第十四章整式的乘法與因式分解14.2乘法公式14.2.1平方差公式一、教學(xué)目標(biāo)1.了解并掌握平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征.實(shí)際問題.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.三、教學(xué)過程2.理解平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算和解決【新課導(dǎo)入】[復(fù)習(xí)導(dǎo)入]多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.符號(hào)表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq（a，b，p，q分別是單項(xiàng)式）.學(xué)生積極思考，教師帶領(lǐng)復(fù)習(xí)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則.之后利用多媒體展示如下動(dòng)畫，加強(qiáng)鞏固：【新知探究】知識(shí)點(diǎn)平方差公式[提出問題]大家是不是已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則呢？下面我們就來做這幾道題，看看你是否掌握了以前的知識(shí)．[課件展示]教師利用多媒體展示如下三道小題：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①(x＋1)(x－1)=x2-1；②(m＋2)(m－2)=m2-4；③(2x＋1)(2x－1)=4x2-1.[學(xué)生回答]學(xué)生在練習(xí)本上演算，之后教師點(diǎn)名學(xué)生回答.[提出問題]觀察：（1）相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？（2）積有什么特點(diǎn)？[學(xué)生回答]學(xué)生思考1分鐘，積極舉手發(fā)言，對(duì)于回答不完整的，其他學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充，學(xué)生的可能回答：相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式都是二項(xiàng)式，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；積為相同項(xiàng)的平方減去相反數(shù)的項(xiàng)的平方.[提出問題]你能用字母表示出這樣的等式嗎？[課件展示]教師利用多媒體展示如下等式.[提出問題]怎樣驗(yàn)證等式的正確性呢？[課件展示]教師利用多媒體展示如下兩種驗(yàn)證方法.推導(dǎo)方法一：用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式推導(dǎo)(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.推導(dǎo)方法二：借助幾何圖形推導(dǎo)如圖①，在邊長為a的大正方形中截去一個(gè)邊長為b的小正方形.求圖中藍(lán)色陰影部分的面積.解：藍(lán)色陰影部分的面積=原大正方形的面積-小正方形的面積=a2-b2.(2)將藍(lán)色陰影部分通過剪拼，組合成一個(gè)大長方形，如圖②，則這個(gè)大長方形的長為a+b，寬為a-b，面積為（a+b）（a-b）.(3)面積變了嗎？從中你得到了什么等式？解：面積沒有改變，∴（a+b）（a-b）=a2-b2.[歸納總結(jié)](a+b)(a-b)=a2-b2.也就是說，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.平方差公式的特點(diǎn)：(1)等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同（a），另一項(xiàng)互為相反數(shù)（b和-b）；(2)等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方（a2）減去相反項(xiàng)的平方（b2）.[課件展示]教師利用多媒體展示以下示例，幫助學(xué)生更好地理解公式：[課件展示]教師利用多媒體展示以下“平方差公式的變形與應(yīng)用”[提出問題]平方差公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確尋找公式中的a和b，只要正確找到a和b，一切就變得容易了．現(xiàn)在大家來看看下面幾個(gè)例子，從中得到啟發(fā)．填一填：下列格式中，想要套用平方差公式，誰是a？誰是b？[課件展示]教師利用多媒體展示以下例題：例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(3x+2)(3x-2);(2)(-x+2y)(-x-2y).解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4；(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.例2計(jì)算:(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)；解:(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.(2)102×98.解:102×98=（100+2）(100-2)=1002-22=10000-4=9996.提醒學(xué)生：例1中的第(2)題應(yīng)分清楚哪個(gè)相當(dāng)于公式中的a，哪個(gè)相當(dāng)于公式中的b.例2中的第(1)題中不符合平方差公式運(yùn)算條件的乘法，按乘法法則進(jìn)行運(yùn)算.例2中的第(2)題中通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運(yùn)算.[課件展示]跟蹤訓(xùn)練計(jì)算:（1）(3+2a)(-3+2a)；解：原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9；（2）(-2x2-y)(2x2-y).解：原式=(-y-2x2)(-y+2x2)=(-y)2-(2x2)2=y2-4x4.[課件展示]根據(jù)例題和跟蹤訓(xùn)練中遇到的常見點(diǎn)，總結(jié)如下注意事項(xiàng)：【課堂小結(jié)】【課堂訓(xùn)練】1.（2021?杭州江干區(qū)模擬）(3+2y)(3-2y)=（B）A．9+4y2 B．9-4y2 C．9+2y2 D．9-2y22.下列式子中，能用平方差公式計(jì)算的是(C)A．(x+y)(x+y)B．(-x+y)(x-y)C．(-x-y)(y-x)D．(x+y)(-x-y)3.如圖，將一個(gè)邊長為a的正方形減去一個(gè)邊長為b的小正方形，將剩余部分對(duì)半剪開，恰好是兩個(gè)完全相同的直角梯形，將它們旋轉(zhuǎn)拼接后構(gòu)成一個(gè)等腰梯形．利用圖形的面積關(guān)系可以得到（D）A．a(chǎn)2-b2=（a-b）2 B．a(chǎn)2-b2=（a+b）2C．a(chǎn)2-b2=a（a+b） D．a(chǎn)2-b2=（a+b）（a-b）【解析】第一個(gè)圖中陰影部分的面積為a2-b2，第二個(gè)圖中陰影部分的面積為（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），根據(jù)面積相等,得a2-b2=（a+b）（a-b）．故選D．4.（2021?百色模擬）（-x-2y）（-x+2y）=x2-4y2．5.（2021?廣安）若x、y滿足則代數(shù)式x2-4y2的值為-6．【解析】x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，故答案為-6．6.計(jì)算:(1)(3x+2)(3x-2)-(2x+3)(2x-3)；解:(1)原式=(3x)2-22-[(2x)2-32]=9x2-4-(4x2-9)=5x2+5.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解:（2)原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.7.（2021吉林）先化簡，再求值：(x+2)(x-2)-x(x-1)，其中x=.解：原式=x2-4-（x2-x）=x2-4-x2+x=x-4.將x=代入上式，得原式=-4=.8.計(jì)算下列式子：(1)10.3×9.7;(2)2020×2022-20212.解：(1)10.3×9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91;(2)2020×2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=20212-1-20212=-1.【教學(xué)反思】前幾節(jié)課學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，因此在回顧舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，利用法則來計(jì)算（x＋1)(x－1）、（m＋2)(m－2）、（2x＋1)(2x－1）的同時(shí)，直接引入本節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生通過探究這三個(gè)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中各個(gè)式的特征、結(jié)果的特征，猜測結(jié)論：（a+b）（a-b）=a2-b2，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，然后通過推導(dǎo)方法一與推導(dǎo)方法二（體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想）來驗(yàn)證結(jié)論的正確性.推導(dǎo)方法一較為簡單、易懂，推導(dǎo)方法二是用幾何圖形的面積說明平方差公式，為學(xué)生營造了一個(gè)寬松、和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境.通過