稱的點的坐標的關(guān)系，以及利用這一關(guān)系作與一

個圖形成中心對稱的圖形的方法。

“23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計”一節(jié)讓學(xué)生探索圖形之間的變換關(guān)系（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)及其組合），

靈活運用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計。

第24章圓

圓是一種常見的圖形。在“圓”這一章，學(xué)生將進一步認識圓，探索它的性質(zhì)，并用這些知識解

決一些實際問題。通過這一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生的解決圖形問題的能力將會進一步提高。

“24.1圓”一節(jié)首先介紹圓及其有關(guān)概念。然后讓學(xué)生探究與垂直于弦的直徑有關(guān)的結(jié)論，并運

用這些結(jié)論解決問題。接下來，讓學(xué)生探究弧、弦、圓心角的關(guān)系，并運用上述關(guān)系解決問題。最后

讓學(xué)生探究圓周角與圓心角的關(guān)系，并運用上述關(guān)系解決問題。

“24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系”一節(jié)首先介紹點和圓的三種位置關(guān)系、三角形的外心的概念，并通

過證明“在同一直線上的三點不能作圓”引出了反證法。然后介紹直線和圓的三種位置關(guān)系、切線的

概念以及與切線有關(guān)的結(jié)論。最后介紹圓和圓的位置關(guān)系。

“24.3正多邊形和圓”一節(jié)揭示了正多邊形和圓的關(guān)系，介紹了等分圓周得到正多邊形的方法。

“24.4弧長和扇形面積”一節(jié)首先介紹弧長公式。然后介紹扇形及其面積公式。最后介紹圓錐的

側(cè)面積公式。

第25章概率初步

將一枚硬幣拋擲一次，可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，出現(xiàn)正面的可能性大還是出現(xiàn)反面的可能

性大呢？學(xué)了“概率”一章，學(xué)生就能更好地認識這個問題了。掌握了概率的初步知識，學(xué)生還會

解決更多的實際問題。

“25.1概率”一節(jié)首先通過實例介紹隨機事件的概念，然后通過擲幣問題引出概率的概念。

“25.2用列舉法求概率”一節(jié)首先通過具體試驗引出用列舉法求概率的方法。然后安排運用這種方

法求概率的例題。在例題中，涉及列表及畫樹形圖。

“25.3利用頻率估計概率”一節(jié)通過幼樹成活率和柑橘損壞率等問題介紹了用頻率估計概率的方

法。

“25.4課題學(xué)習(xí)鍵盤上字母的排列規(guī)律”一節(jié)讓學(xué)生通過這一課題的研究體會概率的廣泛應(yīng)用。

知識點總結(jié)

第21章二次根式

知識框圖

普

Gm*0)是非負數(shù)二二次根式的乘除

次

與

二次根武程

運

(而丫=a(fi>0)式

球

的

二次根式的加減

=a(a20)

學(xué)習(xí)目標

對于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達到以下幾方面要求：

1.理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由；

2.了解最簡二次根式的概念；

3.理解并掌握下列結(jié)論：

⑴6（。2°）是非負數(shù)；⑵（石丫=。020）；（3）7oy=a（a^0）.

4.掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算；

5.了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。

I.二次根式的定義和概念：

1、定義：一般地，形如Ja(a20)的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a>0時，Ja表示a的算

數(shù)平方根，J0=0

2、概念：式子Ja(a20)叫二次根式。Va(a>0)是一個非負數(shù)。

H.二次根式辦的簡單性質(zhì)和幾何意義

1)a20;Vd^O［雙重非負性］

2)(Va)人2=a(a20)［任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式］

3)〃2人2+13人2)表示平面間兩點之間的距離，即勾股定理推論。

川.二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式

1)二次根式的化簡

a(a20)

Va=|a|={

-a(a<0)

2)積的平方根與商的平方根

Vab=Va,Vb(a20,bNO)

Va/b=Va/Vb(a>0,b>0)

3)最簡二次根式

條件：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式。

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有J2.J3.Ja(a20)、Vx+y等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有J4.J9、VaA2.V(x+y)A2.VxA2+2xy+yA2

IV.二次根式的乘法和除法

1運算法則

Va,Vb=Vab(a20,b20)

Va/b=Va/Vb(a>0,b>0)

二數(shù)二次根之積，等于二數(shù)之積的二次根。

2共甄因式

如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做共輾因式，也稱互

為有理化根式。

V.二次根式的加法和減法

1同類二次根式

一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二

次根式叫做同類二次根式。

2合并同類二次根式

把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。

3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進行合并

VL二次根式的混合運算

1確定運算順序

2靈活運用運算定律

3正確使用乘法公式

4大多數(shù)分母有理化要及時

5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化

VII.分母有理化

分母有理化有兩種方法

I.分母是單項式

如Wa/Nb=7axab/b

II.分母是多項式

要利用平方差公式

如1/Ya+qb=qa—qb/Na+Yb)Na—qb)=Ya—Yb/a-b

HI.分母是多項式

要利用平方差公式

如1/4a+4b=Ya—7b/(Na+Yb)(Ya—Yb)=qa—Yb/a-b

第22章一元二次方程

知識框圖

一）

第23章

旋轉(zhuǎn)

知識框

圖

旋轉(zhuǎn)及

平移及

軸對稱及

旋轉(zhuǎn)

的定義

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋

轉(zhuǎn)。這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中對

應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形

狀沒有改變。

旋轉(zhuǎn)對稱中心把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形

重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的

角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°,大于360。）。

中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯(lián)系的概念.它們的區(qū)別是：中心對稱是指兩個

全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個圖形關(guān)于一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關(guān)于

點的對稱也叫做中心對稱.成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關(guān)于對稱中心的對稱

點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖

形是指一個圖形本身成中心對稱.中心對稱圖形上所有點關(guān)于對稱中心的對稱點都在這個圖形

本身上.如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱

圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關(guān)于中心對稱.

也就是說：

①中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說,

這個圖形成中心對稱圖形。

②中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就

說，這兩個圖形成中心對稱。

中心對稱圖形

正（2N）邊形（N為大于1的正整數(shù)），線段，矩形，菱形，圓

只是中心對稱圖形

平行四邊形等.

既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形

不等邊三角形，非等腰梯形等.

中心對稱的性質(zhì)

第24章①關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

③關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。

識別一個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點，使圖形繞著這個點旋轉(zhuǎn)180°后

能與原圖形重合。

中心對稱是指兩個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180。后，能夠完全重合，稱這兩個圖形關(guān)于該點

對稱，該點稱為對稱中心.二者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩

個圖形旋轉(zhuǎn)180°后完全重合才稱為對稱中點.

第25章圓

知識框圖

【圓的基本知識】

K幾何中圓的定義》

幾何說：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱

為半徑。

軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱

圓。

集合說：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。

K圓的相關(guān)量5

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

86280348253421170679...,通常用n表示，計算中常取3.14為它的近似值（但奧數(shù)常取3或

3.1416）o

圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓

的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有

另一個交點的角叫做圓周角。

內(nèi)心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。

K圓和圓的相關(guān)量字母表示方法》

圓一。半徑一r弧一直徑一d

扇形弧長/圓錐母線一1周長一C面積一S

K圓和其他圖形的位置關(guān)系力

圓和點的位置關(guān)系：以點P與圓o的為例（設(shè)P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在

。。外，P0>r；P在。。上，PO=r；P在。0內(nèi)，PO<r0

直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交，這條直線叫做圓的割線；

圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線

AB與圓0為例（設(shè)0P_LAB于P,則PO是AB到圓心的距離）：AB與。0相離，PO>r；AB與。

0相切，P0=r；AB與。0相交，PO<r?

兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一

公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間

的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且R，r,圓心距為P:外離P>R+r；外切P=R+r；

相交R-r<P<R+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含P<R-r。

圓的平面幾何性質(zhì)和定理

一有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

圓的對稱性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱

圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，

兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。一

條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對

的弦是直徑。

⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，

到三角形三個頂點距離相等；

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③S三角=1/2*△三角形周長*內(nèi)切圓半徑

④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段）

⑤圓0中的弦PQ的中點M,過點M任作兩弦AB,CD,弦AD與BC分別交PQ于X,Y,則M

為XY之中點。

K有關(guān)切線的性質(zhì)和定理I

圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓

的切線。

切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點垂直于切線

的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

K有關(guān)圓的計算公式工

1.圓的周長C=2nr=md2.圓的面積S=nr”；3.扇形弧長l=nnr/180

4.扇形面積S=n（R*2-r'2）5.圓錐側(cè)面積S=nrl

圓的解析幾何性質(zhì)和定理

K圓的解析幾何方程》

圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點0（a,b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方

_

程是（x-a）2+（yb）2=r2o

圓的一般方程：把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是

x-2+y'2+Dx+Ey+F=0o和標準方程對比，其實D=-2a,E=-2b,F=a'2+b'2-r'2o

圓的離心率e=0,在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

K圓與直線的位置關(guān)系判斷工

平面內(nèi)，直線Ax+By+C=O與圓x-2+/2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是:

1.由Ax+By+C=0,可得y=(-OAx)/B,(其中B不等于0),代入x~2+y”2+Dx+Ey+F=0,即

成為一個關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0o利用判別式b,2-4ac的符號可確定圓與直線的位置

關(guān)系如下:

如果b~2-4ac〉0,則圓與直線有2交點,即圓與直線相交。

如果b~2-4ac=0,則圓與直線有1交點,即圓與直線相切。

如果b'2-4ac<0,則圓與直線有0交點,即圓與直線相離。

2.如果B=0即直線為Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y軸(或垂直于x軸)，將

x-2+y-2+Dx+Ey+F=0化為(x-a)-2+(y-b)"2=r_2o令y=b,求出此時的兩個x值xl.x2,并且

規(guī)定xl<x2,那么：

當(dāng)x=-C/八〈乂1或x=-C/A>x2時，直線與圓相離；

當(dāng)xl〈x=-C/A〈x2時，直線與圓相交；

半徑r,直徑d

在直角坐標系中，圓的解析式為：(x-a)*2+(y-b)~2=r"2

x"2+y*2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)”2+(y+E/2)*2=D'2/4+E^2/4-F

=>圓心坐標為(-D/2,-E/2)

其實不用這樣算太麻煩了

只要保證X方Y(jié)方前系數(shù)都是1

就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2,-E/2)

這可以作為一個結(jié)論運用的

且r=根號(圓心坐標的平方和-F)

圓知識點總結(jié)

平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

圓心：圓中心固定的一點叫做圓心。用字母0表示

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。用字母d表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1/2.

圓的半徑?jīng)Q定了圓的大小，圓心決定了圓的位置。

圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用C表示。

圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

圓周率是一個固定的數(shù)，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，用字母m表示。近似等于3.14。

直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

圓的面積公式："r方，用字母S表示。

第25章概率初步

知識框圖

定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式：y=axA2+bx+c(a=0,a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。

頂點式：y=a(x-h)A2+k

交點式(與x軸)：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：(a,b,c為常數(shù)，aNO,且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0

時，開口方向向下。lai還可以決定開口大小,lai越大開口就越小,lai越小開口就越大。)

二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次。

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

x1,x2=[-b±J（bA2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）

二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)v=x²的圖

像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點Po

特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P,坐標為P（-b/2a,（4ac-b²）/4a）

當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)A=b²-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0,也

就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號

當(dāng)a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0,也

就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一

次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0,c)

6.拋物線與x軸交點個數(shù)

△=b²-4ac〉0時，拋物線與x軸有2個交點。

△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

△=b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b士Jb²一

4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)

當(dāng)a>0時，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在｛x[x<-b/2a｝上是減

函數(shù)，在｛x[x>-b/2a｝上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是｛y|y24ac-b²/4a｝相反

不變

當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax²+c(a

W0)

7.定義域：R

值域：(對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)①

[(4ac-b²｝/4a,正無窮)；②[t,正無窮)

奇偶性：偶函數(shù)

周期性：無

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴aWO

(2)a>0,則拋物線開口朝上；a<0,則拋物線開口朝下；

⑶極值點：(-b/2a,(4ac-b²)/4a)；

(4)A=b²-4ac,

A>0,圖象與x軸交于兩點：

([-b-VA]/2a,0)和([-b+VA]/2a,0)；

A=0,圖象與x軸交于一點：

(-b/2a,0)；

A<0,圖象與X軸無交點；

②y=a(x-h)²+t[酉己方式]

此時，對應(yīng)極值點為(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b²)/4a)；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式]

aWO,此時，x1.x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一

元二次方程連用)。

［編輯本段1二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax²+bx+c,

當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax²+bx+c=0

此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

函數(shù)與X軸交點的橫坐標即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=ax²,y=a（x-h）²,y=a（x-h）²+k,y=ax²+bx+c（各式中,

aWO）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式

y=ax²

y=ax²+K

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

頂點坐標

(0,0)

(0,K)

(h,0)

(h,k)

(-b/2a,sqrt[4ac-b²]/4a)

對稱軸

x=0

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

當(dāng)h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，

當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可

以得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；

當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象；

當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|川個單位，再向上移動k個單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象;

當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動兇個單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象；

因此，研究拋物線y=axA2+bx+c(aW0)的圖象，通過配方，將一般式化為

y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫

圖象提供了方便.

2.拋物線y=ax²+bx+c(aW0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對

稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b²]/4a).

3.拋物線y=ax²+bx+c(aW0),若a>0,當(dāng)xW-b/2a時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x

》-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)xW-b/2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x2-b/2a

時，y隨x的增大而減小.

4.拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0,c)；

(2)^iA=b²-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(xi,0)和B(X2,0),其中的x1,x2是一元二

次方程ax²+bx+c=0

(aWO)的兩根.這兩點間的距離AB=|X2-X1|另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由

|2X(-b/2a)-AI(A為其中一點的橫坐標)

當(dāng)△=().圖象與x軸只有一個交點；

當(dāng)圖象與x軸沒有交點.當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有

y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0.

5.拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時，y最小(大)值

=(4ac-b²)/4a.

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般

形式：

y=ax²+bx+c(aN0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或極大(小)值時，可設(shè)解析式為頂點式:

y=a(x-h)²+k(aW0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-xj(x-x

2)(aW0).

7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次

函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn).

第27章相似

知識框圖

相似三角形的認識

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。(similartriangles)。

互為相似形的三角形叫做相似三角形

相似三角形的判定方法

根據(jù)相似圖形的特征來判斷。(對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等)

1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角

形相似；

(這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個引理的證明方法需要平

行線分線段成比例的證明）

2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似;

.4ABC^A'B'C

3.如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似;

4.如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似;

絕對相似三角形

1.兩個全等的三角形一定相似。

2.兩個等腰直角三角形一定相似。

3.兩個等邊三角形一定相似。

ABC^.4'B'C"

直角三角形相似判定定理

1.斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個

直角三角形也相似。

射影定理

三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的那個的兩個等腰三角形相似。

推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。

推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，

那么這兩個三角形相似。

推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那

么這兩個三角形相似。

相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半

徑等)的比等于相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。(congruenttriangles)

全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：

1.形狀完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一