結構力學：影響線8-1影響線的概念一、移動荷載

例如：吊車在吊車梁上運行時，其輪壓對吊車梁而言是移動荷載。又如汽車、火車在橋梁上行駛時，其輪壓對橋梁來說也是移動荷載。

荷載的大小、方向一定，但荷載位置連續(xù)變化的荷載就稱為移動荷載。

汽車或火車輪壓產(chǎn)生的移動荷載的特點是：一組豎向集中力（可包括均布荷載），各集中力的大小、方向固定，相互間的位置也固定，作為整體在結構上移動。

在移動載荷作用下，結構任意截面的內力（M

、

Q

、

N）和位移（△、θ）及支座反力均隨移動荷載在結構上的位置變化而變化。P1P2P3P4a1a3a2ba4q

結構在移動荷載作用下，主要討論下述問題：

(1)對于給定截面C，其位移或內力（例如Mc）當給定的移動荷載在什么位置時得到最大值？該問題是求移動荷載的最不利位置問題。(2)對于給定的移動荷載組，簡支梁AB上哪個截面的彎矩當移動荷載在什么位置時取得最大值？該問題是簡支梁絕對最大彎矩的求解問題。

此外，還要討論簡支梁和連續(xù)梁的內力包絡圖的畫法等問題。

為求解以上問題，首先要討論結構影響線的求解。實際移動荷載是由若干集中力及均布荷載組成的，而且每個集中力的大小也不同。但我們首先要討論的是具有共性的問題，即單個移動荷載P=1在結構上移動時結構內力和位移的變化規(guī)律。P=1xBAlRA

現(xiàn)討論下圖所示簡支梁，當單個荷載P=1在梁上移動時，支座A的反力RA的變化規(guī)律。

由上式可見，RA與P成正比，比例系數(shù)稱為RA的影響系數(shù)，用表示，即：

在影響線圖形中，橫坐標x表示單位移動荷載在梁上的位置；縱坐標y表示當單位荷載在該位置時，影響系數(shù)的大小。

上式是反力影響系數(shù)與移動荷載位置參數(shù)x之間的函數(shù)關系，該函數(shù)圖形就稱為反力

RA的影響線，見下圖。xyRA影響線1yBP1AP2

若梁上作用有固定荷載（見下圖），則根據(jù)疊加原理，A支座的反力RA為：

xyy1y2RA影響線1

當單位集中移動荷載P=1在結構上移動時，表示結構指定截面的某量值Z變化規(guī)律的曲線，稱為Z的影響線。量值Z可以是截面內力或位移，也可以是支座反力。影響系數(shù)是Z與P的比例系數(shù)，即：二、

影響線定義

與Z的量綱不同，它們相差一個荷載P的量綱。一、簡支梁的影響線（1）支座反力影響線8-2靜力法作靜定單跨梁影響線P=1xBAlRARA影響線RB影響線（2）彎矩和剪力影響線當P=1在AC段，取CB段作隔離體：bBC11當P=1在CB段，取AC段作隔離體：aCAMC影響線

ab截面C彎矩和剪力影響線如下圖示。QC影響線

llal二、伸臂梁的影響線

作伸臂梁的影響線時，先畫出簡支梁的影響線，然后延伸至懸臂段。（1）支座反力影響線RA及RB的影響線如右圖示。xP=1ACablBddEDllRA影響線

RB影響線當P=1在DC段時，取CE段作隔離體(圖a)：（2）C截面彎矩及剪力影響線

當P=1在CE段時，取DC段作隔離體(圖b)：dADaCbBCdEa)b)MC影響線QC影響線

MC及QC影響線如下圖示：（3）作QA右及A左截面內力影響線

先作QA右影響線。QA右影響線如下圖示。當P=1在DA段，取AE段作隔離體（圖a)：當P=1在AE段，取DA段作隔離體（圖b)：A右dDb)lBdEa)A右QA右影響線容易求得QA左及MA左影響線見下圖。小結：

伸臂梁簡支段AB某截面彎矩和剪力的影響線在AB段與簡支梁相同，伸臂段圖形則是簡支段圖形的延伸。d1MA左影響線QA左影響線l

如圖簡支梁AB，荷載P=1在上部縱梁上移動，縱梁支在橫梁上，橫梁由主梁支承。求主梁AB某截面內力Z的影響線。P=1ACDKxB

由下面的證明可以得出結論：在結點荷載作用下，主梁截面K某內力Z的影響線在相鄰結點之間是一條直線。下面以MK為例加以證明。8-3結點荷載作用下梁的影響線MK影響線（直接荷載）AKBa)ydycCD證明：(1)在直接移動荷載作用下，MK的影響線已經(jīng)畫出。當P=1在截面C或D時，可得（見圖a)

）(2)在結點荷載作用下，當移動荷載P=1作用在C﹑D截面之間時，根據(jù)疊加原理可得（圖b)：dCDKP=1b)

可見，是的一次函數(shù)，也是x的一次函數(shù)。所以，MK影響線在結點C、D之間是一直線。MK影響線（結點荷載）ACKDBycydc)結點荷載作用下

MK影響線如下圖c)所示：作結點荷載下影響線的步驟為：(1)作截面K的某量值Z在直接移動荷載下的影響線，并確定與各結點對應的豎標。(2)確定與各結點對應的豎標，在兩結點之間連以直線，就得到結點荷載作用下的影響線。

在結點荷載作用下，

QK影響線如下圖所示：QK影響線ACKDB

平面桁架只承受結點荷載，單位移動荷載P=1通過縱梁﹑橫梁（橫梁放置在結點上）系統(tǒng)傳給桁架結點，如同前面討論的簡支梁受結點荷載的情況一樣。因此，桁架任一桿的軸力影響線在兩結點之間是一直線。求桁架桿件軸力的影響線時，把單位移動荷載P=1依次作用在各結點上，用結點法或截面法求出桿件的軸力即可。8-4靜力法作桁架的影響線例8-1

作圖示桁架N1﹑N2的影響線。解：(1）支座反力RA﹑RB的影響線與跨度為5d的簡支梁相同。P=1AEFP=121BCD5dIIh(2)

求N1的影響線（上承）

當P=1在結點C左側，取截面II以右為隔離體：

當P=1在結點D右側，取截面I-I以左為隔離體：ABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hN1影響線（上承）6d/5h

相應簡支梁F截面的彎矩。求N1的影響線（下承）

當P=1在結點E左側，取截面I-I以右為隔離體：

當P=1在結點F右側，取截面I-I以左為隔離體：ABEF6d/5hN1影響線（下承）2d/h3d/h

相應簡支梁F截面的彎矩。（3)

求N2的影響線（上承）

當P=1在結點C左側，取截面I-I以右為隔離體：

當P=1在結點D右側，取截面I-I以左為隔離體：——相應簡支梁節(jié)間CD的剪力。hd/2ABCDN2影響線(上承)hd/2求N2的影響線（下承）

當P=1在結點E左側，取截面I-I以右為隔離體：當P=1在結點F右側，取截面I-I以左為隔離體：——相應簡支梁節(jié)間EF的剪力。ABEFN2影響線（下承）hd/28-5機動法作靜定梁的影響線

機動法作靜定結構影響線是應用虛功原理把求影響線的靜力平衡問題轉化為作剛體位移圖的幾何問題。對于單跨或多跨梁，由于剛體位移圖很容易確定，所以影響線的求解十分簡捷。

P=1xl/4l/4lAB機動法作影響線的原理和步驟（1）撤去與相應的約束，代之以反力，原結構變成具有一個自由度的機構。

（2）令該機構產(chǎn)生剛體位移，使與Z方向一致，則虛功方程為：上式中，恒為正；與P同向為正，反向為負。乘積的正負號由的正負號調整。P=1xAB可見，在圖中，令，并將圖反號，就求得Z的影響線，并且能確定影響線的正負號及豎標大小。（3）

由上式可得:令得到AB1RB影響線用機動法求下圖所示伸臂梁MC及QC的影響線。例8-2P=1ABC2ddddx解：（1）

作MC的影響線

將C截面變?yōu)殂q結，暴露出彎矩；令該機構產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面相對轉角與同向，就得到圖，見下頁圖。

虛功方程為:

ABC令則

上式表明，在圖中，令并反號，就可求得MC影響線。MC影響線（2）作QC的影響線

將C截面改為滑動連結，暴露出剪力；令該機構產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面位移方向與相同，就得到圖，見下頁圖。虛功方程為:

令則ABC

上式表明，在圖中，令并反號，就可求得QC影響線。QC影響線例8-3

用機動法作圖示靜定多跨梁的影響線。xP=1ABCDl/2l/2l/2l/2RA影響線ABD解：QB左影響線ACDBMB影響線DACBxP=1ABCDl/2l/2l/2l/2QB右影響線ADBC8-6影響線的應用一、求各種固定荷載作用下的影響

若已求得指定截面某量值Z的影響線，根據(jù)疊加原理，就可以求得固定荷載作用下該量值Z的大小。

右圖示梁截面C彎矩MC的影響線已求出，求固定荷載作用下MC的值。0.253m1mA1m1mB0.750.75MC影響線C一組集中荷載：均布荷載：CBqC0.5m2m20kN15kN10kNMC影響線3m1mA1m1mB0.250.750.375C

把單個集中移動荷載放在影響線的最大或最小豎標位置，就得到最不利荷載位置，進而求得Zmax或Zmin

。二、最不利荷載位置

使結構指定截面的某量值Z達到最大值Zmax或最小值Zmin時實際移動荷載的位置，稱為最不利荷載位置。（1）單個集中移動荷載

對于剪力QC影響線，將集中力P放在截面C，見右圖，就得到：ABb/la/lQC影響線C

對于伸臂梁的MC影響線（見下圖），將FP分別放在截面C和E，就得到：（2）可任意布置的均布活荷載

可任意布置的均布活荷載通常指人群荷載。在影響線正號部分布滿均布活載，可以求得Zmax；在影響線負號部分布滿均布活載，可以求得Zmin。ADBymaxyminMC影響線CEq求(MC)

max求(MC)

minqqω1ω3ω2ADBMC影響線CE（3）一組移動集中荷載

一組移動集中荷載：各集中力的大小、方向及相互間的距離均保持不變，作為整體在結構上移動。為了確定最不利荷載位置，原則上使排列密集、數(shù)值較大的集中力放在影響線豎標較大的部位，而且一定有一個集中力位于影響線的某個頂點上。為確定最不利荷載位置，通常分兩步：①求出使Z達到極值的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置，而且可能不止一個。②從Z的極大值中選出最大值，從Z的極小值中選出最小值，從而確定最不利荷載位置。下面以多邊形影響線為例，說明臨界荷載位置的特點及其判定方法。P1P2R1P3P4R2P5P6R3ΔxxΔxΔx

因為是x的一次函數(shù)，所以Z也是x的一次函數(shù)。若荷載右移動Δx，則豎標的增量為：則Z的增量為：

在影響線圖中，α1>0，α2>0，α3<0。

由上面影響線圖可得出:

因為Z是x的一次函數(shù)，所以Z-x圖形是折線圖形。于是ΔZ/Δx是折線圖形中各折線段的斜率。對于折線圖形，極值發(fā)生在使ΔZ/Δx變號的尖點處。xZ+-+00-極大值點xZ-+-00+極小值點

若移動荷載組在某位置剛好使Z取得極大值，則：當Δx>0，即荷載稍向右移，。當Δx<0，即荷載稍向左移，。

若移動荷載組在某位置剛好使Z取得極小值，則：當Δx>0，即荷載稍向右移，。當Δx<0，即荷載稍向左移，。

總之，當荷載在Z的極值點位置稍向左、右移動時，必須變號。如何使變號？是常數(shù)，可以變化的只是Ri。為了使Ri變化，必須有一個集中力位于影響線的頂點，此荷載記作Rcr，當Rcr位于影響線的頂點以左或以右時，會引起Ri發(fā)生變化，如下圖示。P1P2R1PcrP4P5R2P1P2R1RcrP4P5R2

當移動荷載組左右移動時，能使改變符號的荷載Pcr稱為臨界荷載，相應的移動荷載組的位置稱為臨界位置。

在給定的移動荷載組中，能使變號的臨界荷載可能不止一個。確定最不利荷載位置的步驟如下：（1)

選定一個集中力作為Pcr，使它位于影響線的一個頂點上；（2）當Pcr稍作左右移動時，分別計算的值。若變號，則此Pcr即為一臨界荷載，相應的荷載位置為臨界位置。用同樣的方法可以確定其它的Pcr及相應的荷載臨界位置。（3)

對于每個荷載臨界位置求出相應的Z值，比較各個Z值，可確定Zmax及Zmin，進而確定相應的最不利荷載位置。例8-4

如下圖多邊形影響線及移動荷載組，試求荷載最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m，P1=P2=P3=P4=P5=90kN。P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m30mZ的影響線6m4m8mα1α310.75α21）將P4放在影響線的最大點，移動荷載組的位置如下圖示。2）計算。解：Z的影響線P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷載稍向右移，各段荷載合力為：Z的影響線P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷載稍向左移，各段荷載合力為：Z的影響線P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m1α26m4m8mα1α310.750.810.9063.5/8

因為變號，故P4為臨界荷載，相應的荷載位置為臨界位置。3）計算Z值

容易確定只有P4是臨界荷載，所以相應的荷載位置就是最不利荷載位置。

對于三角