集合

評卷人得分

1.設(shè)u為全集，5,s?是U的兩個非空子集，且SUS2=U,則下面論斷必定正確的

是()

A.s,ns2=0B.S,c(^S2)

C.(楓)c(應(yīng))=0D.(桐)。(應(yīng))=。

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)公式期(ADB)=(uA)c(多可，即可推出正確的結(jié)論.

【詳解】

因為U為全集，S「S2是U的兩個非空子集，且gUS2=U,

所以藥(gDS2)=a，u=0,

因為郴1ca2=%(5DS?”。，

所以(喇耳)c(05)=0，故選C.

【點睛】

本題主要考查集合交集、并集、補集的混合運算，屬于中檔題.

2.已知全集為R,集合A={x[x<-2或r>3},8={-2,0,2,4},則3加5=

()

A.{-2,0,2}B.{-2,2,4}C.{-2,0,3}D.{(),2,4}

【答案】A

【解析】

集合A={xk<—2或x>3},5={-2,0,2,4),

CRA={-M-2KxW3},[CR4)c8={-

故選A.

3.已知A={x|y=log2(3x-1)},8={y，+y2=4},則4nB=()

A.(0,3)B.[-2,§)C.(§,2]D.(—,2)

【答案】C

【解析】

由題意得：A=1x|x>|j,S={y|-2<y<2},

.?.(CMc3=W《}c{y|-2WyM2}=-2,1

故選A

4.設(shè)全集是R,集合A=]x|吉>0，，B={x|y=j4_%2},則Ap|金3=()

A.[-2,1]B.(2,M)C.(1,2]D.(-oo,-2)

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡集合A8,按補集和交集定義，即可求解.

【詳解】

A={x|白>o}=(l,+oo),3={x|y=J4_f}=[_2,2]，

CRB=(-OO,-2)U(2,+OO),4口金8=(2,+00).

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的定義域、集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)集合4={2,5},則集合4的子集個數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

試題分析：由于集合人={2,5},根據(jù)子集的概念，空集是任何集合的子集，那么其子集

為，。，{2},{5},{2,5}共4個，選D.

考點：本試題主要考查了集合的子集的求解。

點評:解決該試題的關(guān)鍵是理解子集的概念,對于一個非空集合而言，如果有n個元素，

其子集個數(shù)為2n個，真子集為21M個.

6.設(shè)集合U={123,4,5},若集合4={1,4,5},集合B=[1,2,3,4},貝！|(CM)CB=()

A.[1,2,3}B.{2,4}C.[2,3}D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)集合補集的概念，求得C〃l={2,3},再根據(jù)交集中元素的特征，求得(Q4)n

B={2,3}.

【詳解】

根據(jù)題意，可知GM={2,3},所以(C/)nB={2,3},

故選C.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)集合的運算，屬于簡單題目.

7.已知集合4={》|/一3%-440},8={x忖0},則AD3=

A.[-l,O)U(O,+a))B.[—1,0)50,4]

C.(-oo,-UU(0,+oo)D.(-?,-1]0(0,4]

【答案】B

【解析】

易知A={X|X2-3X-4?0}={X|-14XW4},B={刈動。}={x|xn0},故

ACB=[-1,0)口(0,4].故選8

8.設(shè)集合A={—1,0,1,2,3},5={X|X2-2X>0},則AflB=()

A.{2,3}B.(2,3)C.{-1,3}D.(-1,3)

【答案】C

【解析】

試題分析：3=2x>0}={x|x<0處>2}.?.An6={-1,3}

考點：集合運算

9.若集合A={x|142，"8},B={x|log2(x2_x)>l},則4口3=()

A.(2,3]B.(fO)U(O,2]

c.[2,3]D.(F,-1)U[O,3]

【答案】A

【解析】

試題分析：因為

A=卜11W2"8}=[0,3],8=1|log?(V_*>1}=卜|/_%>2}=(-oo,-l)U(2,+oo)

,所以Ar)8=(2,3],選A.

考點：集合運算

【方法點睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確

集合類型，是數(shù)集、點集還是其他的集合.

2.求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解.

3.在進(jìn)行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集

合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點

值的取舍.

10.設(shè)全集為R,集合A={x|0<x<2},fi={x|x>l},則An(\8)=

A.1x|0<x<B.{x[0<x<l}C.{x[14x<2}D.{x[0<x<2}

【答案】B

【解析】

分析：由題意首先求得然后進(jìn)行交集運算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可得：CR3={X|X<1},

結(jié)合交集的定義可得：Ac(C*)={0<%<1}.

本題選擇8選項.

點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能

力和計算求解能力.

11.設(shè)全集U={1,3,5,7},集合A={1,5},則C°A的子集的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

C〃A={3,7},故子集有4個.

點睛：集合的三要素是：確定性、互異性和無序性.研究一個集合，我們首先要看清楚

它的研究對象，是實數(shù)還是點的坐標(biāo)還是其它的一些元素，這是很關(guān)鍵的一步.第二步

常常是解一元二次不等式，我們首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解

分式不等式的過程中，要注意分母不能為零.子集的個數(shù)是2"個，真子集的個數(shù)是2"，

12.設(shè)集合U=R,集合4=卜,2一1>。},5={X|O<X<2},則集合(+A)nB=

()

A.(-1,1)B.[-L1]C.(0,1]D.[-1,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

解不等式得A,求得q,A,進(jìn)而可求(電A)c8

【詳解】

因為集合A={x,_1>o}={X卜〈—1或x〉1},

所以0，A={H-14X<1},

所以A)CB={H0<X41}.

故選C.

【點睛】

本小題考查集合的基本運算，全集、補集、交集等基礎(chǔ)知識：考查運算求解能力.

評卷人得分

二、填空題

13.下列命題：

①命題"HreR,%2+*+1=（），，的否定是，，玉€&%2+x+l聲0”;

②若A={x|x>0},3={x|x4—l},則ADCRB=A；

③函數(shù)/(x)=sin+協(xié)(g>0)是偶函數(shù)的充要條件是(p=k*&kwz.；

④若非零向量3B滿足汗==2萬，則；1=1,

其中正確命題的序號有

【答案】②③

【解析】

分析：對于①，利用特稱命題的否定判斷.對于②，利用集合的運算判斷.對于③，利用

正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析.對于④，利用共線向量的關(guān)系分析.

詳解:對于①，命題“mceR，d+x+i=?！钡姆穸ㄊ恰癡xeR,+

所以是錯誤的.

對于②，。*=卜舊一1},所以4口。*=人，所以是正確的.

對于③，函數(shù)/(x)=sin(5+0)3>O)是偶函數(shù)的充要條件是

冗

(p=k7r+—,kez,是正確的.

2

對于④，非零向量J,坂滿足&=九瓦5=/1第則丸=±1,所以是錯誤的.

故正確命題的序號是②③.

故填②③.

點睛：本題主要考查特稱命題的否定、集合的運算、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、共

線向量等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.

X

14.設(shè)集合A={x|x>l},B={x\--<0},則AC8=______

x-3

【答案】(1,3)

【解析】

【分析】

化簡集合B,根據(jù)交集的定義寫出ACB.

【詳解】

JQ

集合A二B={x\----<0}(x-3)<0)={x|0<x<3},

x-3

：.則An8={x|lVxV3}.

故答案為(1,3).

【點睛】

本題考查交集的求法,考查交集定義、分式不等式求解等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

15.設(shè)非空集合5=卜帆W》乏/}滿足：當(dāng)xeS時，有feS,給出如下四個命題：

①若機(jī)=1,則S={1}；②若m=一!，則③若/=1，則—也WmWO；

32422

④若/=1,則一iW/nVO或/”=1；

其中正確命題的序號為

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

由題分析：若xeS則*24k區(qū)/,對每個選項列不等式組分析.

【詳解】

非空集合5={%|加W1?4滿足：當(dāng)xwS時，有VeS，

若/>1,則『史s，所以/W1,

若7?2<-1,則“>|網(wǎng)>1,/￡S，所以1,

所以—IWmW/Wl,

且當(dāng)xeS時，有一1Wl,x2<k|W/Wl,

非空集合5=[4〃式》忘4滿足：當(dāng)xeS時，有/GS，

①若機(jī)=1,根據(jù)一lW/nW/Wl,貝"=1,所以5={1}；

②若機(jī)=—工，m2=-e5,則

244

m<—

2

I1F)

③若/=±,/M2<-,解得：—在WmWO；

2,22

m2>m

m<\

④若/=1,—/4I,解得：一14m40或6=1;

m>tn

故答案為：①②③④

【點睛】

此題考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相關(guān)知識辨析.

16.已知集合人={幻》21},8={x|xNa},若A=則實數(shù)”的取值范圍是

【答案】(-00,1]

【解析】

【分析】

根據(jù)子集的定義和不等式的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】

集合A={x|xNl},3={x|xNa},A=8,

a<\.

：.實數(shù)。的取值范圍是」］.

故答案為

【點睛】

本題考查了根據(jù)集合的包含關(guān)系求解參數(shù),在集合運算比較復(fù)雜時,可以使用數(shù)軸來輔

助分析問題.

評卷人得分

三、解答題

17.已知集合4={x|log5（ac+l）<l}（a工0）,B=|x|2x2—3%-2<o1.

(1)求集合8；

(2)求證：A=B的充要條件為a=2：

(3)若命題p:xeA,命題且〃是q的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范

圍.

【答案】(1)B=(--,2)(2)證明見解析(3)?！?,或。4一8

2

【解析】

試題分析：(1)解一元二次不等式得所求集合B=(-g,2)(2)先證充分性當(dāng)a=2時，

A={x|log5(2x+l)<l}={x|0<2x+l<5}=(—g,2),所以當(dāng)a=2時A=8.再證必

要性，分a<0,a>0,(3)p=q=AuB,當(dāng)。>0時，a>2,當(dāng)a<0時，

4141

—>———N——

41

A=<x一<x<——則j2或.a=>?<-8,故實數(shù)。的取值范圍是

aa--<2--<2

.aa

a>2,或aW—8

試題解析：解：(1)2X2-3X-2<0,(2X+1)(X-2)<0,所以—g<x<2,

所以B=(-；,2)

(2)證明：充分性:當(dāng)a=2時，A={x|log5(2x+l)<l}={x|0<2x+l<5}=(-p2),

所以當(dāng)a=2時A=8.

必要性：A=|x|log5(a￥+l)<1}={x|0<ar+1<5}=1x|-l<ax<^

[4]—o

當(dāng)。>0時4=〈》--<x<-\,又A=B,a/=a=2,

aa4.

i)—=2

a

」=2L—l

41

當(dāng)〃<0時，A=<x—<x<——a=><2，無解，Aw3,

aa41

—=——a=-6o

、a2

故A=5時，。=2.

所以，A=8的充要條件為。=2

(3)p=q=AuB

由(2)知

14

當(dāng)a〉0時，A=<x——<x<—>,則

aa

—>——

/2或a2解得a>2

-<2-<2

a

4141

—>———>——

當(dāng)a<0時,則<a.2或.a2=>a<-8

—K2--<2

綜上p是4的充分不必要條件，實數(shù)a的取值范圍是a>2,或aW-8.

考點：集合的運算以及充分必要條件.

18.已知全集為R,函數(shù)/(x)=lg(l-x)的定義域為集合A,集合

3={x|x(x—l)>6}.

(1)求AUB；

(2)若。={%|加一1<X<〃2+1},C求實數(shù)，"的取值范圍.

【答案】(1)AUB={x[x<l如>3}(2)[-1,0]

【解析】

【分析】

(1)解不等式得到集合A,B,利用并集定義求解4U8；

(2)先求解08,再求解An(OB),利用C=(AI(傘8)),列出不等關(guān)系，求解即可.

【詳解】

(1)由i-x>0得，函數(shù)“力=愴(1一力的定義域4={淚兀<1},

x2-x-6>0.(x-3)(x+2)>0,得3={x|x>3或r<-2},

/.AU6={x[jc<l^tx>3}.

(2)={x|-2<x<3},二AI&3)={X|-24X<1},

、m—lN—2

Cc{(x|-2<x<l},則<=>-1<m<0,

故實數(shù)機(jī)的取值范圍為

【點睛】

本題考查了集合運算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.

19.已知全集內(nèi)凡集合Z={M*-11A+18<0},氏{424爛5}.

(1)求ZD5；BL)(【必)；

(2)已知集合G={M*延a+2},若SC“B=C,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1){M2<止5};{必后5或欄9}(2)(-8,-4)U(5,+<?)

【解析】

【分析】

(1)化簡集合A,根據(jù)補集與并集和交集的定義計算即可：(2)根據(jù)題意，利用集合

的定義與運算性質(zhì)，列不等式組求出a的取值范圍.

【詳解】

(1)集合力={必*-11*+18<0}={必2Vx<9},

全集8A,貝比必=0后2或49}；

又氏{M-2s爛5},則力C632〈爛5}；

??.5U([〃/)={M三5或應(yīng)9}；

(2)集合會{MW在a+2},B—[^-2<x<S},

則：[〃而{M*<-2或x>5},

??,cn[uB=c,

二皿血

二需滿足：a+2<-2或a>5,

解得：a<-4或a>5,

所以實數(shù)a的取值范圍是(-00,-4)U(5,+00).

【點睛】

本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題.

20.設(shè)集合A={x]-1<x+1<6},B-{x\m—\<x<2m+1}.

(D當(dāng)xeZ時，求4的非空真子集的個數(shù)；

(2)若求機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)254；(2){川—1W—K2或犯，—2}.

【解析】

【分析】

對于(1)，根據(jù)x的取值范圍，可確定集合A中所含元素，根據(jù)其元素的個數(shù)可判斷出

其子集的個數(shù)，若集合含有〃個元素時，則有2〃的子集，當(dāng)〃>1時，其非空真子集的

個數(shù)為2"-2,即可得到答案;

對于(2),由于空集是任何非空集合的子集，故對于3集合是否為空集需分情況討論：

①集合8為空集，即加一122〃?+1；②集合B為非空集合，即加一1<2相+1.

【詳解】

由題意得A={x|-2<x<5}.

(1)VXGZ,AA={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8個元素，

，A的非空真子集的個數(shù)為28-2=254.

(2)①當(dāng)加一122/77+1,即機(jī)<一2時，B=0=A；

②當(dāng)相一1<2〃?+1,即桃〉一2時，B^{x\m-\<x<2m+\],

因此，要使8=A,

則\=>一掇物2.

2/〃+L,5

綜上所述，m的取值范圍{機(jī)|-1<加〈2或〃，一2}.

【點睛】

本題主要考查的是非空子集和真子集的定義，集合的包含關(guān)系及應(yīng)用，考查不等式的解

法，考查學(xué)生的計算能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算、邏輯推理，誤區(qū)警示：(1)確

定方程的解的集合或不等式的解集之間的關(guān)系時，當(dāng)其含有參數(shù)時，注意要分類討論，

不討論易導(dǎo)致誤判.(2)月￡氏3。0)包含三種可能，①A為0；②A不為必0,

且AB；③A不為0,且A=B.只寫其中一種是不全面的，如果A,B是確定的，

就只有一種可能，此時只能寫出一種形式.是基礎(chǔ)題.

21.已知集合4={%|號>0},B—{x\x2—2x—a2—2a<0]

(1)當(dāng)a=4時，求AnB；

(2)若力￡B,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)(1,6)；(2)U[5,+00).

【解析】

試題分析：(1)本題就是解簡單分式不等式及一元二次不等式S={%[1<x<7},當(dāng)。=

4時，B=[x\x2-2x-24<0}={x|-4<x<6},.?.力CB=(1,6).(2)根據(jù)集合B

的解集情況，討論滿足4UB的實數(shù)a的取值范圍.因為B={x[(x+a)(x-a-2)<0},

所以①當(dāng)a=—1時，F(xiàn)=0,AQB不成立；②當(dāng)a+2>—a,即a>—1時，B=(-a,a+

2),???AQB,，解得a>5;③當(dāng)a+2<-a,即a<一1時，B=(a+2,-a),

IQ+2N7

???AUB".2Ml解得。3―7;綜上，當(dāng)A￡B,實數(shù)a的取值范圍是(一8,—7]U

[5,+8).

法一：

解：(1)4={%|1<%<7},——2分

當(dāng)a=4時，B={x\x2—2%—24<0}={%|-4<%<6},-----4分

：.AQB=(1,6).——6分

(2)B={x|(x+a)(x—a—2)<0},------7分

①當(dāng)Q=-1時，8=0,???AGB不成立；——9分

②當(dāng)Q+2>—Q,即Q>—1■時，B=(-Cl,CL+2),

???AQB,{a；12Ml7，解得&-5；--11分

③當(dāng)Q+2V—a,即a<—1時，B=(a+2,—a),

a

???AQB,.-,f+2JJ解得。<_7;——13分

l-a>7

綜上，當(dāng)AUB,實數(shù)a的取值范圍是(一8,-7]U[5,+8).——14分(缺等號扣2分)

法二：

解：（1）4=｛x|l<x<7）,——2分

當(dāng)a=4時，B=｛x|x2—2%-24<0｝=｛x|-4<x<6｝,---4分

.'.AC\B=（1,6）.---6分

（2）記/（%）=X2—2x—a2—2a

"AQB：.f（7）<0即:72-2x7-a2-2a<0——10分

整理得：a2+2a-35>0解得a>5^a<-7

二實數(shù)a的取值范圍是（—8,-7]U[5,+?>）.--14分（缺等號扣2分）

考點：解不等式

22.對于正整數(shù)集合4=｛6，4,…,a“｝（〃eN*,〃N3）,如果任意去掉其中一個元素

a,（i=1,2,…,之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，

且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集合”.

（1）判斷集合｛1,2,3,4,5｝和｛1,3,5,7,9,11,13｝是否是“可分集合”（不必寫過程）；

（2）求證：五個元素的集合人=｛4，%,生,。4M5｝一定不是“可分集合”；

⑶若集合4=｛4，的，…,凡｝（〃€川,〃23）是“可分集合”.

①證明：”為奇數(shù)；

②求集合A中元素個數(shù)的最小值.

【答案】⑴集合｛1,2,3,4,5｝不是“可分集合”，集合｛1,3,5,7,9,11,13｝是“可分集

合”；（2）見解析；（3）①見解析；②最小值是7

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)定義直接判斷即可得到結(jié)論；

（2）不妨設(shè)4<4<4<4，若去掉的元素為％，則有q+%=%+4①，或

者%=4+。3+。4②；若去掉的元素為生，則有。2+。5=“3+。4③，或者

%=4+4+4④，求解四個式子可得出矛盾，從而證明結(jié)論；

（3）①設(shè)集合人=｛4，%,所有元素之和為M,由題可知，

M-q（i=l,2,…均為偶數(shù)，因此0