第1章集合與邏輯1.1.1第1課時(shí)集合與元素課標(biāo)要求1.通過(guò)實(shí)例,理解集合的含義,理解元素與集合的歸屬關(guān)系.2.理解集合基本屬性.3.在具體情境中,理解空集的含義.4.掌握集合的分類,熟練記憶常用數(shù)集的符號(hào).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一集合與元素1.集合的概念在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中,把一些對(duì)象放在一起考慮時(shí),就說(shuō)這些對(duì)象組成了一個(gè)集合或者集.給這些對(duì)象的總的名稱,就是這個(gè)集合的名字.這些對(duì)象中的每一個(gè),都叫作這個(gè)集合的一個(gè)元素.2.元素與集合的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的歸屬關(guān)系屬于S是一個(gè)集合,a是S的一個(gè)元素

不屬于a不是S的元素

(或a

S,a?S)

a∈Sa屬于Sa?Sa不屬于S名師點(diǎn)睛集合概念的理解(1)整體性:集合是一個(gè)整體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對(duì)象一旦組成了集合,這個(gè)集合就是這些對(duì)象的總體.(2)廣泛性:組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式,也可以是人或物等,即對(duì)象形式多樣.過(guò)關(guān)自診1.集合M是由大于-2,且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的,則下列關(guān)系式正確的是(

)D2.設(shè)集合M表示“1~10之間的所有質(zhì)數(shù)”.請(qǐng)問(wèn)3和8與集合M之間有何關(guān)系?提示

3是集合M中的元素,即3屬于集合M,記作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不屬于集合M,記作8?M.知識(shí)點(diǎn)二集合中元素的基本屬性1.互異性:同一集合中的元素是互不相同的.2.確定性:集合中的元素是確定的.3.無(wú)序性:集合中的元素沒(méi)有順序.名師點(diǎn)睛對(duì)集合中元素的基本屬性的理解(1)確定性是集合中元素的基本特征,沒(méi)有確定性就不能成為集合.例如“課本中的難題”“聰明的孩子”,其中“難題”“聰明”因界定的標(biāo)準(zhǔn)模糊,故都不能組成集合.(2)互異性是判斷能否組成集合的另一標(biāo)準(zhǔn),也是最容易被忽視的屬性.過(guò)關(guān)自診1.判斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合:(1)不超過(guò)36的非負(fù)數(shù);(2)方程x2-10=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解;(3)某校2023年在校的所有成績(jī)好的同學(xué);(4)π的近似值的全體.解

(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)36的非負(fù)數(shù)”,所以能構(gòu)成集合.(2)能構(gòu)成集合.(3)“成績(jī)好”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn),因此不能構(gòu)成一個(gè)集合.(4)“π的近似值”不明確精確到什么程度,因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“3”是不是它的近似值,所以不能構(gòu)成集合.2.已知集合A含有兩個(gè)元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,試求實(shí)數(shù)a的值.解

因?yàn)?3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,則a=0,此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,則a=-1,此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素-4,-3,符合要求.綜上所述,滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或-1.知識(shí)點(diǎn)三常見(jiàn)數(shù)集及其表示名稱自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)

NZQR過(guò)關(guān)自診用符號(hào)“∈”或“?”填空.∈?∈?∈知識(shí)點(diǎn)四集合的分類1.有限集:元素個(gè)數(shù)

的集合.

2.無(wú)限集:元素

的集合.

3.空集:沒(méi)有元素的集合叫空集,記作

;空集也是有限集.

過(guò)關(guān)自診方程5x2+2=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解能構(gòu)成集合嗎?若能構(gòu)成集合,集合中元素個(gè)數(shù)為多少?有限無(wú)限多?提示

該方程的實(shí)數(shù)解能構(gòu)成一個(gè)集合,該集合中不含任何元素,因此集合中元素個(gè)數(shù)為0,即為空集.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一集合中元素的確定性

解

(1)能,因?yàn)槟嘘?duì)員是確定的.(2)能,因?yàn)閤2-1=0的所有實(shí)根為-1,1,滿足集合中元素的確定性.(3)不能,“近似值”無(wú)明確標(biāo)準(zhǔn),故構(gòu)不成集合.(4)能,因?yàn)榇笥?的整數(shù)是確定的.規(guī)律方法

集合的判定方法集合中的元素是確定的,即對(duì)任何一個(gè)對(duì)象,我們都能判斷它是或不是某個(gè)集合中的元素,并且兩者必居其一,因此它是判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).若這組對(duì)象是明確的、具體的,則它們可以構(gòu)成一個(gè)集合;若是模棱兩可的,則不能構(gòu)成一個(gè)集合.變式訓(xùn)練1下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是(

)A.某教室內(nèi)的全部桌子B.2024年高考數(shù)學(xué)難題C.所有有理數(shù)D.小于π的正整數(shù)B解析

“某教室內(nèi)的全部桌子”屬于確定的概念,故能構(gòu)成集合;由于“難題”屬于不確定的概念,因此“2024年高考數(shù)學(xué)難題”不能構(gòu)成集合;由于任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù),故能構(gòu)成集合;小于π的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.故選B.探究點(diǎn)二集合中元素的互異性【例2】

已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2,若a∈A,求實(shí)數(shù)a的值.解

由題意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,則a2=1,這與a2≠1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,則a=0或a=1(舍去),又當(dāng)a=0時(shí),A中含有元素1和0,滿足集合中元素的互異性,符合題意.綜上可知,實(shí)數(shù)a的值為0.變式探究(1)本例若去掉條件“a∈A”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a滿足的條件.(2)已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2,若1∈A,求實(shí)數(shù)a的值.解

(1)由集合中元素的互異性可知a2≠1,即a≠±1.(2)若1∈A,則a=1或a2=1,即a=±1.當(dāng)a=1時(shí),集合A有重復(fù)元素,所以a≠1;當(dāng)a=-1時(shí),集合A含有兩個(gè)元素1,-1,滿足集合中元素的互異性,所以a=-1.規(guī)律方法

集合中元素的互異性同一集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入同一個(gè)集合時(shí),只能寫一次,算作集合中的一個(gè)元素.探究點(diǎn)三元素與集合的關(guān)系【例3】

已知-3是由x-2,2x2+5x,12三個(gè)元素構(gòu)成的集合中的元素,求x的值.解

由題意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.當(dāng)x-2=-3時(shí),x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三個(gè)元素分別為-3,-3,12,不滿足集合中元素的互異性,故x≠-1;規(guī)律方法

解決元素與集合的關(guān)系問(wèn)題的通法:根據(jù)元素的確定性建立分類討論的標(biāo)準(zhǔn),求得參數(shù)的值,然后將參數(shù)值代入,檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性.變式訓(xùn)練2用符號(hào)“∈”和“?”填空.∈∈?學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12341.已知1,x,x2三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合,則x滿足的條件是(

)A.x≠0 B.x≠1C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1D12342.用符號(hào)∈或?填空.(3)設(shè)集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合,則3

C,5

C;(4)設(shè)集合D是滿足方程y=x2的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)構(gòu)成的集合,則-1

D,(-1,1)

D.

??∈?∈?∈?∈1234解析

(1)依次應(yīng)填?,?,∈.

(3)由于n是正整數(shù),所以n2+1≠3.而當(dāng)n=2時(shí),n2+1=5,所以依次應(yīng)填?,∈.(4)由于集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),而-1是數(shù),所以-1?D.又(-1)2=1,所以依次應(yīng)填?,∈.12343.下列對(duì)象構(gòu)成的集合是空集的是

.(填序號(hào))

①小于1的自然數(shù);②2米高的人;③方程x2-x+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集.③解析

因?yàn)榉匠蘹2-x+1=0的判別式Δ=1-4<0,所以方程無(wú)解,即解集為空集.而小于1的自然數(shù)為0,2米高的人也存在,所以①②都不是空集.1234