PAGE8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo)1．理解并駕馭平面的基本領(lǐng)實及推論.(邏輯推理)2．會用基本領(lǐng)實及推論解決有關(guān)問題.(邏輯推理)要充分利用長方體以及身邊的生活中的物品相識空間點、直線、平面，要類比初中平面幾何中點、直線去相識空間中的點、直線、平面，逐步過渡與抽象，并確定它們之間的關(guān)系.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點1平面1．平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、安靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延長，幾何中的平面是向四周__無限延展__的.2．平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即__平行四邊形__表示平面，它的銳角通常畫成__45°__，且橫邊長等于其鄰邊長的__2__倍，如圖①.假如一個平面的一部分被另一個平面遮攔住，為了增加它的立體感，把被遮擋部分用__虛線__畫出來，如圖②.3．平面的表示法圖①的平面可表示為__平面α__、平面ABCD、__平面AC__或平面BD.學(xué)問點2點、線、面之間的位置關(guān)系1．直線在平面內(nèi)的概念假如直線l上的__全部點__都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l.2．一些文字語言與符號語言的對應(yīng)關(guān)系：文字語言表達符號語言表示文字語言表達符號語言表示點A在直線l上__A∈l__點A在直線l外__A?l__點A在平面α內(nèi)__A∈α__點A在平面α外__A?α__直線l在平面α內(nèi)__l?α__直線l在平面α外__l?α__直線l，m相交于點Al∩m＝A平面α，β相交于直線lα∩β＝l學(xué)問點3平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用1．基本領(lǐng)實內(nèi)容圖形符號作用基本領(lǐng)實1過不在一條直線上的三個點，__有且只有__一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點、線共面問題；三是推斷兩個平面重合的依據(jù)基本領(lǐng)實2假如一條直線上的__兩個點__在一個平面內(nèi)，那么這條直線在__這個平面內(nèi)__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?__l?α__既可判定直線和點是否在平面內(nèi)，又能說明平面是無限延展的基本領(lǐng)實3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的__公共直線__P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點在直線上2．利用基本領(lǐng)實1和基本領(lǐng)實2，再結(jié)合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：推論1__經(jīng)過一條直線和這條直線外一點__，有且只有一個平面.推論2__經(jīng)過兩條相交直線__，有且只有一個平面.推論3__經(jīng)過兩條平行直線__，有且只有一個平面.[學(xué)問解讀]1．平面的幾個特點(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的.2．從集合的角度理解點、線、面之間的位置關(guān)系(1)直線可以看成多數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示.(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示.(3)直線和平面都是點集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示.3．精確相識三個基本領(lǐng)實的意義和作用(1)基本領(lǐng)實1意義：是在空間確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法.作用：①確定平面；②證明點、線共面.(2)基本領(lǐng)實2意義：說明白平面與曲面的本質(zhì)區(qū)分.通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延長”來描述平面的“無限延展”.作用：既是推斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法.利用基本領(lǐng)實1和基本領(lǐng)實2，再結(jié)合“兩點確定一條直線”，可推出不共線的三點，一條直線和這條直線外一點，兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個平面.(3)基本領(lǐng)實3意義：揭示了兩個平面相交的主要特征，供應(yīng)了確定兩個平面交線的方法.作用：①推斷兩個平面是否相交；②確定兩個平面的交線；③證明若干點共線問題.關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一三種語言的相互轉(zhuǎn)化典例1依據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系.(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.[解析](1)點P∈直線AB；(2)點C?直線AB；(3)點M∈平面AC；(4)點A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.[歸納提升]三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先細致視察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.(2)要留意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.提示：依據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要留意實線和虛線的區(qū)分.【對點練習(xí)】?(1)若點M在直線a上，a在平面α內(nèi)，則M、a、α間的關(guān)系可記為__M∈a，a?α，M∈α__；(2)依據(jù)圖，填入相應(yīng)的符號：A__∈__平面ABC，A__?__平面BCD，BD__?__平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝__AC__；(3)用符號語言表示下面語句，并畫出圖形：三個平面α、β、γ相交于一點P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC.[解析](3)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖所示.題型二點共線問題典例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖.求證：P、Q、R三點共線.[分析](1)P、Q、R三點分別在哪幾個平面上？(2)在兩個相交平面上的點，有什么特點？[解析]證法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P、Q、R三點共線.證法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點共線.[歸納提升]點共線的證明方法：證明多點共線通常利用基本領(lǐng)實3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上.【對點練習(xí)】?如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC，BD交于點M，求證：C1、O、[解析]由AA1∥CC1，則AA1與CC1確定一個平面A1C∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D∴O點在平面BC1D與平面A1C又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O題型三線共面問題典例3已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面.[證明]如圖所示.由已知a∥b，所以過a，b有且只有一個平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過a，b，l有且只有一個平面.[歸納提升]在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi).(2)同一法：即先證明一些元素在一個平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個平面內(nèi)，然后證明這兩個平面重合，即證得全部元素在同一個平面內(nèi).【對點練習(xí)】?已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).[證明]法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).題型四線共點問題典例4已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E、H分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．求證：直線EF、BD、HG交于一點.[分析]先證EF、HG肯定相交于一點，再證這一點在直線BD上.[解析]連接EH、AC、FG.∵E、H分別為BC、AB的中點，∴EHeq\f(1,2)AC.∵DF︰FC＝1︰2，DG︰GA＝1︰2，∴FG∥AC，F(xiàn)G＝eq\f(1,3)AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G，H四點共面且EFGH.∴EF與GH相交.設(shè)EF∩GH＝O，則O∈GH，O∈EF.∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直線EF、BD、HG交于一點.[歸納提升]三線共點的證明方法：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點.【對點練習(xí)】?三個平面α、β、γ兩兩相交，交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直線a和b不平行.求證：a、b、c三條直線必過同一點.[解析]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，設(shè)a∩b＝P，∵P∈a，a?β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一點P，即a、b、c三條直線過同一點.易錯警示對于條件所給的點的位置關(guān)系考慮不全面典例5已知A、B、C、D、E五點中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，則A、B、C、D、E五點肯定共面嗎？[錯解]因為A、B、C、D共面，所以點A在B、C、D所確定的平面內(nèi)，因為B、C、D、E共面，所以點E也在B、C、D所確定的平面內(nèi)，所以點A、E都在B、C、D所確定的平面內(nèi)，即A、B、C、D、E五點肯定共面.[錯因分析]錯解忽視了公理2中“不在一條直線上的三點”這個重要條件，事實上B、C、D三點還可能共線.[正解](1)假如B、C、D三點不共線，則它們確定一個平面α.因為A、B、C、D共面，所以點A在平面α內(nèi)，因為B、C、D、E共面，所以點E在平面α內(nèi)，所以點A、E都在平面α內(nèi)，即A、B、C、D、E五點肯定共面