第19講三角形的中位線與多邊形內(nèi)角和與外角和目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1．理解三角形中位線概念；2．掌握三角形中位線的性質(zhì)定理，并能用其進(jìn)行計(jì)算和論證；3.能綜合運(yùn)用三角形以及其他特殊四邊行有關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算與證明．4.理解多邊形的概念；5.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；6.靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問(wèn)題，體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進(jìn)一步培養(yǎng)說(shuō)理和進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語(yǔ)言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE＝BC．【知識(shí)拓展】（2021秋?桓臺(tái)縣期末）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接ED，BD．若BD平分∠ABC，求證：BD⊥AC．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，BC＝2DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠EBD＝∠EDB，證明DE＝BE，進(jìn)而得出AB＝BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明即可．【解答】證明：∵D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE，∵AB＝2BE，∴AB＝2DE，∴AB＝BC，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】（2021秋?晉江市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，AB＝8，D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．2 D．2【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝2∠B，∴∠B＝30°，∴AC＝AB＝×8＝4，由勾股定理得：BC＝＝＝4；∵D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】（2021秋?廣饒縣期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)，若AC＝4，則AF＝（）A． B． C．1 D．【分析】取BF的中點(diǎn)H，連接DH，根據(jù)三角形中位線定理得到DH＝FC，DH∥AC，證明△AEF≌△DEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝DH，計(jì)算即可．【解答】解：取BF的中點(diǎn)H，連接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】（2021秋?芝罘區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分別是角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．4 D．【分析】延長(zhǎng)CF交AB于G，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)得到AG＝AC＝4，F(xiàn)G＝CF，進(jìn)而求出BG，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：延長(zhǎng)CF交AB于G，∵AD為△ABC的角平分線，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，F(xiàn)G＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE為△ABC的中線，∴EF是△BCG的中位線，∴EF＝BG＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】（2022春?玉林月考）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF＝BC，連接CD和EF．（1）求證DE＝CF；（2）求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）直接利用三角形中位線定理得出DE∥BC，DE＝BC，由CF＝BC，即可得到DE＝CF；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出DC＝EF，由等腰三角形的性質(zhì)得到CD⊥AB，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD即可得到EF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB，AC中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF；（2）解：由（1）知，DE∥BC，DE＝CF∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC＝EF，∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，在Rt△BCD中，∴DC＝EF＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，正確掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練5】（2021秋?桓臺(tái)縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長(zhǎng)；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中點(diǎn)P，利用三角形中位線定理可以求得EP、FP的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理來(lái)求EF的長(zhǎng)度；（2）如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP．用三角形中位線定理可以求得EP、FP的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP．∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）證明：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP．∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的逆定理，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02多邊形的對(duì)角線（1）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．（2）n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數(shù)）（3）對(duì)多邊形對(duì)角線條數(shù)公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對(duì)角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對(duì)角線條數(shù)時(shí)，直接代入邊數(shù)n的值計(jì)算，而計(jì)算邊數(shù)時(shí)，需利用方程思想，解方程求n．【知識(shí)拓展】（2021秋?成都期末）如圖所示，從八邊形ABCDEFGH的頂點(diǎn)A出發(fā)，最多可以作出的對(duì)角線條數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】利用n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線可得答案．【解答】解：從八邊邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引出該五邊形的對(duì)角線的條數(shù)是8﹣3＝5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握計(jì)算公式．【即學(xué)即練1】（2022?富平縣一模）過(guò)十邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，可以引出對(duì)角線的條數(shù)為7．【分析】n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線，由此可得出m的值．【解答】解：由題意得，10﹣3＝m＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的對(duì)角線的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線．【即學(xué)即練2】（2021秋?河源期末）如果一個(gè)n邊形過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)有8條對(duì)角線，那么n＝11．【分析】根據(jù)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作對(duì)角線的條數(shù)為（n﹣3），求出邊數(shù)即可得解．【解答】解：∵一個(gè)n邊形過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)有8條對(duì)角線，∴n﹣3＝8，解得n＝11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的對(duì)角線的公式，牢記公式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】（2021秋?蘇家屯區(qū)期末）如圖，以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的x個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，把原n邊形分割成若干個(gè)互不重疊的小三角形．（1）以三角形的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，把原三角形分割成3個(gè)互不重疊的小三角形；以三角形的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，把原三角形分割成5個(gè)互不重疊的小三角形；以三角形的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原三角形分割成7個(gè)互不重疊的小三角形；以三角形的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的x個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原三角形分割成（2x+1）個(gè)互不重疊的小三角形（用含x的代數(shù)式表示）．（2）以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原四邊形分割成4個(gè)互不重疊的小三角形；以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原四邊形分割成6個(gè)互不重疊的小三角形；以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原四邊形分割成8個(gè)互不重疊的小三角形；以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的x個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原四邊形分割成（2x+2）個(gè)互不重疊的小三角形（用含x的代數(shù)式表示）．（3）以五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的4個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原五邊形分割成11個(gè)互不重疊的小三角形；以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的x個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成（2x+n﹣2）個(gè)互不重疊的小三角形（用含n，x的代數(shù)式表示）．（4）以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的x個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，且x＝n（x，n均是整數(shù)），可把原n邊形分割成3034個(gè)互不重疊的小三角形．求這個(gè)n邊形的邊數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圖形得到規(guī)律可得答案；（2）類似于三角形的推理寫出規(guī)律整理即可得解；（3）根據(jù)規(guī)律，把相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)換成n、x整理即可得解；（4）把公式中的相應(yīng)的字母，換成具體的數(shù)據(jù)，然后計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）三角形內(nèi)部1個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成3個(gè)小三角形，3＝3+2（1﹣1），三角形內(nèi)部2個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成5個(gè)小三角形，5＝3+2（2﹣1），三角形內(nèi)部3個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成7個(gè)小三角形，7＝3+2（3﹣1），…，所以，三角形內(nèi)部有x個(gè)點(diǎn)時(shí)，3+2（x﹣1）＝2x+1，故答案為：7，（2x+1）；（2）四邊形內(nèi)部1個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成4個(gè)小三角形，4＝2+2×1四邊形內(nèi)部2個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成6個(gè)小三角形，6＝2+2×2，四邊形內(nèi)部3個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成8個(gè)小三角形，8＝2+2×3，…，所以，四邊形內(nèi)部有x個(gè)點(diǎn)時(shí)，分割成的小三角形個(gè)數(shù)為：2+2x，故答案為：8，（2x+2）；（3）如圖，以五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的4個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原五邊形分割成11個(gè)互不重疊的小三角形，以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的x個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成（2x+n﹣2）個(gè)互不重疊的小三角形，故答案為：11，（2x+n﹣2）；（4）由題意得，2x+n﹣2＝3034，即n+n﹣2＝3034，解得n＝2024．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的對(duì)角線，能根據(jù)圖形得到規(guī)律是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)03多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問(wèn)題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．【知識(shí)拓展】（2022?麻栗坡縣校級(jí)模擬）若正多邊形的一個(gè)外角等于45°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為（）A．1080° B．1260° C．1350° D．1440°【分析】先根據(jù)多邊形的外角和定理求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和．【解答】解：正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°＝8，即這個(gè)多邊形是正八邊形，所以該多邊形的內(nèi)角和為（8﹣2）×180°＝1080°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理及多邊形的內(nèi)角和公式，關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式：（n﹣2）?180（n≥3）且n為整數(shù)）．【即學(xué)即練1】（2022春?東臺(tái)市月考）已知：一個(gè)多邊形所有的內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和等于2011°．求：①求這個(gè)外角的度數(shù)；②求它的邊數(shù)．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，用2011°除以180°，商加上2就是這個(gè)多邊形的邊數(shù)，余數(shù)是這個(gè)多邊形的一個(gè)外角度數(shù)求解即可．【解答】解：①∵一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和等于2011°，2011°÷180°＝11…31°，∴這個(gè)外角的度數(shù)是31°；②∵一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和等于2011°，2011°÷180°＝11…31°，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：11+2＝13．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】（2022春?沭陽(yáng)縣月考）下列結(jié)論：①如果2x＝m，2y＝n，那么2x+y＝m+n；②在△ABC中，若∠A＝∠B+∠C，則△ABC為直角三角形；③10﹣2＝﹣0.01；④一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加180°；⑤任意一個(gè)三角形，三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．其中錯(cuò)誤結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、三角形內(nèi)角和定理、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、多邊形內(nèi)角和公式以及三角形的高線的概念進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①如果2x＝m，2y＝n，那么2x+y＝mn，故結(jié)論①錯(cuò)誤；②在△ABC中，若∠A＝∠B+∠C，則∠A＝90°，即△ABC為直角三角形，故結(jié)論②正確；③10﹣2＝0.01，故結(jié)論③錯(cuò)誤；④一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加180°，結(jié)論④正確；⑤任意一個(gè)三角形，三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，不這點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部，故結(jié)論⑤錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則、三角形內(nèi)角和定理、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、多邊形內(nèi)角和公式以及三角形的高線的概念．解題時(shí)注意：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【即學(xué)即練3】（2021秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）已知一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，結(jié)合圖形，試探索這兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是：∠1＝∠2．（2）如圖2，AB⊥DE，BC⊥EF．根據(jù)小學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的四邊形內(nèi)角和為360°可得∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是：∠1+∠2＝180°．（3）由（1）（2）你得出的結(jié)論是：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．（4）若兩個(gè)角的兩邊互相垂直，且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少40°，求這兩個(gè)角度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得解；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求解；（3）由（1）（2）即可得出的結(jié)論；（4）設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為α，則另一個(gè)角的度數(shù)為3α﹣40°，根據(jù)這兩角相等或互補(bǔ)即可求解．【解答】解：（1）如圖，∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，故答案為：∠1＝∠2；（2）∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠2+90°+90°＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故答案為：∠1+∠2＝180°；（3）一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故答案為：一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直；這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；（4）設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為α，則另一個(gè)角的度數(shù)為3α﹣40°，根據(jù)題意可得，α＝3α﹣40°或α+3α﹣40°＝180°，解得α＝20°或55°，當(dāng)α＝20°時(shí)，3α﹣40°＝20°，當(dāng)α＝55°時(shí)，3α﹣40°＝125°，∴這兩個(gè)角的度數(shù)為20°，20°或55°，125°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】（2021秋?泰州期末）【相關(guān)概念】將多邊形的內(nèi)角一邊反向延長(zhǎng)，與另一條邊相夾形成的那個(gè)角叫做多邊形的外角．如圖，將△ABC中∠ACB的邊CB反向延長(zhǎng)，與另一邊AC形成的∠ACD即為△ACB的一個(gè)外角．三角形外角和與三角形內(nèi)角和對(duì)應(yīng)，為與三個(gè)內(nèi)角分別相鄰的三個(gè)外角的和．【求解方法】借助一組內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可以求出三角形的外角和．如圖，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根據(jù)以上提示，完成下列問(wèn)題：（1）將下列表格補(bǔ)充完整．名稱圖形內(nèi)角和外角和三角形180°360°四邊形360°360°五邊形540°360°…………n邊形…180°（n﹣2）360°（2）如果一個(gè)八邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，請(qǐng)用兩種不同的方法求出這個(gè)八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°，n邊形的外角和為360°即可得出答案；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和360°即可得出答案．【解答】解：（1）內(nèi)角和分別為：四邊形內(nèi)角和是：（4﹣2）×180°＝360°，，五邊形內(nèi)角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n邊形內(nèi)角和是：180°（n﹣2）；外角和分別為：360°、360°、360°；故答案為：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；（2）這個(gè)八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°；n邊形的外角和為360°．能力拓展能力拓展一．選擇題（共2小題）1．（2019?南岸區(qū)自主招生）如圖，某校園內(nèi)有一池塘，為得到池塘邊的兩棵樹(shù)A，B間的距離，小亮測(cè)得了以下數(shù)據(jù)：∠A＝∠CDE，AD＝DC，DE＝10m，則A，B間的距離是（）A．10m B．15m C．20m D．25m【分析】根據(jù)已知條件求得DE是△OAB的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．【解答】解：∵∠A＝∠CDE，∴DE∥AB，∵AD＝DC，∴CE＝BE，∴DE是△CAB的中位線，∴AB＝2DE＝20m，答：A，B間的距離是20m，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用，正確理解定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）小明每走5米，順時(shí)針轉(zhuǎn)20°，則（）A．小明不會(huì)回到原點(diǎn) B．小明會(huì)回到原點(diǎn)，路程小于80m C．小明會(huì)回到原點(diǎn)，路程恰為90m D．小明會(huì)回到原點(diǎn)，路程大于120m【分析】先根據(jù)已知和多邊形的外角和求出組成的多邊形的邊數(shù)，再逐個(gè)求出即可．【解答】解：根據(jù)題意可知：組成的多邊形的邊數(shù)360°÷20°＝18，小明走的路程總和是18×5m＝90（m），所以小明會(huì)回到原點(diǎn)，路程恰為90m．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和定理，能熟記多邊形的外角和等于360°是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）3．（2016?岳麓區(qū)校級(jí)自主招生）某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示，為了美化環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形各頂點(diǎn)為圓心，2m長(zhǎng)為半徑的扇形區(qū)域（陰影部分）種上花草，那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是6πm2．【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到五邊形的內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，然后根據(jù)扇形的面積公式得到五個(gè)扇形的面積和＝＝6π．【解答】解：∵五邊形的內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴五個(gè)扇形的面積和＝＝6π，∴種上花草的扇形區(qū)域總面積6πm2．故答案為6πm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°．也考查了扇形的面積公式．4．（2021?大渡口區(qū)自主招生）已知一個(gè)多邊形每個(gè)外角都等于45°，則它的邊數(shù)是8．【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個(gè)外角都相等，且一個(gè)外角的度數(shù)為45°，由此即可求出答案．【解答】解：∵多邊形的外角和是360°，每個(gè)外角都等于45°，∴360÷45＝8，∴正多邊形的邊數(shù)為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：多邊形的外角和等于360°．5．（2018?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，CD⊥AB于D點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP．若點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，則DE的最小值是．【分析】延長(zhǎng)AB到F點(diǎn)，使DF＝AD，連接CF，作FH⊥BC于H，如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出FH＝BH＝，再證明DE為△AFP的中位線得到DE＝FP，利用垂線段最短，當(dāng)點(diǎn)P在H點(diǎn)的位置時(shí)，F(xiàn)P的值最小，于是得到DE的最小值為．【解答】解：延長(zhǎng)AB到F點(diǎn)，使DF＝AD，連接CF，作FH⊥BC于H，如圖，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴AC＝BC＝，∠ABC＝60°，在Rt△BCD中，BD＝BC＝，CD＝BD＝，在Rt△CDF中，DF＝CD＝×＝，∴BF＝1，在Rt△BFH中，BH＝，F(xiàn)H＝BH＝，∵DA＝DF，AE＝EP，∴DE為△AFP的中位線，∴DE＝FP，當(dāng)點(diǎn)P在H點(diǎn)的位置時(shí)，F(xiàn)P的值最小，∴DE的最小值為．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．6．（2019?達(dá)州自主招生）如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD＝BE＝12，則AC的長(zhǎng)等于9．【分析】過(guò)D點(diǎn)作DF∥BE，則DF＝BE，F(xiàn)為EC中點(diǎn)，在Rt△ADF中求出AF的長(zhǎng)度，根據(jù)已知條件易知G為AD中點(diǎn)，因此E為AF中點(diǎn)，則AC＝AF．【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DF∥BE，∵AD是△ABC的中線，AD⊥BE，∴F為EC中點(diǎn)，AD⊥DF，∵AD＝BE＝12，則DF＝6，AF＝＝＝6，∵BE是△ABC的角平分線，AD⊥BE，∴∠ABG＝∠DBG，∠AGB＝∠DGB＝90°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△DBG（ASA），∴AG＝DG，∴G為AD中點(diǎn)，∴E為AF中點(diǎn)，∴AC＝AF＝×6＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線和角平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2018?嶗山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在△A1B1C1中，已知A1B1＝28，B1C1＝16，A1C1＝20，依次連接△A1B1C1三邊中點(diǎn)，得△A2B2C2，再依次連接△A2B2C2的三邊中點(diǎn)得△A3B3C3…，則△A3B3C3的周長(zhǎng)為16．【分析】根據(jù)題意求出△A1B1C1的周長(zhǎng)，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：∵A1B1＝28，B1C1＝16．A1C1＝20，∴△A1B1C1的周長(zhǎng)為：28+16+20＝64，∵連接△A1B1C1三邊中點(diǎn)，得△A2B2C2，∴B2C2＝B1C1＝8，A2C2＝A1C1＝10，A2B2＝A1B1＝14，∴△A2B2C2的周長(zhǎng)＝8+10+14＝32，同理：△A3B3C3的周長(zhǎng)＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．8．（2018?青羊區(qū)校級(jí)自主招生）在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC邊上的高BD＝4，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC中點(diǎn)，連接EF，則EF的長(zhǎng)為2+或2﹣．【分析】在直角△ABD與直角△BCD中，利用勾股定理分別求得AD，CD的長(zhǎng)度，然后利用三角形中位線定理求得EF的長(zhǎng)度．【解答】解：在直角△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝8，BD＝4，則AD＝＝＝4．在直角△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝6，BD＝4，則CD＝＝＝2．如圖1，AC＝AD+CD＝4+2．∵E，F(xiàn)分別為線段AB，BC中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AC＝×（4+2）＝2+．如圖2，AC＝AD﹣CD＝4﹣2．∵E，F(xiàn)分別為線段AB，BC中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AC＝×（4﹣2）＝2﹣．綜上所述，EF的長(zhǎng)度是2+或2﹣．故答案是：2+或2﹣．【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形中位線定理和勾股定理，三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．三．解答題（共3小題）9．（2017?成都自主招生）如圖，△ABC中，過(guò)點(diǎn)A分別作∠ABC，∠ACB的外角的平分線的垂線AD，AE．D，E為垂足，求證：（1）ED∥BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【分析】（1）分別延長(zhǎng)AD、AE與直線BC交于點(diǎn)F、G，根據(jù)AD⊥BD，得到∠ADB＝∠FDB＝90°，再根據(jù)BD＝BD，∠ABD＝∠FBD，證得△ABD≌△FBD，進(jìn)而得到AD＝FD、AE＝EG，證得DE∥BC．（2）根據(jù)上題證得的△ABD≌△FBD，AB＝BF，同理AC＝CG，證得GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC，從而證得結(jié)論．【解答】證明：（1）分別延長(zhǎng)AD、AE與直線BC交于點(diǎn)F、G，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠FDB＝90°，∵BD＝BD，∠ABD＝∠FBD，∴△ABD≌△FBD∴AD＝FD，同理可得AE＝EG，∴DE∥BC；（2）由（1）知△ABD≌△FBD，∴AB＝BF，同理AC＝CG，∵DE＝FG∴GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+BC+AC）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理及三角形的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的利用中位線定理得到中位線與第三邊的位置或數(shù)量關(guān)系．10．（2017?天山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖所示，在△ABC中，BC＞AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)F．點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：EF∥BC；（2）若四邊形BDFE的面積為9，求△ABD的面積．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AF＝FD，根據(jù)三角形中位線定理證明；（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算．【解答】（1）證明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分線，∴AF＝FD，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EF∥BC；（2）解：∵AF＝FD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EF＝BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF＝S△ABD，∴S△AEF＝S四邊形BDFE＝3，∴△ABD的面積＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2020?浙江自主招生）在凸四邊形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)角為84°，求其余各角的度數(shù)．【分析】可設(shè)∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，分四種情況進(jìn)行討論，從而求解．【解答】解：設(shè)∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x＞0，則∠A＞∠B＞∠C＞∠D，∠C＝∠D+x，∠B＝∠D+2x，∠A＝∠D+3x，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝6x+4∠D＝360°，∴∠D+x＝90°．1、∠D＝84°時(shí)，x＝4°，∠A＝96°，∠B＝92°，∠C＝88°；2、∠C＝84°時(shí)，2x+4∠C＝360°，x＝12°，∠A＝108°，∠B＝96°，∠D＝72°；3、∠B＝84°時(shí)，﹣2x+4∠B＝360°，x＝﹣12°，∠A＝72°，∠C＝96°，∠D＝108°（舍去）；4、∠A＝84°，﹣6x+4∠A＝360°，x＝﹣4，∠D＝96°，∠C＝92°，∠B＝88°（舍去）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，四邊形內(nèi)角和等于360°，由于四個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)角為84°，不確定，故應(yīng)該分類討論．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共9小題）1．（2021秋?芙蓉區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是60°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．9 C．8 D．6【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計(jì)算即可．【解答】解：360°÷60°＝6，即正多邊形的邊數(shù)是6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°，正多邊形的每個(gè)外角都相等是解題的關(guān)鍵．2．（2021春?惠來(lái)縣期末）如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)A，B間的距離，在地面上確定點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)C，D，量得CD＝10m，則A，B之間的距離是（）A．5m B．10m C．20m D．40m【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，∴AB＝2CD＝20（m），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．（2021春?阿拉爾期末）如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC中點(diǎn)，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，則EF＝（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別為AC，BC中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AB＝×6＝3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?武城縣期末）一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是60°，則該正多邊形的內(nèi)角和是（）A．720° B．900° C．1085° D．1260°【分析】根據(jù)多邊形的邊數(shù)與多邊形的外角的個(gè)數(shù)相等，可求出該正多邊形的邊數(shù)，再由多邊形的內(nèi)角和公式求出其內(nèi)角和．【解答】解：該正多邊形的邊數(shù)為：360°÷60°＝6，該正多邊形的內(nèi)角和為：（6﹣2）×180°＝720°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，解答本題的關(guān)鍵是求出該正多邊形的邊數(shù)與熟記多邊形的內(nèi)角和公式．5．（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，則四邊形DBFE的周長(zhǎng)是（）A．13 B． C．17 D．19【分析】根據(jù)三角形的中位線和四邊形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，EF是△ABC的中位線，∴DE＝BF＝BC＝9＝，EF＝BD＝AB＝10＝5，∴四邊形DBFE的周長(zhǎng)為DE+BF+EF+BD＝9+10＝19，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?安溪縣期末）如圖，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，若AB＝10，CD＝6，則EF的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】連接CF并延長(zhǎng)，交AB于G，證明△DFC≌△BFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG＝CD＝6，CF＝FG，進(jìn)而求出AG，根據(jù)三角形中位線定理定理計(jì)算即可．【解答】解：連接CF并延長(zhǎng)，交AB于G，∵AB∥DC，∴∠D＝∠B，∵F為BD的中點(diǎn)，∴DF＝BF，在△DFC和△BFG中，，∴△DFC≌△BFG（ASA），∴BG＝CD＝6，CF＝FG，∴AG＝AB﹣BG＝4，∵CF＝FG，CE＝EA，∴EF＝AG＝×4＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于點(diǎn)D，F(xiàn)在BC上且BF＝2，連接AF，E為AF的中點(diǎn)，連接DE，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD＝DC，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位線，∴DE＝FC＝×4＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?余杭區(qū)月考）有一條長(zhǎng)方形紙帶，按如圖方式折疊，形成的銳角∠α的度數(shù)為（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：延長(zhǎng)CA至D點(diǎn)，如下圖所示：∵CD∥EB，∴∠1＝30°（兩直線平行，同位角相等），∵兩邊互相平行的紙帶按如圖所示的方式折疊，∴∠2＝∠α，∵∠2+∠α+∠1＝180°，∴2∠α+30°＝180°，∴∠α＝＝75°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．9．（2022春?鹽都區(qū)月考）下列說(shuō)法：①四邊形的四個(gè)外角的度數(shù)之比為4：3：2：1，則相應(yīng)的內(nèi)角之比為1：2：3：4；②若線段a、b、c，滿足b+c＞a，則以a、b、c為邊一定能組成三角形；③三角形的高至多有兩條在三角形外部；④在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，則△ABC是鈍角三角形；⑤圖形經(jīng)過(guò)平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段互相平行且相等；⑥多邊形的內(nèi)角中，至多有3個(gè)角是銳角．其中正確的有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①根據(jù)四邊形的外角和定理及內(nèi)角和定理分別求出各對(duì)應(yīng)角的度數(shù)即可解答；②根據(jù)三角形三邊判斷出②的正誤；③根據(jù)三角形的高線的定義可得③的正誤；④根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答即可；⑤根據(jù)平移的性質(zhì)得出；⑥根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷．【解答】解：①四邊形的四個(gè)外角的度數(shù)之比為4：3：2：1，則相應(yīng)的內(nèi)角之比為1：2：3：4；故正確；②若線段a、b、c，滿足b+c＞a＞|b﹣c|，則以a、b、c為邊不一定能組成三角形；故錯(cuò)誤；③三角形的高至多有兩條在三角形外部；故正確；④在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，則△ABC是銳角三角形，估錯(cuò)誤；⑤圖形經(jīng)過(guò)平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段互相平行（或在同一條直線上）且相等；故錯(cuò)誤；⑥多邊形的內(nèi)角中，至多有3個(gè)角是銳角，故正確；其中正確的有①③⑥，共3個(gè)；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題是多邊形的內(nèi)角和外角，比較復(fù)雜，涉及到多邊形及三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，涉及面較廣，但難易適中．二．填空題（共3小題）10．（2021秋?綠園區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，若BC＝6cm，則線段DE＝3cm．【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝×6＝3（cm），故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2022?江陰市校級(jí)模擬）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8；且內(nèi)角和是1080度．【分析】n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和為360°，根據(jù)題意列方程求解，即可得到邊數(shù)，進(jìn)而得出內(nèi)角和．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得（n﹣2）?180°＝3×360°，解得n＝8，∴內(nèi)角和為3×360°＝1080°，故答案為：8；1080．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系并構(gòu)建方程．12．（2022春?靖江市校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C＝260°，則∠P＝40°．【分析】利用四邊形內(nèi)角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝100°，然后由角平分線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義求得∠PAB+∠ABP的度數(shù)，所以根據(jù)△ABP的內(nèi)角和定理求得∠P的度數(shù)即可．【解答】解：如圖，∵∠D+∠C＝260°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝100°，又∵∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝90°+×100°＝140°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、多邊形的內(nèi)角與外角．熟知“四邊形的內(nèi)角和是360°”是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）13．（2021秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．求證：BD＝2EF．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝ED，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論．【解答】證明：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED，∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF是△CDB的中位線，∴BD＝2EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．（2021春?東寶區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CE平分∠ACB，AE⊥CE于點(diǎn)E．（1）求證：DE∥BC；（2）若AC＝5，BC＝7，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)CE平分∠ACB，AE⊥CE，運(yùn)用ASA易證明△ACE≌△FCE．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得AE＝EF，CF＝AC，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的中位線定理就可求解．【解答】解：（1）延長(zhǎng)AE交BC于F，∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于點(diǎn)E，∴∠ACE＝∠FCE，∠AEC＝∠FEC＝90°，在△ACE和△FCE中，，∴△ACE≌△FCE．∴AE＝EF，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴DE是△ABF的中位線．∴DE∥BC；（2）∵△ACE≌△FCE，∴CF＝AC＝5，∵DE是△ABF的中位線．∴DE＝BF＝（BC﹣AC）＝（7﹣5）＝1，故DE的長(zhǎng)為1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?朝天區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，∠BCD的平分線CE交AB于點(diǎn)E．（1）若∠B＝∠BCD，則∠B＝60°；（2）若CE∥AD，求∠B的大?。痉治觥浚?）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°解決問(wèn)題；（2）由CE//AD推出∠DCE+∠D＝180°，所以∠DCE＝40°，根據(jù)CE平分∠BCD，推出∠BCD＝80°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°求出∠B度數(shù)；【解答】解：（1）∵∠A＝100°，∠D＝140°，∠B＝∠BCD，∴．故答案為：60；（2）∵CE∥AD，∴∠DCE+∠D＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠D＝180°﹣140°＝40°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠DCE＝80°，∴∠B＝360°﹣（100°+140°+80°）＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角以及平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用多邊形內(nèi)角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋?嵐皋縣期末）一個(gè)多邊形的外角和是它的內(nèi)角和的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和．【分析】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意得，解得可得多邊形的邊數(shù)，再計(jì)算內(nèi)角和即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意，得，解得n＝11．故這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是（11﹣2）×180°＝1620°，∴這個(gè)多邊形是十一邊形，其內(nèi)角和為1620°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，掌握n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，多邊形的外角和是360°是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?辛集市期末）探究歸納題：（1）試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；同樣，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；經(jīng)過(guò)C點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；經(jīng)過(guò)D點(diǎn)可以做1條對(duì)角線．通過(guò)以上分析和總結(jié)，圖1共有2條對(duì)角線（2）拓展延伸：運(yùn)用1的分析方法，可得：圖2共有5條對(duì)角線；圖3共有9條對(duì)角線；（3）探索歸納：對(duì)于n邊形（n＞3），共有條對(duì)角線．（用含n的式子表示）（4）特例驗(yàn)證：十邊形有35對(duì)角線．【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線的定義，可得答案；（2）根據(jù)對(duì)角線的定義，可得答案；（3）根據(jù)探索，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（4）根據(jù)對(duì)角線的公式，可得答案．【解答】解：經(jīng)過(guò)A點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；同樣，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)可以做1條；經(jīng)過(guò)C點(diǎn)可以做1條；經(jīng)過(guò)D點(diǎn)可以做1條對(duì)角線．通過(guò)以上分析和總結(jié)，圖1共有2條對(duì)角線．（2）拓展延伸：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2共有5條對(duì)角線；圖3共有9條對(duì)角線；（3）探索歸納：對(duì)于n邊形（n＞3），共有條對(duì)角線．（4）特例驗(yàn)證：十邊形有＝35對(duì)角線．故答案為：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的對(duì)角線，發(fā)現(xiàn)多邊形對(duì)角線公式是解題關(guān)鍵．題組B能力提升練一．選擇題（共8小題）1．（2022?官渡區(qū)校級(jí)模擬）小甘為測(cè)量池塘邊A，B兩點(diǎn)的距離，在線段AB側(cè)選取一點(diǎn)P，連接PA并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，連接PB并延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使得AM＝PA，BN＝PB，如圖．若測(cè)得MN＝8米，則點(diǎn)A，B的距離為（）A．16米 B．6米 C．4米 D．2米【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵AM＝PA，BN＝PB，∴AB是△PMN的中位線，∵M(jìn)N＝8米，∴AB＝MN＝4米，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?孟津縣期末）如圖所示，已知四邊形ABCD，R、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，且點(diǎn)R從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減少 C．線段EF的長(zhǎng)不變 D．△ABP和△CRP的面積和不變【分析】連接AR，根據(jù)三角形的中位線定理可得EF＝AR，根據(jù)AR的變化情況即可判斷．【解答】解：連接AR，∵E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點(diǎn)，∴EF＝AR，∵當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)R從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)，AR的長(zhǎng)度逐漸增大，∴線段EF的長(zhǎng)逐漸增大．S△ABP+S△CRP＝BC?（AB+CR）．∵CR隨著點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)而減小，∴△ABP和△CRP的面積和逐漸減?。^察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．3．（2021秋?東莞市校級(jí)期末）如圖，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AE是∠BAC的外角平分線，ED∥AB交AC于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】連接EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，即可判斷①；求出∠FAE＝∠B，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出AE∥BC，即可判斷②；求出四邊形ABDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE＝BD，求出AE＝CD，根據(jù)矩形的判定推出四邊形ADCE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，求出DG＝AG＝CG＝EG，根據(jù)勾股定理判斷④即可；根據(jù)AE＝BD＝BC和AG＝AC判斷③即可．【解答】解：連接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，故①正確；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠FAC，∴∠FAC＝2∠FAE，∵∠FAC＝∠B+∠ACB，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BC，故②正確；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴∠DAE＝90°，故④正確；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE錯(cuò)誤（已知沒(méi)有條件AC＝BC），故③錯(cuò)誤；即正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4．（2021秋?淅川縣期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的可能為（）A．2 B．5 C．7 D．9【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF＝DN，從而可知DN最大時(shí)，EF最大，因?yàn)镹與B重合時(shí)DN最大，N與A重合時(shí)，DN最小，從而求得EF的最大值為6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：連接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大時(shí)，EF最大，DN最小時(shí)，EF最小，∵N與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值為6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF長(zhǎng)度的可能為5；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?寧津縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（）A．180° B．240° C．360° D．540°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角與外角、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，由三角形外角性質(zhì)可知：∠1＝∠F+∠B，∠2＝∠A+∠E，∴在四邊形ADCG中，由四邊形內(nèi)角和可知：∠D+∠C+∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角、三角形外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)．6．（2021秋?銅官區(qū)期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分別是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（）A．180° B．210° C．240° D．270°【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到以點(diǎn)A、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的五邊形的兩個(gè)外角的度數(shù)之和等于180°，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：反向延長(zhǎng)AB，DC，∵AB∥ED，∴∠4+∠5＝180°，根據(jù)多邊形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，是基礎(chǔ)題，理清求解思路是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?新羅區(qū)期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABDE的外部時(shí)，此時(shí)測(cè)得∠1＝106°，∠C＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．36° C．37° D．38°【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠C′＝∠C＝35°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝71°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．【解答】解：如圖，設(shè)C′D與AC交于點(diǎn)O，∵∠C＝35°，∴∠C′＝∠C＝35°，∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝106°，∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝106°﹣35°＝71°，∵∠DOC＝∠2+∠C′，∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的內(nèi)角和定理及三角形的外角定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?聊城期末）如圖，圖①是四邊形紙條ABCD，其中AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB、CD上的兩個(gè)點(diǎn)，將紙條ABCD沿EF折疊得到圖②，再將圖②沿DF折疊得到圖③，若在圖③中，∠FEM＝24°，則∠EFC為（）A．48° B．72° C．108° D．132°【分析】先由折疊得：∠BEF＝∠FEM＝24°，由平行線的性質(zhì)得∠EFM＝24°，如圖③中，根據(jù)折疊和平行線的性質(zhì)得，∠MFC＝132°，根據(jù)角的差可得結(jié)論．【解答】解：如圖②，由折疊得：∠B'EF＝∠FEM＝24°，∵AE∥DF，∴∠EFM＝24°，∠BMF＝∠DME＝48°，∵BM∥CF，∴∠CFM+∠BMF＝180°，∴∠CFM＝180°﹣48°＝132°，由折疊得：如圖③，∠MFC＝132°，∴∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝132°﹣24°＝108°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行線和翻折變換的性質(zhì)得出相等的角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是各邊的中點(diǎn)，若△ABC的面積為16cm2，則△DEF的面積是4cm2．【分析】根據(jù)三角形中位線定理證得DF∥BE，DF＝BE，推出四邊形BEFD是平行四邊形，進(jìn)而證得△BDE≌△FED，同理證得△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，即可求出△DEF的面積．【解答】解：∵點(diǎn)D、F分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DF∥BE，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝BC，∴DF＝BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴BD＝EF，在△BDE和△FED中，，∴△BDE≌△FED（SSS），同理可證△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2021秋?海口期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（5，0），點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別是（3，4）、（4，2）．【分析】由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求得線段BC＝6；然后根據(jù)三角形中位線定理推知DE∥BC，且DE＝BC，易得點(diǎn)E的坐標(biāo)；最后利用直線AB與直線AC交點(diǎn)的求法得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（5，0），∴BC＝6．∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，且DE＝BC＝3．又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）．設(shè)直線AB表達(dá)式為：y＝kx+b（k≠0），把點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別代入，得．解得．故直線AB的表達(dá)式為y＝x+1．同理，直線AC的表達(dá)為：y＝﹣2x+10．所以．解得．故A（3，4）．故答案是：（3，4）、（4，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意推知DE∥BC，且DE＝BC．11．（2021秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，在DE上有一點(diǎn)F，EF＝1cm，連接AF，CF，若AF⊥CF，則AB＝8cm．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，進(jìn)而求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△AFC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AC＝6cm，∴DF＝AC＝×6＝3（cm），∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案為：8cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?嘉魚縣期末）如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360度．【分析】分析圖形，根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”可知能把∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6全部轉(zhuǎn)化到∠1，∠6所在的四邊形中，利用四邊形內(nèi)角和為360度可得答案．【解答】解：如圖所示，∵∠2+∠4＝∠7，∠3+∠5＝∠8，又∵∠1+∠6+∠7+∠8＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，故答案為：360．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系及四邊形內(nèi)角和定理，（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；（2）四邊形內(nèi)角和為360°．13．（2021秋?涼山州期末）如圖，小華從點(diǎn)A出發(fā)向前走10m，向右轉(zhuǎn)15°，然后繼續(xù)向前走10m，再向右轉(zhuǎn)15°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，當(dāng)他第一次回到點(diǎn)A時(shí)共走了240m．【分析】外角相同，邊長(zhǎng)相同，那么此幾何體為正多邊形，共走的米數(shù)＝10×邊數(shù)．【解答】解：易得此幾何體為正多邊形，每個(gè)外角為15°，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為360°÷15＝24，∴當(dāng)他第一次回到點(diǎn)A時(shí)共走了24×10＝240m．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是得到小華所走的圖形的形狀；正多邊形的邊數(shù)等于360÷正多邊形的一個(gè)外角度數(shù)．三．解答題（共4小題）14．（2021秋?桓臺(tái)縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長(zhǎng)；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中點(diǎn)P，利用三角形中位線定理可以求得EP、FP的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理來(lái)求EF的長(zhǎng)度；（2）如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP．用三角形中位線定理可以求得EP、FP的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP．∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）證明：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP．∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的逆定理，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?萊州市期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝BD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF分別交BD、AC于點(diǎn)G、H．求證：OG＝OH．【分析】取BC邊的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，則根據(jù)三角形的中位線定理，即可證得△EMF是等腰三角形，根據(jù)等邊對(duì)等角，即可證得∠MEF＝∠MFE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠OGH＝∠OHG，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得．【解答】解：取BC邊的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，∵M(jìn)、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴MF∥BD，MF＝BD，同理：ME∥AC，ME＝AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵M(jìn)F∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，正確證明△EMF是等腰三角形是關(guān)鍵．16．（2021秋?潛江期末）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖2，已知：∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，則∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°．（橫線上填＜、＝或＞）初步應(yīng)用：（2）如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案：∠P＝90°﹣∠A．解決問(wèn)題：（3）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠BAD、∠CDA的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，兩式相加可得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結(jié)論：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；（3）根據(jù)平角的定義得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分線得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，故答案為：＝；（2）∠P＝90°﹣∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴∠P＝180°﹣（180°+∠A），＝90°﹣∠A．故答案為：90°﹣∠A，（3）∠P＝180°﹣（∠BAD+∠CDA），理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），∵四邊形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠BAD+∠CDA），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），∴∠P＝×[360°﹣（∠BAD+∠CDA）]＝180°﹣（∠BAD+∠CDA）．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形和三角形的綜合問(wèn)題，考查了三角形和四邊形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，難度適中，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是關(guān)鍵．17．（2021秋?臨江市期末）我們探究過(guò)三角形內(nèi)角和等于180°，四邊形內(nèi)角和等于360°，請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：（1）如圖1，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，則∠AOB+∠COD＝180°（直接寫出結(jié)果）；（2）連接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線；①如圖2，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度數(shù)為70°（直接寫出結(jié)果）；②如圖3，若∠AOD＝∠BOC，AB與CD平行嗎？請(qǐng)寫出理由．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和解答即可；（2）①由四邊形的內(nèi)角和為360°以及角平分線的定義可得∠AOB+∠COD＝180°，據(jù)此解答即可；②由①得∠AOB+∠COD＝180°，從而得出∴∠ADO+∠BOD＝180°，可得∠AOD＝∠BOC＝90°，進(jìn)而得出∠DAB+∠ADC＝180°，可得AB∥CD．【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．故答案為：180°；（2）①∵AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線，∴∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，∠OCD＝∠BCD，∠ODC＝∠ADC，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∵∠AOB＝110°，∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．故答案為：70°；②AB∥CD，理由如下：∵AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線，∴∠OAB＝∠DAB，∠OBA＝∠CBA，∠OCD＝∠BCD，∠ODC＝∠ADC，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°．在∠AOD中，∠DAO+∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，∵∠DAO＝∠DAB，∠ADO＝∠ADC，∴∠DAB+∠ADC＝90°，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握角平分線的性質(zhì)和等量代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練一．選擇題（共1小題）1．（2021春?西安期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AD，AD交BC于點(diǎn)G，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，作∠BCA的平分線CF交AD于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)F，若∠B＝60°，下列結(jié)論：①∠PCD＝30°；②∠AFC+∠DCG＝90°；③BG＝AE；④AC＝AF+CG；⑤S△APF+S△CPG＝S△APC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于H，證明△ACH為等腰三角形，得出CD＝DH，由DE∥AH得出AE＝CE，由平行線的性質(zhì)和角平分線證出AE＝DE，連接HP，HG，由AD垂直平分CH得到HG＝CG，HP＝CP，AH＝AC，∠FPH＝∠CBF，CP＝HP，利用等角對(duì)等角且外角的性質(zhì)，證出∠CBF＝2∠PCD＝60°，①正確；證明∠CGD＝∠AFC，可得②正確；求出∠CPD與∠HPD的度數(shù)，證明△HFP≌△HGP，得到HF＝GH＝CG，F(xiàn)P＝GP，④正確；得出CG+AF＝HF+AF＝AH＝AC，由三角形面積公式得出⑤正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：方法一：延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于H，連接HP、HG，∵AD⊥CH，∴∠ADC＝∠ADH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠HAD＝∠CAD，∴∠AHC＝∠ACH，∴AH＝AC，∴△ACH為等腰三角形，∴CD＝CH，∵DE∥AB，∴AE＝CE，∠ADE＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴AE＝DE＝CE，∵CD⊥AD，CD＝CH，∴AD為HC的垂直平分線，∴∠AHP＝∠ACP，PC＝PH，∵∠BCA的平分線CF交AD于點(diǎn)P，∴∠ACP＝∠BCF，∴∠AHP＝∠BCF，∵∠CFH為公共角，∴∠FPH＝∠CBF，∵PC＝PH，∴∠FPH＝∠PCD+∠PHD＝2∠PCD，∴∠CBF＝2∠PCD＝60°，∴∠PCD＝30°，故①正確，方法二：∵AD平分∠BAC，CF平分∠BCA，∴∠APC＝90°+∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠CPD＝60°，∵CD⊥AD，∴∠PCD＝30°，故①正確，∵∠CGD＝∠GCP+∠CPG＝∠GCP+60°，∠AFC＝∠GCP+∠FBC＝∠GCP+60°，∴∠AFC＝∠CGD，∵∠CGD+∠GCD＝90°，∴∠AFC+∠GCD＝90°，故②正確，∵AE＝DE＝EC＝AH，無(wú)法判斷BG＝AH，故③錯(cuò)誤，∵∠PCD＝30°＝∠PHD，∵CF為∠ACB的平分線，∴HP為∠FHG的平分線，在△HFP和△HGP中，，∴△HFP≌△HGP（ASA），∴HG＝HF＝CG，F(xiàn)P＝GP，∴AF+CG＝AF+HF＝AH＝AC，故④正確．作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q，∴PM＝PN＝PQ，∵S△APF＝AF×PM，S△CPG＝CG×PQ，S△APC＝AC×PN，∴S△APF+S△CPG＝S△APC，故⑤正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線分相等成比例定理，三角形的全等與相似等，能夠正確找到相似三角形和全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）2．（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A為等邊三角形BCD外一點(diǎn)，連接AB、AD且AB＝AD，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD分別交