專題10.3兩個計數(shù)原理、排列與組合題型一分類及分步的簡單應(yīng)用題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題題型三捆綁法及插空法題型四倍縮法題型五隔板法題型六特殊元素法題型七染色問題題型八平均分組問題題型九部分平均分組問題題型一 分類及分步的簡單應(yīng)用例1．“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩．他準(zhǔn)備在春季的6個節(jié)氣與夏季的6個節(jié)氣中共選出3個節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏季的節(jié)氣各至少選出1個，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

A．90 B．180 C．270 D．360例2．有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有_____種不同的安排方法．（用數(shù)字回答）練習(xí)1．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中據(jù)說有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期．某校擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有1部是魏晉南北朝時期的情況共有（

）A．42種 B．39種 C．10種 D．35種練習(xí)2．甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有_____種承包方式（用數(shù)字作答）.練習(xí)3．從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有_____種不同的選法.（用數(shù)字作答）練習(xí)4．2014年國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化考試招生制度改革意見》，福建省在2021年高考進(jìn)入“3+1+2”選科模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三門必考，物理和歷史二選一，化學(xué)、政治、生物、地理四選二，在此規(guī)則下，學(xué)生共有_____種選科方式.練習(xí)5．有兩個家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游（每個家庭包括一對夫妻和兩個孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進(jìn)行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為_____.題型二 排列數(shù)及組合數(shù)問題例3．已知（，且），則（

）A．28 B．42 C．43 D．56例4．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．練習(xí)6．（多選）滿足不等式的的值可能為（

）A．12 B．11 C．8 D．10練習(xí)7．已知，求n.練習(xí)8．計算：(1)若，求(2)若，求練習(xí)9．（1）解方程：（2）解不等式；練習(xí)10．（1）若，則x=_____.（2）不等式的解集為_____.題型三 捆綁法及插空法例5．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法錯誤的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法例6．澉浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉”“醋魚湯”“韭芽肉皮”“老筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請遠(yuǎn)方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（）A．480 B．240 C．384 D．1440練習(xí)11．要從甲、乙等8人中選5人在座談會上發(fā)言，若甲乙都被選中且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有_____種．（用數(shù)字作答）練習(xí)12．（多選）我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高中創(chuàng)新人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，具體為學(xué)科拓展（X）、體藝特長（T）、實踐創(chuàng)新（S）、生涯規(guī)劃（C）、國際視野（I）、公民素養(yǎng)（G）、大學(xué)先修（D）、PBL項目課程（P）八大類，假期里決定繼續(xù)開設(shè)這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（）A．某學(xué)生從中選3類，共有56種選法B．課程“X”“T”排在不相鄰兩天，共有種排法C．課程中“S”“C”“I”排在相鄰三天，且“C”只能排在“S”與“I”的中間，共有720種排法D．課程“T”不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有種排法練習(xí)13．一條長椅上有七個座位，四人坐，要求三個空位中，有兩個空位相鄰，另一個空位與這兩個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？練習(xí)14．喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進(jìn)行談判，通過談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起照合影像（排成一排）.(1)要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？練習(xí)15．一天課程表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有_____種；要使數(shù)學(xué)與物理連排，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，不同的排課方法有_____種．題型四 倍縮法例7．某學(xué)習(xí)小組、、、、、、七名同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．例8．某中學(xué)為迎接新年到來，籌備“唱響時代強(qiáng)音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的5個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來5個節(jié)目的出場順序不變，則增加的2個教師節(jié)目有_____種不同排法（用數(shù)字作答）練習(xí)16．小武是1993年12月18日出生的，他設(shè)置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的8個數(shù)字進(jìn)行排列得到一個8位數(shù)的密碼，那么小武同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼的個數(shù)為（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360練習(xí)17．五一國際勞動節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽確定出場順序．在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（

）．A． B． C． D．練習(xí)18．《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．72種練習(xí)19．（多選）用3，4，5，6，7，9六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．這樣的六位數(shù)共有720個B．在這樣的六位數(shù)中，偶數(shù)共有240個C．在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有144個D．在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)數(shù)字從左到右、從小到大排序的共有30個練習(xí)20．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)從周一至周五輪流安排寫作練習(xí)，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，則不同的排列方式共有_____種.題型五 隔板法例9．方程的非負(fù)整數(shù)解的組的個數(shù)為（

）A． B．C． D．例10．現(xiàn)有6個三好學(xué)生名額，計劃分到三個班級，則恰有兩個班分到三好學(xué)生名額的概率為_____.練習(xí)21．在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點，不包括邊界上的點)的個數(shù)為（

）A．35 B．36 C．84 D．21練習(xí)22．的展開式為多項式，其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)一共有（

）A．72項 B．75項 C．78項 D．81項練習(xí)23．（多選）把8個相同的小球放到編號為1，2，3，4的4個盒子中，則（

）A．每個盒子中至少放1個小球的放法共有35種B．有空盒的放法共有161種C．恰有1個空盒的放法共有21種D．編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法共有20種練習(xí)24．在中國革命史上有許多與“8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍”、“八女投江”等，因此數(shù)字“8”是當(dāng)之無愧的新時代“英雄數(shù)字”．如果一個四位數(shù)，各個位置上數(shù)字之和等于8，這樣的數(shù)稱為“英雄數(shù)”（比如1223，，就是一個“英雄數(shù)”），則所有的“英雄數(shù)”有_____個（用數(shù)字回答）練習(xí)25．用0~9十個數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個位?十位?百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱為“長久數(shù)”，則“長久數(shù)”一共有_____個．題型六 特殊元素法例11．第屆世界大學(xué)生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例12．為了紀(jì)念世界地球日，復(fù)興中學(xué)高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學(xué)合影，若同學(xué)與同學(xué)站在一起，同學(xué)站在邊緣，則同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的概率為_____．練習(xí)26．從0，1，2，…，9中選出三個不同數(shù)字組成四位數(shù)（其中的一個數(shù)字用兩次），如5242．這樣的四位數(shù)共有（

）A．1692個 B．3672個 C．3708個 D．3888個練習(xí)27．用0，1，2，3，4，5共6個數(shù)字，可以組成_____個沒有重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．練習(xí)28．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等.數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”.“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有_____個．（用數(shù)字作答）練習(xí)29．某34人班級派5人參觀展覽，班級里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡rap，14人喜歡籃球，每個人只喜歡一種.5人站一隊參觀，但是當(dāng)隊伍中第個人分別喜歡唱、跳、rap、籃球時，上述4人會討論蔡徐坤，展覽館不希望有人討論蔡徐坤.當(dāng)且僅當(dāng)兩個隊伍中至少有一個位置上的人的喜好不同，兩個隊伍才被認(rèn)為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊方案數(shù)為_____.練習(xí)30．現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求的排列方法共有_____種題型七 染色問題例13．某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480例14．在如圖所示的五塊土地上種植四種莊稼，有五種莊稼秧苗可供選擇，要求相鄰的土地不種同一種莊稼，共有（）種植方式．

A．240種 B．300種 C．360種 D．420種練習(xí)31．某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種練習(xí)32．中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種練習(xí)33．（多選）如圖，用種不同的顏色把圖中四塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（

）A．B．當(dāng)時，若同色，共有48種涂法C．當(dāng)時，若不同色，共有48種涂法D．當(dāng)時，總的涂色方法有420種練習(xí)34．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有_____種不同的涂色方案.練習(xí)35．用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_____種．

題型八 平均分組問題例15．新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為語文，數(shù)學(xué)、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，“2”由考生在化學(xué)、生物，政治，地理4門科目中選考2門科目，若學(xué)生甲、乙隨機(jī)選擇自己的選考科目，則甲、乙選考的三門科目均不相同的概率為（

）A． B． C． D．例16．臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為_____．練習(xí)36．某冷飲店有“桃喜芒芒”“草莓啵?！薄懊厶宜募敬骸薄坝髨A葡萄”四種飲品可供選擇，現(xiàn)有四位同學(xué)到店每人購買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為（

）A． B． C． D．練習(xí)37．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A．450種 B．360種 C．90種 D．70種練習(xí)38．在某項建造任務(wù)中，需6名航天員在天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙這三個艙內(nèi)同時進(jìn)行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．450種 B．180種 C．720種 D．360種練習(xí)39．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)空間站要安排甲、乙等名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種練習(xí)40．近年來喜歡養(yǎng)寵物貓的人越來越多．某貓舍只有5個不同的貓籠﹐金漸層貓3只（貓媽媽和2只小貓嶲）、銀漸層貓4只、布偶貓1只．該貓舍計劃將3只金漸層貓放在同一個貓籠里，4只銀漸層貓每2只放在一個貓籠里，布偶貓單獨放在一個貓籠里，則不同的安排有（

）A．8種 B．30種 C．360種 D．1440種題型九 部分平均分組問題例17．教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師到A、B、C三個鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個學(xué)校至少去1人，每名教師只能去一個學(xué)校，不同的選派方法數(shù)有（

）種A．25 B．60 C．90 D．150例18．為了提高命題質(zhì)量，命題組指派5名教師對數(shù)學(xué)卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進(jìn)行改編，則每種題型至少至少指派1名教師的不同分派方法種數(shù)為（

）A．144 B．120 C．150 D．180練習(xí)41．某中學(xué)舉行全區(qū)教研活動，有10名志愿者參加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，則教研活動當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（

）A． B．C． D．練習(xí)42．有6名同學(xué)要分到4個不同的單位去實習(xí)，要求每個單位至少接收1名同學(xué)，則不同的分配方法有_____種．練習(xí)43．習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)說，調(diào)查研究是謀事之基、成事之道.瓊中縣委、縣政府根據(jù)黨中央、國務(wù)院《關(guān)于在全黨大興調(diào)查研究的工作方案》文件精神，決定派出7人分成3個小組，到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展調(diào)查研究工作，其中2個小組各2人，1個小組3人，則不同的安排方法共有_____.練習(xí)44．為了落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某校開設(shè)三門德育校本課程，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有_____.練習(xí)45．有3名黨員干部到5個貧困戶家里扶貧，每名黨員干部至少幫扶一個貧困戶，且每個貧困戶家里有且僅有一名黨員干部幫扶，則共有_____種不同的安排方案.（用數(shù)字作答）

專題10.3兩個計數(shù)原理、排列與組合題型一分類及分步的簡單應(yīng)用題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題題型三捆綁法及插空法題型四倍縮法題型五隔板法題型六特殊元素法題型七染色問題題型八平均分組問題題型九部分平均分組問題題型一 分類及分步的簡單應(yīng)用例1．“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩．他準(zhǔn)備在春季的6個節(jié)氣與夏季的6個節(jié)氣中共選出3個節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏季的節(jié)氣各至少選出1個，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

A．90 B．180 C．270 D．360【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，由組合數(shù)計算即可.【詳解】根據(jù)題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，其中1春2夏的不同情況有：種；2春1夏的不同情況有：種，所以小明選取節(jié)氣的不同情況有：種．故選：B．例2．有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有種不同的安排方法．（用數(shù)字回答）【答案】300【分析】解法一，分類考慮，化學(xué)是否被排在上午，根據(jù)分類加法原理求得答案；解法二，先排上午第四節(jié)，再排其余節(jié)次的課，根據(jù)分步乘法原理求得答案；解法三，利用間接法，即求出從6門課程中任意選4門安排在上午的排法，減去化學(xué)排在第四節(jié)課的排法數(shù)，即得答案.【詳解】解法一，第一類：化學(xué)被選上，有種不同的安排方法；第二類：化學(xué)不被選上，有種不同的安排方法．故共有種不同的安排方法，故答案為：300解法二，第一步：化學(xué)不排在第四節(jié)，故第四節(jié)有種排法；第二步：其余三節(jié)有種排法，故共有種不同的安排方法，故答案為：300解法三（間接法）,從6門課程中任意選4門安排在上午，有種排法，而化學(xué)排第四節(jié)，有種排法，故共有種不同的安排方法．故答案為：300練習(xí)1．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中據(jù)說有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期．某校擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有1部是魏晉南北朝時期的情況共有（

）A．42種 B．39種 C．10種 D．35種【答案】A【分析】根據(jù)題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有1部是魏晉南北朝時期的，二是所選的2部專著都是魏晉南北朝時期的，求出各個情況的方法數(shù)，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有1部是魏晉南北朝時期的，有種方法，二是所選的2部專著都是魏晉南北朝時期的，有種方法，所以由分類加法原理可知共有種方法，故選：A練習(xí)2．甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有種承包方式（用數(shù)字作答）.【答案】60【分析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，再讓乙承包2項，剩下的3項丙承包，根據(jù)分步乘法原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，有種，再讓乙承包2項，有，剩下的3項丙承包，所以由分步乘法原理可得共有種方案，故答案為：60練習(xí)3．從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，可分為志愿組有3名男生，2名女生和志愿組有4名男生，1名女生，兩類情況，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)志愿組有3名男生，2名女生時，有種方法；當(dāng)志愿組有4名男生，1名女生時，有種方法，由分類計數(shù)原理得，共有種不同的選法.故答案為：.練習(xí)4．2014年國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化考試招生制度改革意見》，福建省在2021年高考進(jìn)入“3+1+2”選科模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三門必考，物理和歷史二選一，化學(xué)、政治、生物、地理四選二，在此規(guī)則下，學(xué)生共有種選科方式.【答案】12【分析】根據(jù)分步乘法原理，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】依題意，根據(jù)計數(shù)乘法原理，有種方法.故答案為：12練習(xí)5．有兩個家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游（每個家庭包括一對夫妻和兩個孩子），他們在烏魯木齊租了兩輛不同的汽車進(jìn)行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為.【答案】10【分析】分兩種情況考慮，即每個家庭乘坐一輛車和每對夫妻乘坐的車上恰有一個自己的孩子，根據(jù)分類加法原理即可得答案.【詳解】由題意得當(dāng)每個家庭各乘坐一輛車時，有2種乘車方案；當(dāng)每對夫妻乘坐的車上恰有一個自己的孩子時，乘車方案種數(shù)為，故滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為，故答案為：10題型二 排列數(shù)及組合數(shù)問題例3．已知（，且），則（

）A．28 B．42 C．43 D．56【答案】A【分析】先根據(jù)排列數(shù)得出n,再計算組合數(shù)即可.【詳解】,.故選:A.例4．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)及排列數(shù)公式，計算即可；（2）根據(jù)組合數(shù)及組合數(shù)公式，計算即可．【詳解】（1）由，可得，可得.可得，所以，即，因為，，，，，所以；（2），故，解得.練習(xí)6．（多選）滿足不等式的的值可能為（

）A．12 B．11 C．8 D．10【答案】ABD【分析】根據(jù)排列數(shù)公式得到不等式，解得的取值范圍，即可判斷.【詳解】由排列數(shù)公式得，依題意可得，解得或（舍去），又，所以可以取，，．故選：ABD．練習(xí)7．已知，求n.【答案】6【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)以及組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，將化簡并展開，解方程即可求得答案.【詳解】由得，即，即，解得，或，由知，故.練習(xí)8．計算：(1)若，求(2)若，求【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)組合式的性質(zhì)計算可得；（2）根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計算可得.【詳解】（1）因為，所以或，解得或.（2）因為，所以，又，所以，所以，解得.練習(xí)9．（1）解方程：（2）解不等式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用組合數(shù)的性質(zhì)及計算公式解方程作答.（2）利用排列數(shù)公式化簡不等式，再求解不等式作答.【詳解】（1）由組合數(shù)性質(zhì)及，得，而，則，因此，即，解得，所以原方程的解為.（2）由，得且，解得，又，化簡得，解得，因此，所以不等式的解為.練習(xí)10．（1）若，則x=.（2）不等式的解集為.【答案】5【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)組合數(shù)的運算公式及性質(zhì)化簡不等式求其解集即可.【詳解】（1）且，，化簡得，解得（不合題意，舍去），；（2）∵，∴，即，解得.∵，∴.∴的取值集合為.故答案為：5；.題型三 捆綁法及插空法例5．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法錯誤的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識可以判斷A正確；利用特殊位置法可以判斷B錯誤；相鄰問題利用捆綁法可以判斷C正確；不相鄰問題利用插空法可以判斷D錯誤.【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；對于B，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有種，B正確；對于C，“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個元素，不同排法共有種，C正確；對于D，先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種，D錯誤.故選：D.例6．澉浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉”“醋魚湯”“韭芽肉皮”“老筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請遠(yuǎn)方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【分析】應(yīng)用排列數(shù)求出“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數(shù)，間接法求出上述兩道菜不能接連相鄰上菜的方法種數(shù)即可.【詳解】若“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜，則有種，再將其與其它4道菜作全排列，共有種，所以“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數(shù)有種；而六道菜依次上菜的總順序有種，所以其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜的方法數(shù)種.故選：A練習(xí)11．要從甲、乙等8人中選5人在座談會上發(fā)言，若甲乙都被選中且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有種．（用數(shù)字作答）【答案】720【分析】根據(jù)先選后排原理，再根據(jù)插空法，進(jìn)行排列組合即可得解.【詳解】除甲乙外再選3人共有種可能，從選中的3人中選一人插在甲乙中間，此三人再進(jìn)行排列共有種可能，再將此三人看作整體和另外兩人進(jìn)行全排列，共有種可能，則共有，故答案為：720.練習(xí)12．（多選）我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高中創(chuàng)新人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，具體為學(xué)科拓展（X）、體藝特長（T）、實踐創(chuàng)新（S）、生涯規(guī)劃（C）、國際視野（I）、公民素養(yǎng)（G）、大學(xué)先修（D）、PBL項目課程（P）八大類，假期里決定繼續(xù)開設(shè)這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（）A．某學(xué)生從中選3類，共有56種選法B．課程“X”“T”排在不相鄰兩天，共有種排法C．課程中“S”“C”“I”排在相鄰三天，且“C”只能排在“S”與“I”的中間，共有720種排法D．課程“T”不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有種排法【答案】ABD【分析】由題意，利用組合數(shù)、插空法、捆綁法、特殊元素優(yōu)先法，解得分類加法原理，可得答案.【詳解】選項A，某同學(xué)從中選3類，共有(種)選法，A正確；選項B，若“X”“T”不相鄰，剩余6類排列方法為，形成7個空，則“X”“T”填入7個空的方法為，所以共有種排法，B正確；選項C，先排列“S”“C”“I”三科，則有2種排列方法，3科形成整體與剩余5科再進(jìn)行全排列，則有種排列方法，所以共有(種)排法，C錯誤；選項D，分成兩類情況，一是“G”排在第一天，則此類情況下排法有種，二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有種方法，則共有種排法，D正確．故選：ABD．練習(xí)13．一條長椅上有七個座位，四人坐，要求三個空位中，有兩個空位相鄰，另一個空位與這兩個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？【答案】480種【分析】首先將兩個空位看成一個整體，再利用插空法求解.【詳解】把兩個相鄰空位看成一個整體，另一個空位與這個整體不相鄰，則是用四個人把兩個元素隔開的典型問題，就可先讓四人坐在四個位置上，再讓后兩個“元素”（一個是兩個作為一個整體的空位，另一個是單獨的空位）選擇被四人造成的五個“空隙”中的兩個插入，所以共有種坐法．練習(xí)14．喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進(jìn)行談判，通過談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起照合影像（排成一排）.(1)要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用捆綁法進(jìn)行求解即可；（2）利用插空法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，所以可以把它們捆綁一起,然后與灰太狼、紅太狼全排列,所以一共有種排法.（2）喜羊羊家族的四位成員一共形成5個空,灰太狼、紅太狼進(jìn)行插空,所以一共有練習(xí)15．一天課程表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有種；要使數(shù)學(xué)與物理連排，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，不同的排課方法有種．【答案】72144【分析】分類討論文理科的順序可得第一空；利用捆綁法結(jié)合插空法可得第二空.【詳解】要使文、理科間排，有兩種情況：文科排1，3，5，理科排2，4，6或理科排1，3，5，文科排2，4，6，共有種排法；數(shù)學(xué)與物理連排，則把數(shù)學(xué)、物理當(dāng)作一個元素，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，用插空法得：種排法．故答案為：72；144.題型四 倍縮法例7．某學(xué)習(xí)小組、、、、、、七名同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，結(jié)合倍縮法可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與相鄰，則將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：C.例8．某中學(xué)為迎接新年到來，籌備“唱響時代強(qiáng)音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的5個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來5個節(jié)目的出場順序不變，則增加的2個教師節(jié)目有種不同排法（用數(shù)字作答）【答案】42【分析】用相對順序已定的排列模型求解.【詳解】5個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，共有7個節(jié)目，把7個節(jié)目看成有順序的7個位置，將這7個位置挑出2個位置安排給2個教師節(jié)目，共有種安排方法，再將剩下的5個位置安排給5個學(xué)生節(jié)目，因原來5個學(xué)生節(jié)目的出場順序不變，故只有1種安排方法，故共有種不同排法.故答案為：42練習(xí)16．小武是1993年12月18日出生的，他設(shè)置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的8個數(shù)字進(jìn)行排列得到一個8位數(shù)的密碼，那么小武同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼的個數(shù)為（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360【答案】D【分析】先將8個數(shù)字進(jìn)行全排列，再利用定序倍縮法除以重復(fù)的情況即可.【詳解】先將這8個數(shù)字進(jìn)行全排列，有種情況，而這8個數(shù)字中有三個1和兩個9，可將這三個1和兩個9看作是順序固定的排列方法，所以一共可以組成個六位數(shù)，即可以設(shè)置的不同密碼的個數(shù)為．故選：D．練習(xí)17．五一國際勞動節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽確定出場順序．在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”為事件，根據(jù)倍縮法求出學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場的種數(shù)，得出，再根據(jù)捆綁法求出學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場且甲、乙相鄰出場的種數(shù)，求出，根據(jù)條件概率公式計算即可．【詳解】設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”為事件，共有種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場的情況有種，所以，甲乙同學(xué)按出場順序一定，且相鄰出場的情況共有種，所以，則，故選：B．練習(xí)18．《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】將香菌、新筍、豆腐干看作一個元素，利用捆綁法結(jié)合倍縮法求解.【詳解】因為香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個元素，此時共有5個元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，定序問題用倍縮法，共有種不同的排列方式.故選：B.練習(xí)19．（多選）用3，4，5，6，7，9六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．這樣的六位數(shù)共有720個B．在這樣的六位數(shù)中，偶數(shù)共有240個C．在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有144個D．在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)數(shù)字從左到右、從小到大排序的共有30個【答案】ABD【分析】根據(jù)排列的知識對每個選項一一分析即可.【詳解】對于A，符合題意的六位數(shù)有個，故A正確；對于B，若六位數(shù)為偶數(shù)，其個位數(shù)字為4或6，有2種情況，其他數(shù)位沒有限制，則符合題意的偶數(shù)有個，故B正確；對于C，將其他4個數(shù)字全排列，再將4，6安排在產(chǎn)生的空位中，所以有個4，6不相鄰的六位數(shù)，故C錯誤；對于D，4個奇數(shù)數(shù)字按從左到右、從小到大的順序排好，則有個符合題意的六位數(shù)，故D正確．故選：ABD．練習(xí)20．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)從周一至周五輪流安排寫作練習(xí)，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，則不同的排列方式共有種.【答案】18【分析】先從除甲、乙外的3名學(xué)生中選出2名，安排在周一和周二，再將剩余3名學(xué)生安排在周三至周五，且甲在乙之前，再根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可得答案.【詳解】先從除甲、乙外的3名學(xué)生中選出2名，安排在周一和周二，共有種排列方式；再將剩余3名學(xué)生安排在周三至周五，共有種排列方式.又甲在乙之前，則不同的排列方式共有種.故答案為：18.題型五 隔板法例9．方程的非負(fù)整數(shù)解的組的個數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【詳解】依題意，可知為非負(fù)整數(shù)，因為，所以，從而將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成部分，一共有13個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有種.故選：A例10．現(xiàn)有6個三好學(xué)生名額，計劃分到三個班級，則恰有兩個班分到三好學(xué)生名額的概率為.【答案】【分析】分只有一個班分到名額，恰有兩個班分到名額和三個班都分到了名額三種情況求出總的情況，然后利用古典概型求概率的方法能求出恰有兩個班分到三好學(xué)生名額的概率．【詳解】將6個三好學(xué)生名額分到三個班級，有3種類型：第一種是只有一個班分到名額，有3種情況；第二種是恰好有兩個班分到名額，由隔板法得有種情況，第三種是三個班都分到了名額，由隔板法得有種情況，則恰有兩個班分到三好學(xué)生名額的概率為．故答案為：．練習(xí)21．在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點，不包括邊界上的點)的個數(shù)為（

）A．35 B．36 C．84 D．21【答案】A【分析】首先求平面的一個法向量，并根據(jù)法向量確定三棱錐內(nèi)部的點滿足的條件，并結(jié)合隔板法，求方法種數(shù).【詳解】由條件可知，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，故，設(shè)是平面上的點，則，故，則，不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整數(shù)點為，則，且，，，則若時，則在平面上，若，則在三棱錐的外部，所以，當(dāng)，且時，將寫成個1排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個數(shù)為的取值的方法個數(shù)，顯然有個方法，所有整數(shù)點的個數(shù)為.故選：A練習(xí)22．的展開式為多項式，其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)一共有（

）A．72項 B．75項 C．78項 D．81項【答案】C【分析】由多項式展開式中的項為，即，將問題轉(zhuǎn)化為將2個隔板和11個小球分成三組，應(yīng)用組合數(shù)求項數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，多項式展開式各項形式為且，故問題等價于將2個隔板和11個小球分成三組，即.故選：C練習(xí)23．（多選）把8個相同的小球放到編號為1，2，3，4的4個盒子中，則（

）A．每個盒子中至少放1個小球的放法共有35種B．有空盒的放法共有161種C．恰有1個空盒的放法共有21種D．編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法共有20種【答案】AD【分析】利用隔板法可判斷選項A；根據(jù)分類加法計數(shù)原理及組合的知識結(jié)合隔板法可判斷B，D；由分步乘法計數(shù)原理及組合的知識可判斷C．【詳解】對于A，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，相當(dāng)于將8個球排成一排，分為4份，即在這8個球之間形成的7個空中，選3個插入隔板，每個盒子中至少放1個小球的放法共有種，故A正確．對于B，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，有空盒的放法可分為：8個球放一個盒子里，有種放法；8個球放二個盒子里，有種放法；放三個盒子，有種方法，所以共有種放法，故B錯誤；對于C，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有1個空盒的放法,結(jié)合B可知即將8個相同的小球放入3個盒子里，共有種，故C錯誤；對于D，有8個相同的小球，放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法分4類：編號為2的盒子放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有種，編號為2的盒子放3個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有種，編號為2的盒子放4個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有種，編號為2的盒子放5個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有1種，則共有種放法，故D正確，故選：AD．練習(xí)24．在中國革命史上有許多與“8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍”、“八女投江”等，因此數(shù)字“8”是當(dāng)之無愧的新時代“英雄數(shù)字”．如果一個四位數(shù)，各個位置上數(shù)字之和等于8，這樣的數(shù)稱為“英雄數(shù)”（比如1223，，就是一個“英雄數(shù)”），則所有的“英雄數(shù)”有個（用數(shù)字回答）【答案】120【分析】根據(jù)題意，將原問題轉(zhuǎn)化為將8個小球分為4組且第一組不能為0的問題，根據(jù)0的個數(shù)分情況，結(jié)合擋板法即可求解．【詳解】根據(jù)題意，8個相同的小球排成一排，8個小球兩兩之間不包括頭尾共有7個空位中，若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中不含0，則需要在這7個空位中隨機(jī)安排3個擋板，可以將小球分為4組每兩個擋板之間的小球的數(shù)目依次對應(yīng)四位數(shù)的千、百、十、個位數(shù)字，共有個，若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中只有一個0，則需要在這7個空位中隨機(jī)安排2個擋板，可以將小球分成個數(shù)不為0的3組，0可以作為百、十、個位其中一位上的數(shù)字，此時共有個，若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中有兩個0，則需要在這7個空位中隨機(jī)安排1個擋板，可以將小球分成個數(shù)不為0的2組，0可以作為百、十、個位其中兩位上的數(shù)字，此時共有個，若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中有3個0，則只能是8000，只有一種情況，綜上：共有個“英雄數(shù)”．故答案為：120．練習(xí)25．用0~9十個數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個位?十位?百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱為“長久數(shù)”，則“長久數(shù)”一共有個．【答案】【分析】將“長久數(shù)”的排列轉(zhuǎn)化為將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．【詳解】設(shè)對應(yīng)個位到百位上的數(shù)字，則且，相當(dāng)于將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，如圖，這11個數(shù)有10個空，用2個隔板隔開分為3組，左起第一組數(shù)的和作為，第二組數(shù)的和作為，第三組數(shù)的和作為，故共種，故答案為：45．題型六 特殊元素法例11．第屆世界大學(xué)生夏季運動會于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號為、、、、的個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為、的賽場，編號為的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】對女志愿者甲是否被選中進(jìn)行分類討論，分別確定各賽場的人員安排，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數(shù)為，則女志愿者甲可安排在號或號或號賽場，另一位女志愿者安排在號賽場，余下個男志愿者隨意安排，此時，不同的安排種數(shù)為；②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數(shù)為，編號為的賽場必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號賽場，余下人可隨意安排，此時，不同的安排方法種數(shù)為.由分類加法計數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為種.故選：D.例12．為了紀(jì)念世界地球日，復(fù)興中學(xué)高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學(xué)合影，若同學(xué)與同學(xué)站在一起，同學(xué)站在邊緣，則同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的概率為．【答案】【分析】利用分步乘法原理先求出同學(xué)與同學(xué)站在一起，同學(xué)站在邊緣的方法數(shù)，再求出其中同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的方法數(shù)，然后利用古典概型的概率公求解即可.【詳解】將同學(xué)與同學(xué)看成一個整體，與剩下的5人排列，先讓同學(xué)站在邊上，有種方法，然后同學(xué)與同學(xué)組成的整體與剩下4人排列，有種方法，所以分步乘法原理可知同學(xué)與同學(xué)站在一起，同學(xué)站在邊緣，共有種方法，其中同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的有：先讓同學(xué)站在邊上，有種方法，然后同學(xué)與同學(xué)組成的整體從與同學(xué)不相鄰的4個位置中選一個位置，有種方法，再讓剩下的4人去站剩下的4個位置，有種方法，所以由分步乘法原理可得同學(xué)不與同學(xué)或相鄰的共有種方法，所以所求概率為，故答案為：練習(xí)26．從0，1，2，…，9中選出三個不同數(shù)字組成四位數(shù)（其中的一個數(shù)字用兩次），如5242．這樣的四位數(shù)共有（

）A．1692個 B．3672個 C．3708個 D．3888個【答案】D【分析】就含零的個數(shù)分類討論后可得正確的選項.【詳解】情形一不含0的四位數(shù)個數(shù)為．情形二含1個0的四位數(shù)個數(shù)為．情形三含2個0的四位數(shù)個數(shù)為．于是符合題意的四位數(shù)個數(shù)為．故選：D.練習(xí)27．用0，1，2，3，4，5共6個數(shù)字，可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．【答案】288【分析】解法一，從特殊位置入手，即先考慮個位或十萬位上的數(shù)字，根據(jù)分步計數(shù)原理可求得答案；解法二，從特殊元素入手，即先考慮0的排法，再排其他數(shù)字，根據(jù)分步計數(shù)原理可求得答案.【詳解】解法一（從特殊位置入手）①從個位入手：個位上的數(shù)字的排法有種，十萬位上的數(shù)字的排法有種，余下的數(shù)字可以在其余各位上進(jìn)行全排列，有種排法．由分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的六位奇數(shù)共有個．②從十萬位入手：十萬位排定后，個位數(shù)字的排法與十萬位所排數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)有關(guān)，因此，需分2類．第1類，十萬位排奇數(shù)的六位奇數(shù)有個；第2類，十萬位排偶數(shù)的六位奇數(shù)有個．故符合題意的六位奇數(shù)共有個．解法二（從特殊元素入手）0不在兩端有種排法，從1，3，5中任選一個排在個位有種排法，其余各數(shù)位用余下的數(shù)字全排列，由分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的六位奇數(shù)共有個．故答案為：288練習(xí)28．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等.數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”.“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由0出現(xiàn)的次數(shù)分類求解作答.【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬位與個位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：最多1個0，取奇數(shù)字有種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有種，它們排入數(shù)位有種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)是個，最少2個0，取奇數(shù)字有種，占萬位和個位，兩個0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個數(shù)是個，由分類加法計算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個.故答案為：練習(xí)29．某34人班級派5人參觀展覽，班級里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡rap，14人喜歡籃球，每個人只喜歡一種.5人站一隊參觀，但是當(dāng)隊伍中第個人分別喜歡唱、跳、rap、籃球時，上述4人會討論蔡徐坤，展覽館不希望有人討論蔡徐坤.當(dāng)且僅當(dāng)兩個隊伍中至少有一個位置上的人的喜好不同，兩個隊伍才被認(rèn)為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊方案數(shù)為.【答案】【分析】就5個人中喜歡的種類分類討論后可得正確的排隊方案數(shù).【詳解】如果5個人中喜歡的種類有1種，則不同的排隊方案數(shù)為3種，如果5個人中喜歡的種類有2種，則不同的排隊方案數(shù)為；如果5個人中喜歡的種類有3種，則不同的排隊方案數(shù)為；如果5個人中喜歡的種類有4種，則不同的排隊方案數(shù)為；故不同的排隊方案數(shù)為.故答案為：.【點睛】思路點睛：對于較為復(fù)雜的計數(shù)問題，注意根據(jù)問題的特征選擇合理的分類討論的角度，這樣能簡化計算.練習(xí)30．現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求的排列方法共有種【答案】54【分析】利用排列組合先排特殊元素，再排其余元素即可【詳解】先排乙，從中間的3個位置中選1個安排乙，則有種方法，再排甲，從除左端外，剩下的3個位置中選1個安排甲，則有種方法，最后排其余3個，有種方法，所以由分步乘法原理可知共有種方法，故答案為：54題型七 染色問題例13．某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480【答案】C【分析】利用分類計數(shù)原理求解，按2與4兩區(qū)域種植果樹是否相同進(jìn)行分類即可.【詳解】分兩類情況：第一類：2與4種同一種果樹，第一步種1區(qū)域，有5種方法；第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；第三步種3區(qū)域，有3種方法；最后一步種5區(qū)域，有3種方法，由分步計數(shù)原理共有種方法；第二類：2與4種不同果樹，第一步在1234四個區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；第二步種5號區(qū)域，有2種方法，由分步計數(shù)原理共有種方法.再由分類計數(shù)原理，共有種不同的方法.故選：C.例14．在如圖所示的五塊土地上種植四種莊稼，有五種莊稼秧苗可供選擇，要求相鄰的土地不種同一種莊稼，共有（）種植方式．

A．240種 B．300種 C．360種 D．420種【答案】A【分析】先選出4種莊稼，再根據(jù)可能的相同莊稼情況計算種數(shù)，運用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，五塊土地上種植四種莊稼，先選出4種莊稼，共有種選擇，則地種植相同莊稼或地種植相同莊稼，共有種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，有種．故選：A練習(xí)31．某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．720種 B．1440種 C．1560種 D．2520種【答案】C【分析】先對圖中不同的區(qū)域命名，分與布置相同的花卉、與布置不同的花卉兩種情況，再運用分步計數(shù)和分類計數(shù)的方法從開始計數(shù)即可.【詳解】如圖，不同的布置方案分兩類：當(dāng)與布置相同的花卉時，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有5種不同的選擇；再安排，有4種不同的選擇；最后安排，有4種不同的選擇，共有種.當(dāng)與布置不同的花卉時，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有種不同的選擇；再安排,有3種不同的選擇；最后安排，有3種不同的選擇，共有種.所以不同的布置方案有種.故選：C練習(xí)32．中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種【答案】C【分析】由題意可得，只需確定區(qū)域的顏色，先涂區(qū)域1，再涂區(qū)域2，再分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同、區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同，最后根據(jù)分步乘法原理即可求解.【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域的顏色，即可確定整個傘面的涂色.先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇.故不同的涂色方案有種.故選：C練習(xí)33．（多選）如圖，用種不同的顏色把圖中四塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（

）A．B．當(dāng)時，若同色，共有48種涂法C．當(dāng)時，若不同色，共有48種涂法D．當(dāng)時，總的涂色方法有420種【答案】ABD【分析】根據(jù)同色或者不同色，即可結(jié)合選項，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】對于A，由于區(qū)域與均相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不同色，故A正確，對于B，當(dāng)時，此時按照的順序涂，每一個區(qū)域需要一個顏色，此時有種涂法，涂時，由于同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，B正確；對于C，當(dāng)時，涂有種，當(dāng)不同色（D只有一種顏色可選），此時四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂只能用與同色，此時共有24種涂法，C錯誤；對于D，當(dāng)時，此時按照的順序涂，每一個區(qū)域需要一個顏色，此時有種涂法，涂時，當(dāng)同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的兩種顏色中或者與同色的顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，當(dāng)不同色，此時四塊區(qū)域所用顏色各不相同，共有，只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂此時共有種涂法，綜上可知，總的涂色方法有420種，故D正確，故選：ABD練習(xí)34．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.【答案】96【分析】將格子自左向右編號為1，2，3，4，易得格子1，2有種選法，再分格子3與格子1相同和不同求解.【詳解】解：將格子自左向右編號為1，2，3，4，5,6格子1，2有種選法，當(dāng)格子3與格子1相同時，此時格子4，5，6都有2種選法，當(dāng)格子3與格子1不同時，此時格子3有1種選法，格子4，5，6都有2種選法，所以當(dāng)格子1和2顏色確定后，格子4，5，6共有種選法，所以不同的涂色方法有種，故答案為：96練習(xí)35．用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有種．

【答案】48【分析】根據(jù)題意，由分步乘法計數(shù)原理，即可得到結(jié)果.【詳解】先涂區(qū)域1，有4種選擇，再涂區(qū)域2，有3種選擇，接著涂區(qū)域3，有2種選擇，最后剩下的兩個區(qū)域有2種選擇．故不同的涂色方法有種．故答案為：題型八 平均分組問題例15．新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為語文，數(shù)學(xué)、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，“2”由考生在化學(xué)、生物，政治，地理4門科目中選考2門科目，若學(xué)生甲、乙隨機(jī)選擇自己的選考科目，則甲、乙選考的三門科目均不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合排列組合數(shù)的運算，利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】由題意，甲、乙隨機(jī)選擇自己的選考科目的情況有種，甲、乙選考的三門科目均不相同的情況有種，所以所求的概率是.故選：A例16．臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為．【答案】15120【分析】利用全排列計算長聯(lián)的分配方式，利用平均分組分配計算短聯(lián)的分配方式，結(jié)合分布乘法原理，可得答案.【詳解】4副長聯(lián)內(nèi)容不同，贈送方法有種；從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈送給乙戶老人，有種方法，再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈送給三戶老人，方法種數(shù)為．所以所求方法種數(shù)為．故答案為：.練習(xí)36．某冷飲店有“桃喜芒芒”“草莓啵?！薄懊厶宜募敬骸薄坝髨A葡萄”四種飲品可供選擇，現(xiàn)有四位同學(xué)到店每人購買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意按照分組分配問題的步驟，首先計算出恰有兩種飲品沒人購買的總數(shù)，再計算出四種飲品四人隨意選擇的總數(shù)，即可求得其概率.【詳解】解決該問題，可以將四位同學(xué)先分為2，2或3，1兩堆，共有種分堆方法，再從4種飲品中選出2種，分配給兩堆人，故共有種方法.所以恰有兩種飲品沒人購買的概率為.故選：A練習(xí)37．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）A．450種 B．360種 C．90種 D．70種【答案】A【分析】利用分組和分配的求法求得名航天員的安排方案，再利用分類加法計數(shù)原理即可求得.【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選