第二講平面向量基本定理及坐標表示2025年高考一輪總復習第五章

平面向量與復數(shù)1.平面向量基本定理

如果e1，e2

是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.2.平面向量坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模3.共線向量及其坐標表示(1)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.(2)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b共線.(3)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.考點一平面向量基本定理的應用圖5-2-1【題后反思】利用平面向量基本定理解題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決.(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理.【變式訓練】1.(2023年密云區(qū)三模)如圖5-2-2，在平行四邊形ABCD中，圖5-2-2答案：D圖5-2-3答案：BC考點二平面向量的坐標運算答案：C圖5-2-4

解析：題目條件并未對梯形ABCD中具體線段的長度或角度作明確限制，根據(jù)平面向量基本定理，我們可以不妨設梯形ABCD為上底CD＝2、下底AB＝4、高為3的等腰梯形.如圖5-2-5所示建立平面直角坐標系.圖5-2-5答案：D【題后反思】(1)巧借方程思想求坐標：若已知向量兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中注意方程思想的應用.

(2)向量問題坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可以用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算問題.【變式訓練】1.(2023年佛山市二模)已知平行四邊形ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為()A.(1，4)B.(1，5)C.(2，4)D.(2，5)

解析：根據(jù)題意，設點D的坐標為(x，y)，在平行四邊形ABCD(5－x，6－y)，解可得x＝1，y＝5，即點D的坐標為(1，5).故選B.

答案：B答案：(0，20)考點三平面向量共線的坐標表示考向1利用向量共線求向量或點的坐標[例3]已知點O(0，0)，A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點P的坐標為________.所以點P的坐標為(3，3).答案：(3，3)考向2利用向量共線求參數(shù)[例4](1)(2023年涼山州期末)已知向量a＝(－9，m2)，b＝)(1，－1)，則“m＝3”是“a∥b”的( A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件解析：向量a＝(－9，m2)，b＝(1，－1)，若a∥b，則(－9)×(－1)＝m2，解得m＝±3，故“m＝3”是“a∥b”的充分不必要條件.故選C.答案：C(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－3b共【題后反思】

(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.

(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.【考法全練】答案：A

2.(考向1)(2023年咸陽市期末)已知點A(1，0)，B(0，2)，C(－1，0)，則以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標可以是______________________________.∴點D的坐標為(0，－2)或(2，2)或(－2，2).答案：(0，－2)或(2，2)或(－2，2)⊙三角形中的奔馳定理圖5-2-6證明：如圖5-2-7，延長OA與BC邊交于點D.

圖5-2-7【名師點睛】由于例5對應的圖象和奔馳車的標志很相似，因此我們把例5的結(jié)論稱為“奔馳定理”.答案：A

【高分訓練】

1.(多選題)如圖5-2-8，O是△ABC內(nèi)一點，△BOC，△AOC，

設O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下