專題27與圓有關(guān)的計(jì)算（分層精練）1．（2022?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長(zhǎng)為（）A．6π B．2π C．π D．π【答案】D【解答】解：∵直徑AB＝6，∴半徑OB＝3，∵圓周角∠A＝30°，∴圓心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的長(zhǎng)是＝π，故選：D．2．（2022?廣西）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B′D⊥AB時(shí)，的長(zhǎng)是（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，∴，∴的長(zhǎng)度l＝＝π．故選：B．3．（2021?廣州）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB＝60°，則劣弧AB的長(zhǎng)是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm【答案】B【解答】解：由題意得：CA和CB分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴＝16π（cm），故選：B．4．（2021?廣安）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從A地走到B地有觀賞路（劣弧AB）和便民路（線段AB）．已知A、B是圓上的點(diǎn)，O為圓心，∠AOB＝120°，小強(qiáng)從A走到B，走便民路比走觀賞路少走（）米．A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18【答案】D【解答】解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC＝BC，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，AC＝＝米，∴AB＝2AC＝米，又∵的長(zhǎng)＝米，∴走便民路比走觀賞路少走（）米，故選：D．5．（2022?資陽(yáng)）如圖．將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開(kāi)后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：連接CO，直線l與AO交于點(diǎn)D，如圖所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵點(diǎn)A與圓心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝＝，∴陰影部分的面積為：＝﹣，故選：B．6．（2021?寧夏）如圖，已知⊙O的半徑為1，AB是直徑，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。畠苫∠嘟挥贑、D兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接BC，如圖，由作法可知AC＝BC＝AB＝2，∴△ACB為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴圖中陰影部分的面積＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4×﹣2××22﹣π×12＝π﹣2．故選：A．7．（2021?興安盟）如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是的中點(diǎn)，且扇形CFD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE、CF交于點(diǎn)G，半徑BE、CD交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（）A． B． C．π﹣1 D．π﹣2【答案】D【解答】解：兩扇形的面積和為：＝π，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分別為M、N，則四邊形EMCN是矩形，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG與△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對(duì)角線是的正方形面積，∴空白區(qū)域的面積為：××＝1，∴圖中陰影部分的面積＝兩個(gè)扇形面積和﹣2個(gè)空白區(qū)域面積的和＝π﹣2．故選：D．8．（2021?柳州）如圖所示，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)A′，則此時(shí)線段CA掃過(guò)的圖形的面積為（）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解答】解：由題意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A′C＝AC＝4．在Rt△A′BC中，cos∠ACA′＝＝．∴∠ACA′＝60°．∴扇形ACA′的面積為＝π．即線段CA掃過(guò)的圖形的面積為π．故選：D．9．（2022?濟(jì)寧）已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【解答】解：∵底面圓的直徑為6cm，∴底面圓的半徑為3cm，∴圓錐的側(cè)面積＝×8×2π×3＝24πcm2．故選：D．10．（2022?牡丹江）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是：2π×1＝2π，設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則＝2π，解得：n＝120．故選：C．11．（2022?無(wú)錫）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，由已知得，母線長(zhǎng)l＝5，半徑r為4，∴圓錐的側(cè)面積是S＝πl(wèi)r＝5×4×π＝20π．故選：C．12．（2022?綿陽(yáng)）如圖，錨標(biāo)浮筒是打撈作業(yè)中用來(lái)標(biāo)記錨或沉船位置的，它的上下兩部分是圓錐，中間是圓柱（單位：mm）．電鍍時(shí)，如果每平方米用鋅0.1千克，電鍍1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒，需要多少千克鋅？（π的值取3.14）（）A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000【答案】A【解答】解：由圖形可知圓錐的底面圓的半徑為0.3m，圓錐的高為0.4m，則圓錐的母線長(zhǎng)為：＝0.5m．∴圓錐的側(cè)面積S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），∵圓柱的高為1m．圓柱的側(cè)面積S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），∴浮筒的表面積＝2S1+S2＝0.9π（m2），∵每平方米用鋅0.1kg，∴一個(gè)浮筒需用鋅：0.9π×0.1kg，∴1000個(gè)這樣的錨標(biāo)浮筒需用鋅：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．故選：A．13．（2022?賀州）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開(kāi)始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：如圖：∵圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，∴△ABC是等腰直角三角形，∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，由已知可得：液體的體積為π×32×7＝63π（cm3），圓錐的體積為π×62×6＝72π（cm3），∴計(jì)時(shí)結(jié)束后，圓錐中沒(méi)有液體的部分體積為72π﹣63π＝9π（cm3），設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)束后，“沙漏”中液體的高度AD為xcm，則CD＝DE＝（6﹣x）cm，∴π?（6﹣x）2?（6﹣x）＝9π，∴（6﹣x）3＝27，解得x＝3，∴計(jì)時(shí)結(jié)束后，“沙漏”中液體的高度為3cm，故選：B．14．（2022?綿陽(yáng)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2﹣2，3）B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，則點(diǎn)B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣（2﹣2）＝2﹣2，縱坐標(biāo)為1+2＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2﹣2，3），故選：A．15．（2022?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】D【解答】解：連接OB、OC，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝3，∴OM＝＝＝3，的長(zhǎng)為：＝2π，故選：D．16．（2022?青海）如圖，從一個(gè)腰長(zhǎng)為60cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，則此扇形的弧長(zhǎng)為cm．【答案】20π【解答】解：過(guò)O作OE⊥AB于E，當(dāng)扇形的半徑為OE時(shí)扇形OCD最大，∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝30cm，∴弧CD的長(zhǎng)＝＝20πcm，故答案為：20π．17．（2022?廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長(zhǎng)是．（結(jié)果保留π）【答案】2π【解答】解：連接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵圓O與邊AB相切于點(diǎn)D，∴∠ADO＝90°，∴∠A+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，∴劣弧的長(zhǎng)是＝2π．故答案為：2π．18．（2022?河南）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O′處，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為．【答案】+【解答】解：如圖，設(shè)O′A′交于點(diǎn)T，連接OT．∵OT＝OB，OO′＝O′B，∴OT＝2OO′，∵∠OO′T＝90°，∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，∴S陰＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）＝﹣（﹣×1×）＝+．故答案為：+．19．（2022?廣元）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰經(jīng)過(guò)圓心O，若AB＝2，則陰影部分的面積為．【答案】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線并延長(zhǎng)，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AO，AD，根據(jù)垂徑定理得：AC＝BC＝AB＝，∵將⊙O沿弦AB折疊，恰經(jīng)過(guò)圓心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴陰影部分的面積＝S扇形ADO＝×π×22＝．故答案為：．20．（2022?重慶）如圖，菱形ABCD中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AD，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AB＝2，∠BAD＝60°，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果不取近似值）【答案】【解答】解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，則AC⊥BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，∴BO＝AB＝1，AO＝AB＝，∴AC＝2OA＝2，BD＝2BO＝2，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝2，∴S陰影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE＝2﹣＝，故答案為：．21．（2022?聊城）若一個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的，則其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為．【答案】120°【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開(kāi)扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n°．由題意得S底面＝πr2，l底面周長(zhǎng)＝2πr，∵這個(gè)圓錐體的底面積是其表面積的，∴S扇形＝3S底面＝3πr2，l扇形弧長(zhǎng)＝1底面＝2πr．由S扇形＝l扇形弧長(zhǎng)×R得3πr2＝×2πr×R，故R＝3r．由l扇形弧長(zhǎng)＝得：2πr＝，解得n＝120．故答案為：120°．22．（2022?黑龍江）已知圓錐的高是12，底面圓的半徑為5，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)為．【答案】26+10π【解答】解：∵圓錐的底面半徑是5，高是12，∴圓錐的母線長(zhǎng)為13，∴這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)＝2×13+2π×5＝26+10π．故答案為26+10π．23．（2022?貢井區(qū)模擬）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和（陰影部分面積）是．【答案】（6﹣π）【解答】解：6個(gè)月牙形的面積之和＝3π﹣（22π﹣6××2×）＝6﹣π，故答案為：6﹣π．24．（2022?青海）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線EF，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：AF⊥EF；（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，如圖：∵AD平分∠CAB，∴∠FAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠FAD＝∠ODA，∴OD∥AF，∵EF是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF；（2）解：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于K，連接DK，DC，如圖：∵CK是⊙O的直徑，∴∠CDK＝90°，∴∠K+∠DCK＝90°，∵OD⊥EF，∴∠ODF＝90°，即∠ODC+