勾股定理的簡單應(yīng)用1．勾股定理的適用范圍勾股定理只適用于直角三角形．或一個(gè)三角不是直角三角形，必須添加輔助線構(gòu)造直角三角形才能用勾股定理．2．勾股定理簡單應(yīng)用形式（1）已知直角三角形任意兩邊，求第三邊；（2）已知直角三角形任意一邊，確定另外兩邊的數(shù)量關(guān)系；（3）構(gòu)造方程或方程組計(jì)算與直角三角形有關(guān)的長度、高度、距離、面積等問題；（4）證明含有平方關(guān)系的幾何問題；1.已知中，，若，，則的面積為（）A.9 B.18 C.24 D.362.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊cm，cm，將折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，則的長為（）A. B. C. D.3.如圖直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）A.16 B.6 C.4 D.54.如圖，已知中，，，，P、Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求的長；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，能形成等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【練經(jīng)典】5.如圖，中，，，則的長為（）A.2 B. C. D.6.如圖，在中，，，的面積為90，則AC的長是（）A.9 B.12 C. D.247.如圖，在中，，，，平分，則的長度是______．8.如圖，中，，，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2s后，求的周長；（2）求出t為何值時(shí)，為等腰三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到任意一條角平分線上時(shí)（不與頂點(diǎn)A，B，C重合），直接寫出t的值．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：沒有明確斜邊與直角邊導(dǎo)致錯(cuò)誤9.在中，已知兩邊長為3、4，則斜邊的長為______勾股定理逆定理的簡單應(yīng)用1．勾股定理逆定理適用范圍以數(shù)判形，由三角形三邊的長度來判斷三角形的形狀；2．勾股定理逆定理應(yīng)用步驟（1）首先確定最大邊（如）．（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系．若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形．備注：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊．3．勾股定理逆定理應(yīng)用形式（1）已知三角形三邊的長度，判斷三角形的形狀；（2）在圖形中尋找與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)；（3）在網(wǎng)格中判斷直角或直角三角形；（4）求某些不規(guī)則圖形的面積；10.已知三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（）A. B.C. D.11.如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.12.如圖是由單位長度均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D都是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，由其中任意三個(gè)點(diǎn)連接而成的三角形是直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)13.若一個(gè)三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為60cm，則它的面積為___________..14.如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為______．15.已知：如圖，四邊形中，，求四邊形的面積．練經(jīng)典】16.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）A.1，2，3 B.6，8，10 C.，， D.4，5，617.如圖，在以下四個(gè)正方形網(wǎng)格中，各有一個(gè)三角形，不是直角三角形的是（）A. B. C. D.18.如圖，在由25個(gè)邊長為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以為邊畫，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C共_____個(gè)．19.在中，，，上的高長為，則的面積為______．20.筆直的河流一側(cè)有一旅游地點(diǎn)，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)、，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離．近階段由于點(diǎn)到點(diǎn)的路線處于維修中，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)（點(diǎn)在同一條直線上），并新建一條路，測得，，．（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求原路線的長．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：使用勾股定理逆定理時(shí)，沒有考慮最長邊而導(dǎo)致對直角作出錯(cuò)誤判斷．21.已知中，，，（n為大于2的整數(shù)），則∠_____．勾股定理與折疊問題1．折疊問題的解題思路環(huán)節(jié)2．最短路徑問題的方法①解決立體圖形中最短距離問題的關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線展開，轉(zhuǎn)化為平面問題后，借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理求解．②平面圖形的最短路徑通常是作軸對稱變換，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的模型來解決問題．3．最短路徑常見的模型常見的有圓柱體的展開、長方體的展開、樓梯的展開、繞繩的展開和將軍飲馬模型、“造橋選址”模型、費(fèi)馬點(diǎn)等，2．折疊問題中常見的幾何模型22.如圖，在長方形中（），點(diǎn)E在邊上，且，將沿折疊，若點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在矩形的邊上，，則的長度為_____．23.如圖，中，，，，點(diǎn)D在上，將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，則的最大值為（）A. B. C. D.24.如圖1，分別以長方形的邊，所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1）直接寫出=_________；=____________;（2）如圖2，點(diǎn)E在線段上，以直線為軸，把翻折，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段上．直接寫出的長，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A，P，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【練經(jīng)典】25.如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重疊部分的面積為（）

A. B. C. D.26.如圖，的紙片中，，點(diǎn)D在邊上，以為折痕將折疊得到，與邊交于點(diǎn)，若為直角三角形，則的長為______________．27.如圖，將長方形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，其中，求的長．勾股定理與最短路徑問題1．最短路徑問題的解題思路環(huán)節(jié)28.如圖，正方體的棱長為，A是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，B是側(cè)面正方形對角線的交點(diǎn)，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑長是（）A. B. C. D.29.圓柱的底面圓的周長是12，高是8，螞蟻從下底面的點(diǎn)A沿側(cè)面爬到點(diǎn)B，最短路徑的長是（）A.6 B.7 C.9 D.1030.如圖，在等腰中，，平分，平分分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.1031.如圖，長方形中，，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則最小值為_______．【練經(jīng)典】32.如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．如果用細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面繞一圈到達(dá)B點(diǎn)，那么所有的細(xì)線最短需要（）．A.10 B. C.14 D.1533.如圖，一個(gè)圓柱形花瓶上下底面圓上有相對的A，B兩點(diǎn)，現(xiàn)要用一根金色鐵絲裝飾花瓶，金色鐵絲沿側(cè)面纏繞花瓶一圈，并且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．若花瓶高16cm，底面圓的周長為24cm，則需要金色鐵絲的長度最少為（）A.20cm B. C. D.40cm34.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，點(diǎn)M，N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CM，MN，則CM+MN的最小值是()A.3 B.5C.4 D.2.4（2022·陜西·無八年級期中）35.如圖，臺(tái)階階梯每一層高，寬，長，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短路程是______．勾股定理與方向角問題（1）方向角問題的思路畫圖→標(biāo)出方向角→尋找或構(gòu)造直角三角形→用勾股定理求解．（2）方向角常見的模型36.如圖，在“慶國慶，手拉手”活動(dòng)中，某小組從營地A出發(fā)，沿北偏東方向走了1200m到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)，此時(shí)A，C兩點(diǎn)之間的距離為（）A.1000m B.1100m C.1200m D.1300m【練經(jīng)典】37.海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo)．A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開港口O，向北偏西方向航行；同時(shí)，B艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開港口5小時(shí)后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是______．4、勾股定理與梯子移動(dòng)問題（1）梯子移動(dòng)問題的思路抓住梯子移動(dòng)前后的兩個(gè)直角三角形，梯子的長度就是這兩個(gè)直角三角形的斜邊；（2）梯子移動(dòng)常見模型38.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為，頂端距離地面，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面，那么小巷的寬度為（）A. B. C. D.【練經(jīng)典】39.如圖，將墻面和地平線的一部分分別標(biāo)記，，且．把長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻角6m．如果梯子的頂端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑動(dòng)的距離BD．勾股定理逆定理的其它實(shí)際問題1．勾股定理與斷樹問題2、勾股定理與古代問題40.如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長為8尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）A.7.5尺 B.8尺 C.8.5尺 D.9尺41.如圖，一架云梯長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了（）A.4米 B.6米 C.7米 D.8米42.如圖所示，一棵高的樹被風(fēng)刮斷了，樹頂落在離樹根處，則折斷處的高度為__．43.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，匯集了我國歷代學(xué)者的勞動(dòng)和智慧，被譽(yù)為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．其中記錄了這樣一個(gè)問題，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：今有竹高10尺，末端被折斷而抵達(dá)地面，離竹根部有3尺，則竹的余高為_______尺．【練經(jīng)典】44.如圖，一根木桿在離地面處折斷，木桿頂端落在離木桿底端處，木桿折斷之前的高度是（）A. B. C. D.45.《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：不構(gòu)造直角三角形直接用勾股定理導(dǎo)致錯(cuò)誤．46.如圖，某小區(qū)有一塊四邊形的空地，物業(yè)計(jì)劃沿AC修一條筆直的小路(小路寬度不計(jì))，并在三角形ABC和三角形ACD兩個(gè)區(qū)域內(nèi)分別種植牡丹花和杜鵑花以供觀賞．經(jīng)測量，米，米，米，求四邊形ABCD的面積．【新定義小練】47.我們規(guī)定：經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)且將三角形的周長分成相等的兩部分的直線叫做該三角形的“等周線”，“等周線”被這個(gè)三角形截得的線段叫做該三角形的“等周徑”．例如等邊三角形的邊長為，則它的“等周徑”長為．在中中，，，，若直線l為的“等周線”，請直接寫出的所有“等周徑”長為______．48.對于平面直角坐標(biāo)系中的線段及點(diǎn)Q，給出如下定義：若點(diǎn)Q滿足，則稱點(diǎn)Q為線段的“中垂點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，則稱點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”（1）如圖1，，下列各點(diǎn)中，線段的中垂點(diǎn)是．，，（2）如圖2，點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn)，若為線段的“完美中垂點(diǎn)”，寫出線段的兩個(gè)“完美中垂點(diǎn)”是和，兩者的距離是．（3）如圖3，若點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段的“完美中垂點(diǎn)”在y軸上，在線段上方畫出線段的“完美中垂點(diǎn)”M，求（用含m的式子表示）．并求出（寫出簡單思路即可）．【閱讀類小練】49.直角三角形三邊滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？情況一：銳角三角形如圖①，在中，CD為斜邊AB邊上的高，在DC的延長線上取一點(diǎn)E，連接AE，BE，得到銳角三角形ABE，∵，∴．得出結(jié)論：銳角三角形夾銳角兩邊的平方和大于第三邊的平方．像這種不用進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算或推理，通過構(gòu)造圖形可以直觀得到結(jié)論的方法，我們稱之為“構(gòu)圖直觀法”．情況二：鈍角三角形你能借助上述“構(gòu)圖直觀法”，得到鈍角三角形三邊之間類似的關(guān)系嗎？請?jiān)趫D②中畫出圖形，得出結(jié)論并說明理由．得出結(jié)論：_____________．方法應(yīng)用：下面我們用這種方法來研究其他問題：已知正方形ABCD，現(xiàn)作一個(gè)大正方形，使得正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在大正方形的四條邊上，則大正方形和正方形ABCD的面積之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）如圖③，作出一個(gè)滿足要求的大正方形EFGH，使得正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在大正方形各邊中點(diǎn)上．過點(diǎn)A，B，C，D分別作大正方形的邊的平行線，恰好與正方形ABCD的兩條對角線所在直線重合，觀察圖形，則與的數(shù)量關(guān)系為：_______．（2）如圖④，任意作出一個(gè)滿足要求的大正方形MNPQ，若點(diǎn)A，B，C，D不是它各邊中點(diǎn)，它的面積是否