專題2.2基本不等式【基本知識梳理】知識點1：兩個不等式（1）重要不等式：一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.當且僅當a＝b時，等號成立．（2）基本不等式：一般地，如果a>0，b>0，則eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立．【特別注意】①其中，eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．②兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．③“當且僅當a＝b時，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).知識點2：基本不等式的證明方法一(作差法)eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\f(a＋b－2\r(ab),2)＝eq\f(\r(a)2－2\r(ab)＋\r(b)2,2)＝eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)≥0，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當a＝b時，等號成立．方法二(性質法)要證eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，只需證2eq\r(ab)≤a＋b，只需證2eq\r(ab)－a－b≤0，只需證－(eq\r(a)－eq\r(b))2≤0，顯然(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0成立，當且僅當a＝b時，等號成立．方法三(利用幾何意義證明)如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝eq\r(ab)，由于CD小于或等于圓的半徑，故用不等式表示為eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，由此也可以得出圓的半徑不小于半弦．知識點3：基本不等式與最值（1）已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.【特別注意】從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．（2）利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型1對基本不等式的理解】【例1】（20232024?全國?高一?課時練習A．對?a，b∈R，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立B．若a>0，b>0且a≠b，則a＋b>2eq\r(ab)C．對?a，b∈R，a2＋b2≥2abD．若x>2，則x＋eq\f(1,x)≥2中可以取等號答案BC解析A項，當a＝－1，b＝－1時，不等式不成立；D項，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2時取等號的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,x)，,x>2，))無解，不等式中不可取等號．【變式11】（20222023?安徽?高三上?A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由均值不等式取等號的條件判斷即可【詳解】對A，當且僅當即等號成立；對B，當且僅當即等號成立；對C，當且僅當即時等號成立；對D，當且僅當?shù)脮r等號成立，無解，等號不成立．故選：D．【變式12】（20222023?西藏林芝?高一上?A．若a>0,b>0，且a+b=16，則ab≤64B．若a≠0，則a+C．若a,b∈R，則D．對任意a,b∈R，a【解題思路】根據(jù)基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.【解答過程】A選項，ab≤a+b22B選項，當a<0時，a+4C選項，當a>0,b<0時，ab<0,a+bD選項，當a<0,b<0時，a+b<0，a+b≥2ab故選：A.【變式13】（20232024?浙江?高二上?期中）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點，且，，為中點，以為直徑作半圓，過點作的垂線，交半圓于，連接，，，過點作的垂線，垂足為，取弧的中點，連接，則該圖形可以完成的所有無字證明為（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，分別在直角和直角，由直角三角形的射影定理，結合，，可判定A、C正確；在直角中，結合，可判定D正確.【詳解】由題意知：，在直角中，由射影定理的，即，又由且，所以，當且僅當時，等號成立，所以A正確；在直角中，同理可得，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以C正確；由，因為為弧的中點，可得，在直角中，可得，即，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以D正確.故選：ACD.【題型2由基本不等式比較大小】【例2】（20232024?云南昆明?高一上?期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10g附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有m1L1=m2L2，其中A．等于10g B．小于10g C．大于10【答案】C【分析】設天平左臂長x1，右臂長x2，且x1≠x2，根據(jù)已知條件求出a1【詳解】設天平左臂長x1，右臂長x2，且設天平右盤有a1克黃金，天平左盤有a2克黃金，所以所以a1=5x1故選：C．【變式21】（20232024?湖北恩施州?高一上?月考A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出，再結合可得出結果.【詳解】由已知，利用基本不等式得出，因為，則，，所以，，∴.故選：B【變式22】（20232024?安徽亳州?高三上?期中）（多選）十六世紀中葉，英國數(shù)學家哈利奧特用“”“”表示不等號，并逐漸被數(shù)學界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠.若某同學從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術平均值為，全程的平均速度為，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式以及不等式的性質求解.【詳解】設一樓到五樓的距離為，由題知，A錯誤；因為，且，所以，所以，所以，又因為，（因為，所以取不到等號），所以，B正確；對C，因為，所以，又因為，所以，即，C正確；對D，因為，所以，即，D正確；故選:BCD.【變式23】（20232024?上海交通大學附屬中學?高一上?月考A.先提價，再提價 B.先提價，再提價C.分兩次，都提價 D.分兩次，都提價【答案】C【解析】【分析】求出每個選項中提價后的水價，結合基本不等式比較大小可得合適的選項.【詳解】設原來的水價為，AB選項中，兩次提價后的水價為，C選項中，兩次提價后的水價為，D選項中，兩次提價后的水價為，因為，則，則，所以，，則，即，由基本不等式可得，所以，.故選：C【題型3利用基本不等式求和的最值】【例3】（20232024?上海嘉定區(qū)?高一上?期中）已知【答案】5【解析】【分析】將變形為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】∵，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是5,故答案為:5.【變式31】（20232024?山東濟寧?高一上?期中）若A.8 B.4 C.2 D.0【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式計算即可.【詳解】，當且僅當，即時取得最小值.故選：C【變式32】（20232024?天津河西區(qū)?高一上?期中）已知【答案】分析：由函數(shù)變形為，再由基本不等式求得，從而有，即可得到答案.解答：∵函數(shù)∴由基本不等式得，當且僅當，即時取等號.∴函數(shù)的最大值是故答案為.點撥：本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及基本不等式的應用，.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.【變式33】（20232024?浙江強基聯(lián)盟?高一下?期中）若實數(shù)A．23 B．23?1 C．2【解題思路】首先變形3yx?2y【解答過程】3y≥23y當且僅當(x?2y)2=3y故選：D.【題型4利用基本不等式求積的最值】【例4】（20232024?北京市昌平區(qū)?高二下?期末A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】由于，所以，當且僅當，即時等號成立，故最大值為，故選：B【變式41】（20232024?廣東韶關?高一上?月考）已知A．?3 B．?2 C．?1 D．0【解題思路】借助基本不等式計算即可得.【解答過程】因為10>x>0，故x+10?x≥2x當且僅當x=5時，等號成立，所以2?x故選：A.【變式42】（20232024?湖北鄂西北六校?高一上?期中）中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（

A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】由題意，代入，利用基本不等式的性質即可得出.【詳解】因為，，所以，故，因為，當且僅當時，等號成立，故，則此三角形面積的最大值為12.故選：C【變式43】（20232024?湖南?高一下?聯(lián)考）已知A.4 B.6 C.8 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】由，得，當且僅當時取等號，因此，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值4.故選：A【題型5條件等式求最值】【例5】（20232024?山東濟寧鄒城?高一上?期中）已知，，且，則的最小值是【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式計算即可.【詳解】由，當且僅當即時取得最小值.故答案為：3【變式51】（20232024?安徽?高一上?期中）若a，b均為正實數(shù)，【答案】8【解析】【分析】由，可化簡為：，再結合基本不等式求解.【詳解】由題意得：，當且僅當，即或時，取到等號，故的最小值是.故答案為：.【變式52】（20232024?山東濱州?高二下?期末）若正實數(shù)a,b，滿足A．9 B．6 C．3 D．2【解題思路】利用換元法，令m=a+2,n=b+1，結合基本不等式得出答案.【解答過程】令m=a+2,n=b+1，則mn=9，a+b=m+n?3≥2mn當且僅當m=n=3，即a=1,b=2時，取等號.故選：C.【變式53】（20232024?山東濟寧兗州?高一上?期中）（多選）對任意x，A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于AB，利用，結合已知可求出的范圍進行判斷，對于C，利用，結合已知可求出的范圍進行判斷，對于D，利用基本不等式判斷.【詳解】（），當且僅當時取等號，對于AB，由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；對于C，由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；對于D，因為，所以，當且僅當時取等號，所以D正確．故選：BCD．【題型6基本不等式“1”的妙用求最值】【例6】（20232024?山東?高一上?期中）若，且，則【答案】/【分析】變形得到，由基本不等式求出最值.【詳解】因為，則由可得，所以，當且僅當時，即時，等號成立.故答案為：.【變式61】已知正實數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【變式62】（20232024?福建?高一下?期中）已知，，，則的最小值為（A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應用結合基本不等式運算求解.【詳解】因為，可得，且，，可知，則，當且僅當，即時，等號成立，所以最小值為1.故選：B.【變式63】（20232024?山東臨沂莒南（1）已知，求函數(shù)的最大值；（2）已知，且，求的最小值．【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式計算可得；（2）利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】（1），，故，所以．，，當且僅當，即或（舍）時，等號成立，故當時，．（2）因為，且，，當且僅當，且時等號成立，取最小值，，當時，．【題型7基本不等式的恒成立問題】【例7】（20232024?云南昆明?高一上?期中）已知，若恒成立，寫出符合條件的正整數(shù)【答案】1或2【分析】利用基本不等式求得的最小值，結合不等式恒成立，即可求得.【詳解】當x>0時，，當且僅當x=1時，取得等號；，若恒成立，即，又為正整數(shù)，故或.故答案為：或.【變式71】（20232024?天津?高一上?期中）已知，若不等式恒成立，則實數(shù)m【答案】【解析】【分析】利用配湊法與基本不等式求得的最大值，從而得解；【詳解】因為，所以，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，因為不等式恒成立，所以，則，所以實數(shù)m的最小值為.故答案為：.【變式72】（20232024?云南玉溪?高一上?期中）已知且恒成立，實數(shù)的最大值是【答案】##【解析】【分析】將不等式轉化，應用基本不等式求出最大值，即可得到答案.【詳解】由題意，，所以轉化為，可得，即，因為，當且僅當時等號成立，所以實數(shù)的最大值是.故答案為：【變式73】（20232024?河南信陽?高一上?期中）已知，（1）求的最小值及此時x，y的取值；（2）不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）時，的最小值為9（2）【解析】【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式計算可得；（2）依題意可得，參變分離可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【小問1詳解】因為，都是正數(shù)，且，所以，當且僅當，即時取等號，此時的最小值為．【小問2詳解】由，得，故，又，當且僅當，即，時等號成立，取得最小值，故的取值范圍為．【題型8基本不等式的實際應用】【例8】（20232024?新疆烏魯木齊?高一上?期末）如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設單個矩形欄目的寬度為（1）將y表示為關于x的表達式，并寫出x的取值范圍；（2）當x取何值時，矩形廣告的總面積最小?并求出總面積最小值.【答案】（1），（2）當cm時，矩形廣告的總面積最小，最小面積為.【解析】【分析】（1）表達出單個矩形欄目的長度，進而求出y關于x的表達式，x的取值范圍；（2）由基本不等式求出總面積最小值.【小問1詳解】單個矩形欄目的長度為，，【小問2詳解】由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故當cm時，矩形廣告的總面積最小，最小面積為.【變式81】（20232024?湖北荊州?高一上?月考）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200（1）設AD長為x米，總造價為S元，試建立S關于x的函數(shù)關系式；（2）問：當x為何值時S最小，并求出這個S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關系式即可；（2）根據(jù)題意，由（1）中的函數(shù)關系式，結合基本不等式即可得到結果.【詳解】（1）由題意可得，，且，則，則（2）由（1）可知，【變式82】（20232024?山東?高一上?期中(1)當寬為多少時，甲工程隊報價最低，并求出最低報價.(2)現(xiàn)有乙工程隊也要參與競標，其給出的整體報價為元（整體報價中含固定費用）.若無論寬為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范