專題03圓中的重要模型-四點共圓模型四點共圓是初中數(shù)學(xué)的常考知識點，近年來，特別是四點共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計算題或選擇中四點共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點共圓的四種重要模型。四點共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。模型1、定點定長共圓模型（圓的定義）【模型解讀】若四個點到一定點的距離相等，則這四個點共圓。這也是圓的基本定義，到定點的距離等于定長點的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個點O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓（其中圓心為O）。例1．（2022·江蘇·二模）如圖，點為線段的中點，點到點的距離相等，若則的度數(shù)是例2．（2022秋·江西贛州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點O為線段AB的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2022·內(nèi)蒙古包頭·三模）問題背景：如圖1，等腰中，，作于點D，則D為的中點，，于是；遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點在同一條直線上，連接．①求證：；②請直接寫出線段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點C關(guān)于的對稱點E，連接并延長交于點F，連接，．證明是等邊三角形；例4．（2022·北京市·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則___，___．模型2、定邊對雙直角共圓模型同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AD為直徑。2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓，其中AC為直徑。例1．（2022秋·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，連接AC、BD，點O為AB的中點，若，則下面結(jié)論一定正確的是．①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④點A、C、D到點O的距離相等．例2．（2022·浙江嘉興·二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點E，EA平分∠BED．（1）CD的長是；（2）當(dāng)點F是AC中點時，四邊形ABCD的周長是．例3．（2022·湖北武漢·校考二模）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點，且∠BPD＝45°，連接CP．若AP＝2，求△APC的面積；例4．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點O為對角線AC的中點，點E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F，連接FE并延長交AC的延長線于點G，則＝．模型3、定邊對定角共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點共圓.例1．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．例2．（2022秋·湖南長沙·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．例3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）請閱讀以下材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點，是線段同側(cè)兩點，且．求證：點，，，四點共圓．證明：作的外接圓，假設(shè)點在外或在內(nèi)．如圖2，若點在外．設(shè)與交于點，連接，則（依據(jù)一），又（依據(jù)二），．．這與已知條件“”矛盾，故點在外不成立；如圖3，若點在內(nèi)，（請同學(xué)們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作的外接圓，點在上，即點，，，四點共圓．(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形中，，對角線，交于點，為中點，若，，則．模型4、對角互補共圓模型條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個點滿足，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長線交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點共圓.例1．（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)．(1)畫出．(2)直線與直線相交于點，證明：A，，，四點共圓．例2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，中，，平分，，連接，并延長分別交，于點和點，若，，則的長為（）A．10 B．12 C．15 D．16例3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，，點、分別是線段、射線上的動點，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．

例4．（2023·河南南陽·?？既＃┚C合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓．在實際應(yīng)用中，如果運用這個定理，往往可以讓復(fù)雜的問題簡單化，以下是小明同學(xué)對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整．

特殊情況分析：(1)如圖1，正方形中，點為對角線上一個動點，連接，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，交直線于點．小明的思考如下：連接，∵，，∴，（依據(jù)1）∵，∴，∴點共圓，∴，，（依據(jù)2）∴，∴．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應(yīng)為___________，②依據(jù)2應(yīng)為___________，③依據(jù)3應(yīng)為___________；一般結(jié)論探究：(2)將圖1中的正方形改為菱形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請僅以圖2的形式證明，若不成立，請說明理由；結(jié)論拓展延伸：(3)如圖2，若，，當(dāng)為直角三角形時，請直接寫出線段的長．課后專項訓(xùn)練1．（2023·廣西·中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）A．B．C．D．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．13．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結(jié)，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當(dāng)AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．44．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．6．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點D為上一點，，點E在線段上，，若，，則的最大值為．7．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點N與點A重合，射線從處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點E，第20秒時點E在量角器上運動路徑長是．

8．（2022秋·北京海淀·九年級?？计谥校┤鐖D，點O為線段的中點，點B，C，D到點O的距離相等，連接，．請寫出圖中任意一組互補的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)和字母）9．（2022·廣東·東莞市九年級期末）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面內(nèi)一動點，且∠ADB＝30°，則CD的最小值是________10．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，為的中點，為邊上的任意一點，把沿折疊，得到，連接．若，，當(dāng)取最小值時，的值等于．11．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O(shè)為圓心的圓上．

12．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點．(1)線段與有何關(guān)系．說明理由；(2)延長、交于點H，則B、D、G、H這四個點是否在同一個圓上．說明理由．13．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）【結(jié)論理解】“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形的四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．(1)【問題探究】如圖1，在矩形中，點E為上一點，將沿翻折，點C的對應(yīng)點F恰好落在邊上，做經(jīng)過F、E、C三點的圓，請根據(jù)以上結(jié)論判斷點B點______（填“在”或“不在”）該圓上；(2)如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，求四邊形的面積．(3)【問題解決】如圖3，四邊形是某公園的一塊空地，現(xiàn)計劃在空地中修建與兩條小路，（小路寬度不計），將這塊空地分成四部分，記兩條小路的交點為P，其中與空地中種植草坪，與空地中分別種植郁金香和牡丹花．已知，且點C到的距離是，求種植牡丹花的地塊的面積比種植郁金香的地塊的面積多多少？14．（2023秋·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）請仔細(xì)閱讀以下材料：定理一：一般地，如圖，四邊形中，如果連接兩條對角線后形成的，則四點共圓．我們由定理可以進(jìn)一步得出結(jié)論：，，．定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．溫馨提示：下面問題的關(guān)鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請直接運用相關(guān)結(jié)論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．探究問題：如圖，在和中，，，，連接交于點，交于點，連接．(1)求證；(2)請直接寫出___________度，___________度；(3)若，求證．15．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）以下是“四點共圓”的幾個結(jié)論，你能證明并運用它們嗎？I．若兩個直角三角形有公共斜邊，則這兩個三角形的4個頂點共圓（圖①、②）；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的4個頂點共圓（圖③）；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點與線段兩端點連線的夾角相等，則這兩點和線段兩端點共圓（圖④）．(1)在圖①、②中，取的中點O，根據(jù)得，即A，B，C，D共圓；(2)在圖③中，畫⊙O經(jīng)過點A，B，D（圖⑤）．假設(shè)點C落在外，交于點E，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點C也不會落在內(nèi)，即A，B，C，D共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．(3)利用四點共圓證明銳角三角形的三條高交于一點．已知：如圖⑥，銳角三角形的高，相交于點H，射線交于點F．求證：是的高．（補全以下證明框圖，并在圖上作必要標(biāo)注）(4)如圖⑦，點P是外部一點，過P作直線，，的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，D，且點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．求證：點P在的外接圓上．16．（2022春·成都市九年級課時練習(xí)）定義：如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，那么我們把這稱為四點共圓．(1)下列幾何圖形的四個頂點構(gòu)成四點共圓的有．（填序號）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．(2)已知△ABC中，∠A＝40°，如圖1，平面上一點D，使得A、B、C、D四點共圓，試求∠BDC的度數(shù)．(3)若△ABC的外接圓為⊙O，半徑為r，平面上有兩點E、F，分別與△ABC的三個頂點構(gòu)成四點共圓（E在AB的左側(cè)，F(xiàn)點在AC的右側(cè)），如圖2．①試判斷∠E+∠F﹣∠BAC的值是否為定值？如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由；②若BC弦的長度與⊙O的半徑r之比為：1，并且邊AB經(jīng)過圓心O，如圖3，試求五邊形AEBCF的最大面積（用含r的式子表示）．17．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）綜合與實踐小明在劉老師的指導(dǎo)下開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．小明繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．【提出問題】如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點不與，重合，連接，，則依據(jù)．，，點，，，四點在同一個圓上對角互補的四邊形四個頂點共圓，點，在點，，所確定的上依據(jù)．點，，，四點在同一個圓上．

【反思?xì)w納】(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”“