學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、算法的含義簡單地說，算法是完成某項(xiàng)工作的方法和步驟?，F(xiàn)代意義上的“算法”通常指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限的步驟內(nèi)完成的.粗略地講,算法就是解題的具體步驟，即把為解決某一問題所需進(jìn)行的具體步驟一一詳細(xì)地寫出來，廣義地說，處理任何問題都有相應(yīng)的算法。如：太極拳的圖解就是“打太極拳的算法”，又如做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟，這也是一個(gè)算法.當(dāng)然這些算法計(jì)算機(jī)是不能執(zhí)行的，我們要講述的算法是用計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)的算法，即對一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法。例如：怎樣發(fā)電子郵件?①打開電子信箱；②點(diǎn)擊“寫郵件”；③輸入發(fā)送地址；④輸入主題；⑤輸入信件內(nèi)容;⑥點(diǎn)擊“發(fā)送郵件”。在生活中，做任何事都有一定的方法、步驟，再比如蓋房子，需先打地基,后砌墻；看病需先掛號(hào)，再看病、開處方、劃價(jià)、交錢、取藥。這些過程都包括一系列的基本操作，在學(xué)習(xí)上也不例外。辨析比較算法與計(jì)算方法算法計(jì)算方法概念“解題方法的精確描述”對于數(shù)值求解的近似方法的研究應(yīng)用非數(shù)值問題的求解數(shù)值問題的求解實(shí)例排序、查找、變量變換、文字處理等解方程（或方程組），解不等式（或不等式組），套用公式判斷的問題，累加，累乘等一類問題具體操作先建立過程模型，通過模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)與描述借助一般數(shù)學(xué)計(jì)算方法，分解成清晰的步驟,使之條理化即可二、算法的不同描述方式①自然語言或數(shù)學(xué)語言；②流程圖；③程序語言。三、算法的主要特點(diǎn)(1)有窮性：對于一個(gè)算法來說，他的操作步驟必須是有限的，必須在執(zhí)行有限個(gè)步驟之后結(jié)束。深化升華算法的有窮性往往指“在合理的范圍之內(nèi)”.如果讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行一個(gè)歷時(shí)1000年才能結(jié)束的算法，雖然是有限的，但超過了合理的限度，人們也不把它視作有效算法.究竟什么算“合理限度”并無嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn),由人們的常識(shí)和需要而定。（2）確定性:算法中的每一步操作的內(nèi)容和順序都應(yīng)該是確定的，而不能含糊其詞，含有歧義。如：某健身操中一個(gè)動(dòng)作“手舉過頭頂",這個(gè)步驟就是不確定的，含糊的。是雙手都舉過頭？還是左手?或右手?舉過頭頂多少厘米?不同的人可以有不同的理解。算法中的每一步不應(yīng)產(chǎn)生歧義，而應(yīng)當(dāng)是明確無誤的。(3）可行性：算法中的每一步操作都必須是可執(zhí)行的，算法中的每一步都能通過手工和機(jī)器在有限時(shí)間內(nèi)完成，這稱之為有效性。一個(gè)算法能否被執(zhí)行，取決于如下幾點(diǎn)：（1）算法不能含有語法錯(cuò)誤，否則算法不能正常執(zhí)行;（2）算法對于幾組輸入數(shù)據(jù)能夠得出滿足規(guī)格說明要求的結(jié)果；（3）算法通過計(jì)算機(jī)能夠在有限時(shí)間內(nèi)完成.這里要注意的是，有些算法通過手工無法在有限時(shí)間內(nèi)完成,但借用計(jì)算機(jī)可行的話，我們也認(rèn)定這算法是合理的，可行的.（4）數(shù)據(jù)輸入：每個(gè)算法都要求有原始數(shù)據(jù)的輸入，即給變量賦初值。一個(gè)算法是否有效,還取決于為算法的執(zhí)行所提供的情報(bào)是否足夠。例如，對于指令“如果小明是學(xué)生，則輸出字母Y，否則輸出N”。當(dāng)算法執(zhí)行過程中提供了小明一定不是學(xué)生的某種信息時(shí)，執(zhí)行的結(jié)果將輸出字母N；當(dāng)提供的只是部分學(xué)生的名單，且小明恰在此名單之中，則執(zhí)行的結(jié)果將輸出字母Y.但如果在提供的部分學(xué)生的名單中找不到小明的名字，則在執(zhí)行該指令時(shí)無法確定小明是否是學(xué)生.聯(lián)想發(fā)散通常，算法中的各種運(yùn)算總是要施加到各個(gè)運(yùn)算對象上，而這些運(yùn)算對象又可能具有某種初始狀態(tài)，這是算法執(zhí)行的起點(diǎn)或是依據(jù).因此，一個(gè)算法執(zhí)行的結(jié)果總是與輸入的初始數(shù)據(jù)有關(guān)，不同的輸入將會(huì)有不同的結(jié)果輸出.如果輸入不夠或輸入錯(cuò)誤，則算法本身也就無法執(zhí)行或執(zhí)行有錯(cuò).一般來說，只有當(dāng)算法擁有足夠的情報(bào)時(shí),該算法才是有效的；而如果提供的情報(bào)不夠，則算法并不是有效的.（5）信息輸出：一個(gè)算法中至少要有一個(gè)有效的輸出結(jié)果，算法的目的就是用來解決一個(gè)給定的問題，如果沒有信息輸出，也就沒有什么意義了.典題·熱題知識(shí)點(diǎn)一算法的概念例1算法是指（）A．為解決問題而編寫的計(jì)算機(jī)程序B。為解決問題而采取的方法和步驟C．為解決問題而需要采用的計(jì)算機(jī)程序D.為解決問題而采用的計(jì)算方法思路分析:算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法,洗衣機(jī)的使用說明書是操作洗衣機(jī)的算法，歌譜是一首歌曲的算法.在數(shù)學(xué)中，主要研究計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)的算法,即按照某種機(jī)械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問題的程序。比如解方程的算法、函數(shù)求值的算法、作圖的算法等等。答案：B誤區(qū)警示應(yīng)該知道并不是所有的算法都能在計(jì)算機(jī)內(nèi)實(shí)現(xiàn)，并且不要混淆算法與計(jì)算方法的定義問題；計(jì)算方法只適用于數(shù)值問題的解決，而算法的應(yīng)用卻是廣泛的。知識(shí)點(diǎn)二算法的特點(diǎn)例2早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀溃?min）、刷水壺（2min）、燒水(8min）、泡面（3min）、吃飯（10min）、聽廣播（8min）幾個(gè)步驟。從下列選項(xiàng)中選出較好的一種算法（）A。第一步洗臉?biāo)⒀?、第二步刷水壺、第三步燒水、第四步泡面、第五步吃飯、第六步聽廣播B。第一步刷水壺、第二步燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、第三步泡面、第四步吃飯、第五步聽廣播C。第一步刷水壺、第二步燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、第三步泡面、第四步吃飯同時(shí)聽廣播D.第一步吃飯同時(shí)聽廣播、第二步泡面、第三步燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、第四步刷水壺思路分析：由算法確定性，任何問題必須朝某個(gè)目標(biāo)走，至于途徑如何,并不重要。一個(gè)問題可能會(huì)有多個(gè)不同的算法，算法有優(yōu)劣之分。本題四個(gè)選項(xiàng)都是正確的算法，但要最好的，只有C了。本題中,選擇A很大程度上是受人們的通常的習(xí)慣所影響，即起床后首先應(yīng)該洗臉?biāo)⒀涝僮銎渌氖虑?答案：C方法歸納對待任何問題,我們想的不應(yīng)該只是如何把它解決，而更多時(shí)候我們會(huì)思考如何快速準(zhǔn)確地完成。這與數(shù)學(xué)的靈活性是緊密關(guān)聯(lián)的。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，算法有著同樣的特性，因此，在學(xué)習(xí)算法時(shí)，我們不妨經(jīng)常思考一下如何提高速度。日常生活中，我們要經(jīng)常思考哪些行為是可兼容，可并行的，這是解決此題的出發(fā)點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)三用自然語言或者數(shù)學(xué)語言描述算法例3寫出解x2—2x—3=0的一個(gè)算法。思路分析：本題是利用一元二次方程求解的算法描述;方法有很多，可采用配方法、判別式法寫出相應(yīng)的算法.解:（算法1)第一步:移項(xiàng)，得x2—2x=3；①第二步:①式兩邊同加1并配方，得（x-1）2=4；②第三步：②式兩邊開方，得x—1=±2；③第四步：解③,得x=3或x=—1。巧解提示利用公式解決問題是最方便、理想的算法,在尋求算法的過程中，首先要考慮利用現(xiàn)有的公式.（算法2）第一步：計(jì)算方程的判別式判斷其符號(hào)Δ=22+4×3=16＞0;第二步:將a=1，b=-2，c=—3代入求根公式x=,得x1=3，x2=-1方法歸納下面設(shè)計(jì)一個(gè)求一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的算法如下：第一步：計(jì)算Δ=b2—4ac；第二步:若Δ＜0;第三步：輸出方程無實(shí)根；第四步：若Δ≥0；第五步：計(jì)算并輸出方程根x1，2=.例4給出求點(diǎn)P(1，3）關(guān)于直線l：x+3y+3=0的對稱點(diǎn)的一個(gè)算法。思路分析：本題利用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)將直線方程、對稱問題及構(gòu)造方程等知識(shí)綜合運(yùn)用。解：第一步:由結(jié)論：過點(diǎn)P（x0,y0)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0垂直的直線方程為l′：Bx—Ay=Bx0—Ay0可知，過P（1,3)關(guān)于直線l：x+3y+3=0垂直的直線為3x-y=0。第二步：設(shè)直線l與直線l′的交點(diǎn)為M（x0,y0）.現(xiàn)構(gòu)造方程組求M,由由①×3-②,得y=；代入②得，x=，即M（，）.第三步：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)P（1,3)關(guān)于直線l：x+3y+3=0的對稱點(diǎn)P′易知，M為P與P′的中點(diǎn)，可知P′(×2—1,×2-3),亦即P′（）.第四步：寫出P′.方法歸納這是一道綜合性很強(qiáng)的題目。我們能看到，答案的第一步就是由公式解決問題的一種算法,答案的第二步就是用消元法（代入消元和加減消元）解二元一次方程組的典型算法，這是考查本節(jié)知識(shí)的常見題型.誤區(qū)警示在解決實(shí)際問題時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：針對某種特殊問題,數(shù)學(xué)公式是正確的，但按此數(shù)學(xué)公式設(shè)計(jì)的計(jì)算過程可能會(huì)使計(jì)算機(jī)系統(tǒng)無所適從，這是因?yàn)椋鶕?jù)數(shù)學(xué)公式設(shè)計(jì)的計(jì)算過程只考慮了正常使用的情況,而當(dāng)出現(xiàn)異常情況時(shí)，該計(jì)算過程就不能適應(yīng)了。問題·探究材料信息探究問題如圖1-1-1所示,這是不是一個(gè)算法？圖1-1-1探究過程：很多具體的問題都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決,如心算、計(jì)算器計(jì)算,這些都要經(jīng)過有限的、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決;在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法"通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決某一類問題的程序或步驟。如何鑒定算法的定義，可從如下兩個(gè)方面入手：(1)事情是否完成；（2）步驟是否銜接得當(dāng)。算法的概念是有普遍性的，它是指完成某項(xiàng)工作的方法和步驟。圖1—1—1中這里只是用圖形語言來闡述算法,我們能看到，它最終完成了一件事；當(dāng)然很容易想象接下來就免不了縫補(bǔ)之類的事情了.它是有步驟的，分三步走，循序漸進(jìn),每一行為都是建立在前一個(gè)行為的基礎(chǔ)上完成的.探究結(jié)論：如圖1-1—1所示,這是一個(gè)算法.交流討論探究問題有的人說算法很難,有的人說算法不難,你要信誰呢？概念似乎很簡單,那如何體會(huì)算法的“難”與“易”？探究過程:同學(xué)甲:算法作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，其概念也是渾然天成的，我們只要從他的概念中看到它的具體背景,就不會(huì)使概念空洞，理解了概念，算法就有了生命力。同學(xué)乙：算法很難，它不是計(jì)算方法，而是對某事情步驟的闡述；眾口不一，如何來定標(biāo)準(zhǔn)答案?老師：乙同學(xué)的說法是有一定道理的，但事實(shí)上，萬物如果定個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，它就“死"了.就如我們這節(jié)的內(nèi)容，我們只強(qiáng)調(diào)用自然語言能有條理地、正確地闡述算法即可。同學(xué)丙:算法是易學(xué)的，因?yàn)樗乔宄?只要按照數(shù)學(xué)規(guī)則，按部就班地學(xué)，循序漸進(jìn)地想，絕對可以學(xué)懂，“功夫不負(fù)有心人”.同學(xué)甲:我想可以這樣來提升乙的觀點(diǎn)：所謂的“標(biāo)準(zhǔn)”，應(yīng)指對就對，錯(cuò)就錯(cuò)，行就行，不行就不行,你不能指鹿為馬，它不存在絲毫的含糊，這樣的知識(shí)是很容易把握的，只要我們不“想當(dāng)然”。老師:事實(shí)上，算法我們并不陌生。小學(xué)的四則混合運(yùn)算所遵循的先乘除、后加減的規(guī)則,括號(hào)的處理規(guī)則，都是最初接觸到的算法實(shí)例.初中學(xué)習(xí)的方程組的解法等，也是算法的典型體