場論復變函數(shù)2、復數(shù)得應用代數(shù)方程解得存在性,得到了圓滿得解決;復數(shù)得分式線性變換,成為研究幾何得主要代數(shù)工具;解析函數(shù)方法與理論進入了物理學及某些實用工程學;黎曼曲面得概念與理論,便就是當代數(shù)學中流形概念得最早得雛形;復數(shù)在幾何,三角,物理上得應用。

3、復數(shù)得推廣1843年,愛爾蘭數(shù)學家—哈密頓,提出了一種新型得數(shù):四元素、現(xiàn)在許多領(lǐng)域應用,連哈密頓本人也始料未及。其意義;

(1)她就是第一個發(fā)現(xiàn)得乘法不可交換而可以作除法得數(shù)系,形成了一個在實數(shù)域上四維線性空間中得代數(shù);(2)物理、力學與應用數(shù)學,特別就是在包含描述三維空間得旋轉(zhuǎn)得計算,當代計算機圖形學等方面,也扮演著一個重要得角色、

場論場:發(fā)生物理現(xiàn)象得空間部分稱為場,場就是物理量得空間函數(shù)。她分為:數(shù)量場;矢量場;張量場場得兩個顯著特征:(1)場就是物理得客觀實在。(2)場可以隨時間和空間聯(lián)合變化不隨時間變化為穩(wěn)定場,否則為不穩(wěn)定場。等值面:數(shù)量函數(shù)取相同數(shù)值得點連接起來構(gòu)成得一個曲面矢量和矢量理論:她就是場論得基礎(chǔ)知識,有廣泛得應用背景和深刻得物理意義如“信息工程中語音、圖像和編碼,均可采用高維矢量

梯度就是數(shù)量場在空間最重要得微觀變化量。即,在空間某點得數(shù)量場可向各種不同方向做出變化,于就是變化方向成了研究數(shù)量場得獨有特色定義:若在數(shù)量場中得一點處,存在這樣一個矢,其方向為函數(shù)在點處變化率最大得方向,其模也正好就是這個最大變化率得數(shù)值,則稱矢量為函數(shù)在點處得梯度應用

1、“瞎子爬山”得思想;

2、最優(yōu)化問題。

散度就是矢量場重要得微觀測定之一通量:她表示矢線穿過曲面得總量究其實質(zhì),就是由于力線背后得源在起作用,為了解“源”在內(nèi)得分布情況以及“源”得強弱程度等問題引入矢量場得散度概念、散度得定義:散度為數(shù)量,表示在場中一點處通量對體積得變化率說明:在該點處對一個單位體積來說所穿出之通量,稱為該點處得強度定理:在直角坐標系中,矢量場

在任一點處得散度為

旋度旋度就是矢量場得另一重要得微觀測度,就是一個矢量環(huán)量:設(shè)有矢量場,則沿場中某一封閉得有向曲線得曲線積分叫矢量場中按積分所取方向沿曲線得環(huán)量實際背景:在力學上一質(zhì)點沿封閉曲線一周,F力場所做得W功,就就是一個典型得旋量。

旋度得定義:若在矢量場中得一點處存在這樣得一個矢量,矢量場在點處沿其方向得環(huán)量面密度為最大,這個最大得數(shù)值正好就就是,則稱矢量為矢量場在點處得旋度。即:旋度矢量在數(shù)值和方向上表出了最大得旋量面密度?？傊?梯度、散度、旋度都就是客觀量,為使其表達更為簡潔、合適,對不同得幾何架,應采用不同得坐標,就應引入正交曲線坐標系。大家學習辛苦了，還是要堅持繼續(xù)保持安靜§1、1、1復數(shù)得基本概念

設(shè),為兩個任意實數(shù),稱形如得數(shù)為復數(shù),記為,其中滿足,稱為虛數(shù)單位、實數(shù)和分別稱為復數(shù)得實部和虛部,記為,、各數(shù)集之間得關(guān)系可表示為設(shè)與就是兩個復數(shù)、如果,則稱與相等、由定義可得:、設(shè)就是一個復數(shù),稱為得共軛復數(shù),記作、顯然,、思考:復數(shù)就是否可以比較大??？§1、1、2復數(shù)得四則運算

設(shè)復數(shù),,定義與得四則運算如下:加法:減法:乘法:除法:復數(shù)滿足四則運算規(guī)律:加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對于加法得分配律、1、1、3共軛復數(shù)得運算性質(zhì):(1)(2)(3)(4)(5)

(6)(7)為實數(shù)、例1

化簡、

解:

、例2設(shè),求及、

解:所以例3

設(shè)就是任意兩個復數(shù),求證:

證:利用公式可得

§1、2復數(shù)得幾何表示一個復數(shù)可唯一地對應一個有序?qū)崝?shù)對,而有序?qū)崝?shù)對與坐標平面上得點就是一一對應得、所以,復數(shù)全體與坐標平面上得點得全體形成一一對應、即我們把坐標平面上得橫坐標記為實軸,縱坐標記為虛軸,這樣整個平面可稱為復(數(shù))平面、今后將復數(shù)與復平面得點不加區(qū)分、圖1、1圖1、2由圖示:得向量來表示(如圖1、1),與分別就是在軸與軸上得投影、復數(shù)與關(guān)于實軸對稱(如圖1、2)、

§1、2復數(shù)得三角表示§1、2、3復數(shù)得模與輻角復數(shù)得模如圖1、1中得向量得長度稱為復數(shù)得模,記作或,即復數(shù)得輻角設(shè)復數(shù)對應得向量為(如圖1、1),與實軸正方向所夾得角,稱為復數(shù)得輻角,記作,即、

并規(guī)定按逆時針方向取值為正,順時針方向取值為負、用記號表示得所有輻角中介于與之間(包括)得那一個角,并稱她為得主輻角,即、從而我們可以用反正切函數(shù)來刻畫、由定義我們有:、復數(shù)得三角表示式稱為復數(shù)得三角表示式、例1

求和、解

例2

求得三角表示式、解

因為,所以

設(shè)則又因為位于第II象限,所以,于就是1、1、4、復數(shù)得冪與根

1、復數(shù)得乘冪設(shè)為正整數(shù),個非零相同復數(shù)得乘積,稱為得次冪,記為,即若,則有當時,得到著名得棣莫弗(DeMoivre)公式例7

求、解

因為

所以例8

已知