2021年5月江蘇省常州市新橋高級(jí)中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三?？荚?/p>

數(shù)學(xué)試卷

★?？荚図樌?/p>

（含答案）

一、選擇題（共8小題,每小題5分，共40分）.

1.集合力與集合8滿足［JUGS則集合力與集合8的關(guān)系成立的是（）

A.A^BB.BQAC.4n［u8=4D.8no=8

解：因?yàn)閙G8

所以L（O）2Cu（［⑶，

所以A?B,

故選：B.

2.某學(xué)校從4名男生'3名女生中選出2名擔(dān)任招生宣講員,則在這2名宣講員中男、女生各

1人的概率為（）

A.B.c.4D.47

37712

解：某學(xué)校從4名男生、3名女生中選出2名擔(dān)任招生宣講員，

基本事件總數(shù)〃=*21,

在這2名宣講員中男、女生各1人包含的基本事件個(gè)數(shù)勿=C：以=12,

則在這2名宣講員中男、女生各1人的概率為々皿=普=4.

n217

故選：C.

3.函數(shù)尸（x）=包嗎至逅邑的圖象大致是（）

x2+l

A.

X

2x+sinx

1+2

xJ+l

有a-x）+尸（x）=1+型/曳+1-生/曳=2,則“X）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱,排

x"+lx"+l

除G

f（-1）=嗎?=-竽V0,排除世

故選：B.

22

4.雙曲線三-『l（a>0）的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）

a24

A.—B.4C.2D.4

a2

解：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)（c,0），一條漸近線是2x-av=0,

|2c-aXQI

由點(diǎn)到直線距離公式,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是：/2=2

故選：C.

5.已知單位向量Z,E滿足（Z+E）i（Z-E），|Z+E1=?,則向量Z,E的夾角是（）

解：根據(jù)題意,設(shè)向量Z,E的夾角為9,

向量Z,E都是單位向量且|Z+E|則有（W+E）2=T+'b+2a,b=1+1+2cos0=3.

則cos0=/，

TT

又由owewn,貝|Je=—.

故選：B.

6,南宋數(shù)學(xué)家楊輝《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出垛積公式，所討論的高階等

差數(shù)列前后兩項(xiàng)之差不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)

列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別

1,6,13,24,41,66,則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）

A.91B.99C.101D.113

解:由題意得1,6,13,24,41,66的差組成數(shù)列：5,7,11,17,25…，這些數(shù)的差組成數(shù)列:

2,4,6,8,10-,

故該數(shù)列的第7項(xiàng)為10+25+66=101.

故選：C.

7.已知函數(shù)f3是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf（/1）

=（/1）f（x），貝l］f（羋）的值是（）

1R

A.0B.—C.1D.—

22

解：當(dāng)狂7且"0時(shí)，由"（/1）=（/1）"x）,得f（x+l）=?）,

x+1X

令g（x）=9,則g（/1）=g（x），所以g（x）是周期為1的函數(shù)，

X

所以gg。,1-）=g弓）=2f（y）,

當(dāng)x=［時(shí)，由*五（戶1）=（/1）f（X）得，［f弓）q：f（q）,

乙乙乙乙乙

又分（x）是偶函數(shù)，所以f（■!）=￡（-、），

所以f6）=0,

所以g（竽）=g?）=2f?）=0,所以f（竽）上啜g（竽）=0.

乙乙乙乙乙乙

故選：4

8.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì),將在2022年02月04日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市

聯(lián)合舉行.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì),北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林

匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市.同時(shí)中國(guó)也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先

后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)'青奧會(huì)'冬奧會(huì)'冬殘奧會(huì)）國(guó)家.根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢）

成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示,內(nèi)外兩

圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓,若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)力和短軸一端點(diǎn)8分別向內(nèi)層橢

圓引切線4G8D（如圖），且兩切線斜率之積等于小，則橢圓的離心率為（）

22

解：設(shè)內(nèi)層橢圓方程為號(hào)三=1（a>6>0）,因?yàn)閮?nèi)外橢圓離心率相同，所以外層橢圓，

22

可設(shè)成,」^一^=1（加>1）,

（ma）2金）2

設(shè)切線的方程為y=4（/a）,

22,

與%聯(lián)立得，（b?+a2kl"x2+2ma3kJx+m2a4k2b2=o,

,2i,2

由△=（）,貝-,同理k22=%（m2-：L）,

akm-1Ja

所以k12k22=4=（*）2,因此eg.

1a4164

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得。分.

9.若復(fù)數(shù)z滿足（1+/）?z=5+3/（其中/是虛數(shù)單位），則（）

A.z的虛部為-/

B.z的模為

c.z的共柜復(fù)數(shù)為4-/

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

5+3i(5+3i)(l-i)_5-5i+3i-3i2_8-2i

解:由(1+/)?z=5+37,得z：

Td(1+i)(1-i)i-i22

所以z的虛部為-1,選項(xiàng)力錯(cuò)誤；

Iz|=3+(_］)2=^^,選項(xiàng)8正確；

z的共拆復(fù)數(shù)為4+/,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(4,-1)位于第四象限選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

10.關(guān)于圓C：4戶2H■2爐一4+1=°，下列說法正確的是()

4

A.A的取值范圍是4>0

B.若〃=4,過"(3,4)的直線與圓C相交所得弦長(zhǎng)為2向其方程為12x-5y-16=0

C.若％=4,圓C與V+?=1相交

D.若4=4,勿>0,/7>0,直線mx-ny-1=0恒過圓C的圓心,則工+二28恒成立

mn

解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-^)2+(y+l)2=k，故4正確;

當(dāng)〃=4時(shí)圓C的圓心(2,-1),半徑為2,

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)直線為x=3時(shí),該直線過點(diǎn)M,此時(shí)截得弦長(zhǎng)為273.故選項(xiàng)8不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,兩圓的圓心距為也2-0產(chǎn)+(-1-0)2=代,

大于兩圓半徑之差的絕對(duì)值且小于兩圓半徑之和，故正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,易得2而1=0,即2而〃=1,加>0,">0,

—+^-=(-(2mtn)=4+—+4-^8,

mnmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)包=4工即〃=2m=4時(shí)取等號(hào),故正確.

mn2

故選：ACD.

11.已知函數(shù)尸(x)=2(|cosx|+cosx)?sinx,給出下列四個(gè)命題()

A.f(x)的最小正周期為n

jr

B.尸(x)的圖象關(guān)于直線xf■對(duì)稱

4

C.尸(x)在區(qū)間［《，子］上單調(diào)遞增

D.f(x)的值域?yàn)閇-2,2]

(2sin2x,cosx^O

解：:.函數(shù)分(x)=2(|cosx|+cosx)sinx=s，故分(x)的周期為2n,

0,cosx<.0

故排除A；

K

f-x)=2[|cos-x)l+cos-x)]-sinx)=2(|sinx|+sinx)

2

cosx芋f(x),

故f（x）的圖象不關(guān)于直線x三對(duì)稱,故排除B；

4

當(dāng)亍］，2XG［-J與"（x）=2sin2x,故五（x）在區(qū)間［勺，?。萆蠁握{(diào)

遞增，故C正確；

TT

根據(jù)函數(shù)的解析式，當(dāng)x=2An—-,〃6時(shí)，”外取得最小值為-2；

4

TT

當(dāng)x=2An+—kGZ時(shí)，"x）取得最大值為2,故f（x）的值域?yàn)椋?2,2］,故，正確，

4

故選：CD.

12.若0V8Vx2<1,則下列不等式成立的是（）

A.X2廣>x/

X1Xz

B.x2e<xie

。?e-e^lnx2-lnx

D?2_J?<]nx27nx]

XpXfv-1'J

解：(1)令*x)=e_,xe(0,1)"'(x)=￡.%-U.VO,則函數(shù)尸(x)在XW(0,1)

XX”

上單調(diào)遞減，

■/0<%1<%2<1,.'.f(x,)>f(x2)，因此4正確，8不正確.

(2)令g(x)=e，+lnx,xR(0,1)，則函數(shù)尸(x)在xW(0,1)上單調(diào)遞增，

*/0<xl<x2<1,f(%,)<f(x2)，因此〃正確，。不正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.若(l+2x)2°以=a0+a]X+…+&202]乂2"1(x€R),貝…的值為Z"?1-1

解：令x=0,則為=1,

92021

國(guó)如入門X、2021x,,x,12,,a20212021

因?yàn)椋?+2?萬）=%+&?5+%?丁…+加廣西j-ao+T戶百戶…+西丁*,

所以令x=1,貝IJ22°”=%+9+券一+?絆，

222<u/i

202,

所以…第^=2由-a0=2-1.

故答案為：2*1.

14.若函數(shù)尸（X）滿足5（n+x）+尸（II-X）=0且最大值為2,請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)

尸（X）的解析式：f（x）=2sinx.

解：當(dāng)函數(shù)尸（x）=2sinx時(shí)滿足大（n+x）+尸（n-x）=0且最大值為2,

故答案為：f（x）=2sinx.

15.已知點(diǎn)48,C為球。的球面上的三點(diǎn)，且N仍”60°,8c*=3,若球0的表面積為48n,則

點(diǎn)。到平面486*的距離為3.

解：球。的表面積S=4n/?=48n,解得/?=2y,

在△4861中，點(diǎn)4B,C為球0的球面上的三點(diǎn)，且N&IU60°,BX3,

外接圓的半徑為：r,2r=.3=273.r=M，

sinbO

球心到平面力8。的距離^=7（2V3）2-（V3）2=3-，

故答案為：3.

16.已知數(shù)列｛，｝滿足ae=W-l（nEN*）,d=1.若從四個(gè)條件：①力=唱；②3=2n；

i+an2

③。=3；④8=口中，選擇一個(gè)作為條件補(bǔ)充到題目中，將數(shù)列｛a』的通項(xiàng)為表示為Asin

O4

（①加中）+B（3>0,|（t）|V）的形式，則an=__^^sin（n兀-《"）寸或

V3/兀、1

-^-sin（nK-k^-）-k^_.

解：數(shù)列｛劣｝滿足布=^jl（n€N*）,句=1.

當(dāng)"=1時(shí),解得a2二）"，

當(dāng)"=2時(shí),解得a=1,

當(dāng)/7=3時(shí),解得a4二5，

故數(shù)列的周期為2,

故T筆=2,解得3=TT,故②不能作為條件，

設(shè)a=Asin(3"Q)+8,

所以a=4sin(TI+Q)+8=1,①，

a2=Asin(2n+4))+Q-②,

①+②得B=^~,故④不能作為條件.

4

當(dāng)①4=W■時(shí),an=^sin(n冗+。)+:，

JT

由于d=1,所以0=--.

0

故an=^sin(n冗

當(dāng)③。作為條件時(shí),由于4=1,所以A=_噂,

oN

故an=-^sin(n冗

故答案為：^"sin(n冗-母)［或-^'sin(n兀+

四'解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①COSQT；②加C=2?；③a=^，這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，使問

D

題中的三角形存在,并求出△A?。的面積.

問題：在XABC中，a,b,c是角4B,C所對(duì)的邊,已知asina?c?cos/,補(bǔ)充的條件是___

和—.

解：,「asin61=yc?cos4,由正弦定理可得：si”sin6'=J§sinOcos/,sinGAO,

冗

.??sin/4=y?cos4??.tan/4=y,彳￡(0,n)，角星得/4=2~.

若選擇①cos8=?，則cos8V-!，

b2

:(冬，TT)，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，因此不能選擇①，只能選擇②③.

O

由余弦定理可得：6=b2+c2-26ccos三,與加c=2、R聯(lián)立,

O

解得：bc=2.

.?.△腕的面積S=^X2Xsin3=返.

232

18.如圖,在四棱錐彳一86緋中，BC//DE,BELBC,AB=BC=AC=2DE=2BE.

(1)證明：ADI.BC.

(2)若平面及QE，平面ABC,經(jīng)過4。的平面a將四棱錐4-861宏分成左、右兩部分的體

積之比為1：2,求平面a與平面4?C所成銳二面角的余弦值.

【解答】Q)證明：取8c的中點(diǎn)0,連接AO,DO.

因?yàn)锽O=DE,BO//DE,所以8。優(yōu)為平行四邊形，

又思所以DOLBC.

因?yàn)锳B=BC=AC,所以AOI.BC,

又40ADgQ所以BC1.平面ADO.

因?yàn)?t平面ADO,所以ADA.BC.

(2)解：因?yàn)槠矫妗銎矫鍭BC、平面平面ABC=BC,

所以Z?0-L平面ABC.

因?yàn)镾xcoo：￡聯(lián)=1：2,所以平面4?0即為平面a.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以),08,如所在直線分別為x軸、p軸'z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系0-xyz,

不妨設(shè)心=2,則0(0,0,0),A(V3?0,0)妨(0,1,0),C(0,-1,0),D(0,0,1),

所以正=(-e，-1,0),CD=(O,1,1).

設(shè)平面彳。C的法向量為［=(x,y,z),

則AC-n—V3x-y-0^令乂=則了=_歷zRl，

CDpn=y+z=0

所以浸(i,-a,M).

又平面a的一個(gè)法向量為5=(0,1,0).

設(shè)平面a與平面4?C所成的角（銳角）為6,

則cos8=|cosG，蛇77尊

雪|m|斗|n|。1XV77

所以平面a與平面4?C所成銳二面角的余弦值為早.

a=a>(n€N*)

19.若數(shù)列｛d｝及同滿足n+1n11n且a1=1,0=6.

bn+l=3an+bn+3>(n￡N*),

(1)證明：b=3an+3(〃GN*)；

（2）求數(shù)列⑵｝和｛力｝的通項(xiàng)公式.

【解答】(1)證明：a^i=an《bn，b"i=3a〃+b〃+3,

=3的+3,

當(dāng)且〃GN*時(shí),有b=3an+3,

又a,=1,4=6,滿足。=34+3,

..?對(duì)任意〃GN*,有60=3a0+3；

(2)解：將以=3而+3,2=3a〃+3代入b^=3a?+bn+3,

得a"i=2a〃+1,即a.i+1=2(a?+1),

又句+1=2HO,

:?數(shù)列｛4+1｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,

n

an+l=2,即an=2n-l.

n

bn=3an+3=3?2.

20.一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國(guó)家的科技發(fā)展,幾乎所有的重大科技進(jìn)展都與數(shù)學(xué)息息

相關(guān)，我國(guó)第五代通訊技術(shù)（5G）的進(jìn)步就是源于數(shù)學(xué)算法的優(yōu)化.華為公司所研發(fā)的

S/〃g/e/M〃算法在部署5G基站時(shí)可以把原來的4G、3G基站利用起來以節(jié)省開支,華為創(chuàng)始

人任正非將之歸功于“數(shù)學(xué)的力量”，近年來，我國(guó)加大5G基站建設(shè)力度，基站已覆蓋所有

地級(jí)市,并逐步延伸到鄉(xiāng)村.

(1)現(xiàn)抽樣調(diào)查英市所軸的A地和8地5G基站覆蓋情況,各取100個(gè)村,調(diào)查情況如表:

已覆蓋未覆蓋

4地2080

8地2575

視樣本的頻率為總體的概率，假設(shè)從A地和8地所有村中各隨機(jī)抽取2個(gè)村,求這4個(gè)村中/

地5G已覆蓋的村比8地多的概率;

(2)該市2020年已建成的5G基站數(shù)y與月份x的數(shù)據(jù)如表:

x123456789101112

y283340428547701905115114231721210926013381

探究上表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，因年初受新冠疫情影響,5G基站建設(shè)進(jìn)度比較慢,隨著疫情得到有

效控制,5G基站建設(shè)進(jìn)度越來越快,根據(jù)散點(diǎn)圖分析，已建成的5G基站數(shù)呈現(xiàn)先慢后快的非

線性變化趨勢(shì),采用非線性回歸模型了=&//擬合比較合理,請(qǐng)結(jié)合參考數(shù)據(jù),求5G基站數(shù)y

關(guān)于月份x的回歸方程.(卜的值精確到0.01).

b

附：設(shè)"=/ny,貝I]Ui=/ny?(/=1,2.-?,12),y^l299.17%

12_12_12__

6.88,￡(x「x)=143,￡(x「x)(y「y)=3723&￡(xrx)(4-口)=32.42,

i=li=li=l

對(duì)于樣本(打匕),(/=1,2,-,/7)的線性回歸方程y=bx+a有

n__

-￡(x-x)(y--y)

Xd1AA

,i=l______________——

n__a=y-bx'

02

￡(Xi-x)

i=l

解：(1)用樣本估計(jì)總體，抽到/地5G覆蓋的村概率為卜抽至IJ8地5G覆蓋的村概率為1,

/地抽到的2個(gè)村中5G基站覆蓋的村個(gè)數(shù)為％

則才滿足二項(xiàng)分布B(2,看),P(X=i)=C；(/)《產(chǎn)；/=0,1,2；

8地抽到的2個(gè)村中5G基站覆蓋的村個(gè)數(shù)為匕

從A地和8地各隨機(jī)抽取2個(gè)村,這4個(gè)村中/地5G覆蓋的村比8地5G覆蓋的村多的概率

為：

p=p(/=Dp(r=o)+p(x=2)p(r=o)+p(x=2)。(丫=1)

=以償)管)/)2+/)2/)2+，2或(_1)號(hào))鼎.

(2)由指數(shù)模型1,bx,設(shè)"=/",則"=/">6x,則"與x是線性相關(guān)關(guān)系.

y-ae

2

.=1+2+3：+12=6.5,88,\(x：L-x)(ux-u)^32.42,￡(Xi-x)=143.

iZi=li=l

12__

-￡(x「x)(u「u)a

b^^-TT；------------給上?、0.23,1na^~「=6.88-0.23X6.5%5.39,

12__143u-bx

￡(x「x)2

i=l

：.u=5.39+0.23x,BPy=e539*023x.

21.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為6點(diǎn)(mJ)在拋物線C上，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

與到C的準(zhǔn)線的距離相等.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線C交于A,8兩點(diǎn),且與以焦點(diǎn)廠為圓心2為半徑的圓交于

M,〃兩點(diǎn)，點(diǎn)B,N在y軸右側(cè).

①證明：當(dāng)直線/與x軸不平行時(shí)，IM|4BN\；

②過點(diǎn)A,8分別作拋物線C的切線/?/2,/,與/?相交于點(diǎn)D,求△"I"與△Z?8/V的面積之積的

取值范圍.

fm2=2p

解：(1)由題意可得，/——-p,解得夕=4,

[Vl+m2=l+1-

所以拋物線C的方程為寸=8匕

(2)由(1)知，圓尸方程為：/+(y-2)2=1,

由已知可設(shè)/：且彳(M,乂)，8(%,必)，

1y=kx+2,,

由1<得8Ax-16=0,

xJ9=8y

=2222

設(shè)。(跖必)是拋物線C上任一點(diǎn),則|QFIi/xo+(yo-2)=^8y0+(y0-2)(y0+2)-

故拋物線與圓相離.

①證明：當(dāng)直線/與X軸不平行時(shí),有件0,

方法一：由拋物線定義知，|41|=%+2,|8尸|=%+2.

所以I|M|-|8川1=1(1/1/1-2)-(|明-2)|=||明-|明|=|必-%|=|(代+2)

2

-(kx?+2)|=|k||xl-x2\=\^\^(X1+X2)-4X1X2=

Iki-164k2-4X(-X)=8|k|7k2+l)。，

所以IM|豐|則

方法二：因?yàn)?M、N、8四點(diǎn)共線，限〃中點(diǎn)為尸(0,2),

若=則必有48中點(diǎn)與M、〃中點(diǎn)重合,即X,+X2=Q,

因?yàn)閤、+x2=8k*0,所以|M|于18M.

②由(1)知拋物線方程為y*x2.所以/4x.

o4

所以過點(diǎn)A的切線1］：y^x!=~'x?(x-x?即尸裝］x3x；.

同理可得,過點(diǎn)8的切線為?必二小

44oL

由A>4方程聯(lián)立，得*2丫一乂lynVxjxzexgxi，

解之,得/2=-2,

又得白（x2-x［）x==0,所以Xn=37A^=4k.D（4k,-2）至lj/：y=kx^2的距離

4乙，N乙，口2

」|4kXk-（-2）+2|

=