2025屆云南省安寧市實(shí)驗(yàn)石江學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值是（）A. B.C. D.42．饕餮紋是青銅器上常見(jiàn)的花紋之一，最早見(jiàn)于長(zhǎng)江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫(huà)到方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)經(jīng)過(guò)3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為（）A. B.C. D.3．不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形4．已知空間向量，則（）A. B.C. D.5．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，6．已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.7．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.8．已知A，B，C是橢圓M：上三點(diǎn)，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，過(guò)A作x軸的垂線交橢圓M于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.9．設(shè)變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－210．已知集合，，則（）A. B.C. D.11．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線在第二象限上的點(diǎn)，直線交雙曲線于另一個(gè)點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．在長(zhǎng)方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是橢圓（）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，（）．若橢圓的離心率為，則的最小值為_(kāi)_____14．已知某地區(qū)內(nèi)貓的壽命超過(guò)10歲的概率為0.9，超過(guò)12歲的概率為0.6，那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過(guò)10歲的貓的壽命超過(guò)12歲的概率為_(kāi)__________.15．已知焦點(diǎn)為F的拋物線的方程為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)Q的距離的和的最小值為_(kāi)_____.16．?dāng)€尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角為_(kāi)__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn).（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，求的余弦值；（2）直線與橢圓C交于A，B，若，求k19．（12分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，學(xué)校利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來(lái)自甲班的概率.20．（12分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線相交于兩點(diǎn)且.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線，圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，求直線的方程.22．（10分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知成等比數(shù)列，從而可得，即可求出的結(jié)果.【詳解】解：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：成等比數(shù)列，且公比不為-1即成等比數(shù)列，，，.故選：B.2、B【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，跳3次，則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，記“3次跳動(dòng)后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故選：B3、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)梯形.故選：D.4、C【解析】A利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實(shí)數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可判斷；D利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可.【詳解】因?yàn)椋訟不正確：因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)使，所以B不正確；因?yàn)椋?，所以C正確；因?yàn)?，所以，所以D不正確故選：C5、B【解析】由空間向量?jī)?nèi)容知，構(gòu)成基底的三個(gè)向量不共面，對(duì)選項(xiàng)逐一分析【詳解】對(duì)于A：，因此A不滿足題意；對(duì)于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內(nèi)，與向量不共面，因此B正確；對(duì)于C：，故C不滿足題意；對(duì)于D：顯然有，選項(xiàng)D不滿足題意.故選：B6、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D7、A【解析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為.故選：A.8、C【解析】設(shè)出點(diǎn)，,的坐標(biāo)，將點(diǎn)，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn),則.【詳解】設(shè)，，，則，，，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，則,則AB錯(cuò)誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn)即，則正確.故選：C.9、D【解析】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，在軸上的截距最大，最小，此時(shí)，故選：D10、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運(yùn)算求.【詳解】∵，，∴故選：B11、A【解析】由給定條件寫(xiě)出點(diǎn)A，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出線段FC的中點(diǎn)坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線列式計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點(diǎn)，設(shè)，由雙曲線對(duì)稱性得，線段FC的中點(diǎn)，因直線平分線段，即點(diǎn)D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A12、D【解析】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長(zhǎng)度關(guān)系求得即可.【詳解】在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，表示出直線，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用離心率求得與的關(guān)系，則答案可求詳解】解：設(shè)，，，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，，，即，的最小值為，橢圓的離心率為，，即，得，的最小值為故答案為：14、【解析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A：貓的壽命超過(guò)10歲，事件B：貓的壽命超過(guò)12歲.依題意有，，則一只壽命超過(guò)10歲貓的壽命超過(guò)12歲的概率.故答案為：15、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為的最小值問(wèn)題.【詳解】焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線為,如圖，作垂直于準(zhǔn)線于A，交y軸于B，.故答案為：16、【解析】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長(zhǎng)為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出側(cè)面與底面夾角.【詳解】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長(zhǎng)為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則，，以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，顯然平面的法向量為所以，所以側(cè)面與底面的夾角為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；(2)由題可得，利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】三點(diǎn)共線，【小問(wèn)2詳解】①②①—②得18、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求頂角的余弦值.（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求的值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，在中，由余弦定理知.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，將直線與橢圓:聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€過(guò)焦點(diǎn)，故恒成立，又，由弦長(zhǎng)公式得，化簡(jiǎn)整理得：，解得.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫(xiě)出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來(lái)自甲班”為事件M，事件M包括：共1個(gè)基本事件，由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來(lái)自甲班的概率為20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點(diǎn)A作原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間位置關(guān)系的向量證明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在四棱錐中，因分別是的中點(diǎn)，則，因平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】在四棱錐中，平面，，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，而且，則，，設(shè)平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小問(wèn)3詳解】由(2)知，，令直線與平面所成角為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值.21、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸正半軸上、半徑為2，所以設(shè)方程為：，圓心，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以有，或舍去，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，圓的半徑為，因?yàn)橹本€，所以設(shè)直線的方程為，因?yàn)閳A上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以直線與該圓相離，當(dāng)兩平行線間的距離為，于是有：，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：，符合題意；當(dāng)時(shí)