目錄/contents

6月21日等差數(shù)列、等比數(shù)列...............................01

6月22日數(shù)列的求和及應(yīng)用..................................17

6月23日不等式（線性規(guī)劃、基本不等式）...................35

6月24日空間幾何體（三視圖、表面積、體積）................57

6月25日立體幾何—點、線、面的位置關(guān)系.................83

6月26日直線與圓.........................................111

6月27日圓錐曲線..........................................132

時間：6月21日今日心情：◎崎與◎益)要。

核心考點解讀一—等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差數(shù)列的概念與通項公式(H)

等差數(shù)列的前〃項和(II)

等比數(shù)列的概念與通項公式(II)

等比數(shù)列的前〃項和(II)

等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)(II)

1.從考查的題型來看，涉及本知識點的題目主要以選擇題、填空題的形式考查，利

用等差數(shù)列的概念判斷性質(zhì)真假，利用等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式進(jìn)

行相關(guān)的求值計算；利用等比數(shù)列的概念判斷性質(zhì)真假，利用等比數(shù)列的通項

公式、前〃項和公式進(jìn)行相關(guān)的求值計算等.

2.從考查內(nèi)容來看，主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)運算，重點在于掌握等差

亞

數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，能夠利用“4,S,,”和

“4,q,可,這五個量進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到“知三求二”的目的.

3.從考查熱點來看，數(shù)列計算是高考命題的熱點，要注意通項公式與求和公式的正

確使用及利用數(shù)列的性質(zhì)簡化運算.

1.等差數(shù)列的概念與證明

(1)熟練掌握等差數(shù)列的定義與定義式：〃>1,要注意，數(shù)列要從第

二項開始，然后是每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，這個常數(shù)就是公差.由此

要明確，一個數(shù)列能夠構(gòu)成等差數(shù)列，至少需要三項.

(2)若三個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則稱b為a,C的等差中項，記作人=竺￡或

2

2h=a+c.

(3)等差數(shù)列的證明，通常根據(jù)題中所給的遞推關(guān)系式，利用定義進(jìn)行證明，若〃〉1

時，推理得到a,,-。,1的差為常數(shù)，并能夠確定這個常數(shù)，則可判定數(shù)列為等

差數(shù)列.

2.等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)

⑴等差數(shù)列的通項公式：an=%+(n-V)d=am+[n—m)d=dn+p(p=al-d).知

道等差數(shù)列的通項公式的推理方法是根據(jù)定義式疊加而得，了解等差數(shù)列與一

次函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別.

(2)等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n.=p+q,則a,“+a,=。°+4.等差數(shù)列的性質(zhì)反映

了項與項數(shù)之間對稱的等量關(guān)系，由此得到等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)方法一

倒序相加法.

3.等差數(shù)列的前〃項和

(1)等差數(shù)列的前〃項和：Sn=叫+1)d="必；%)+kn(k=q-5).

能夠利用首項與公差表示等差數(shù)列的前〃項和，了解二次函數(shù)與等差數(shù)列前n

項和的關(guān)系.

(2)掌握等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)：5,?S2n-Sn,成等差數(shù)列，｛?｝也

是等差數(shù)列.

4.等比數(shù)列的概念與證明

(1)熟練掌握等比數(shù)列的定義與定義式：〃>1,2=q(qHO).要注意，數(shù)列要

an-l

從第二項開始，然后是每一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，這個常數(shù)就是公

比.由此要明確，一個數(shù)列能夠構(gòu)成等比數(shù)列，至少需要三項.

(2)若三個數(shù)a,。,c構(gòu)成等比數(shù)列，則稱〃為a,c的等比中項，記作〃=±疝或

b1=ac.

(3)等比數(shù)列的證明，通常根據(jù)題中所給的遞推關(guān)系式，利用定義進(jìn)行證明，若〃〉1

時，推理得到與■的比值為常數(shù)，并能夠確定這個常數(shù)，則可判定數(shù)列為等比

數(shù)列.

5.等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)

(1)等比數(shù)列的通項公式：%=%p"T=品.q"，"=色)知道等比數(shù)列

q

2

通項公式的推理方法是根據(jù)定義式疊乘而得，了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的

聯(lián)系與區(qū)別.

(2)等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+/z=p+q,則4屋4,=%/4.

6.等比數(shù)列的前〃項和

navq=\,

(1)等比數(shù)列的前〃項和：S“=|a?！?).-a-q能夠利用首項與公

1i-qi-q

比表示等比數(shù)列的前n項和，了解指數(shù)函數(shù)與等比數(shù)列前n項和公式之間的關(guān)

系.掌握等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法——錯位相減法.

(2)掌握等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)：S,E=S“+q"S,“=Sm+q"'S"；當(dāng)gw—l或

4=—1且k為奇數(shù)時，既,5*—S*,S3k-S2*,???成等比數(shù)列.

7.等差數(shù)列、等比數(shù)列的混合計算

(1)等差數(shù)列中利用某項確定，另有不連續(xù)三項按某種條件構(gòu)成等比數(shù)列，由此計

算得到等差數(shù)列的首項與公差，并求通項與前n項和.

(2)等比數(shù)列中利用某項確定，另有不連續(xù)三項按某種條件構(gòu)成等差數(shù)列，由此計

算得到等比數(shù)列的首項與公比，并求通項與前n項和.

(3)注意在數(shù)列計算中基本量a,,d,q,n的應(yīng)用.

8.等差數(shù)列前〃項和的最大(小)項

利用等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合二次函數(shù)的求最值的特點及相應(yīng)的圖象，

利用函數(shù)的單調(diào)性判斷最值.

,真題回顧

1.(2019年高考全國HI卷文數(shù))已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項和為15,且。5=36+44,

則4=

A.16B.8

C.4D.2

【答案】C

3

q+4q+qq2+qg3_

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛?！ǎ墓葹?,則

axq=3”]42+4%

4=1，o

解得《,：,CU—CLQ=4,故選C.

匕=2

【名師點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.

2

2.（2019年高考浙江卷）設(shè)a,ftCR,數(shù)歹ij{”“}滿足m=a,all+i=an+b,〃eN*，則

A.當(dāng)b=’,。|0>10B.當(dāng)/?=；,%>10

2

C.當(dāng)匕=—2,qo>lOD.當(dāng)〃=T,go>10

【答案】A

【解析】①當(dāng)匕=0時，取。=0,則a“=0,〃eN*.

②當(dāng)Z?<0時，令x=/+8,即》2一1+8=0.

則該方程/=1-4人>(),即必存在事,使得片一毛+8=0,

則一定存在?,=a=x0,使得an+]=a^t+b=an對任意〃wN*成立,

,1+Jl-4-

解方程儲一。+人=0,得~-

2

當(dāng)！+J1—46?]0時,即〃..._90時，總存在〃="]一—，使得ciy=%—...—■4o—10?

22

故C、D兩項均不正確.

③當(dāng)人>0時，a2=a^+b>b,

則q=a；+b>b2+b,

%=ag+b..（/7-++b.

2

MY1

(i)當(dāng)力=」時，a.>+—+LU>i必〉i+L

2221652

j+LU>2,

則《空+萬

I24

4

9|1=^>10,

%>匕+

124

,1

則。9=圓+2>10'

21

?<0=?；+->10，

故A項正確.

（ii）當(dāng)匕=w時，令4=4=0，則/二；,4

j1+LL

442

_,Ifl

所以q=4+[<+-=以此類推,

J42

2

21fl\11

所以4。=4+a<H—=—，

J42

故B項不正確.

故本題正確答案為A.

【名師點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進(jìn)一步

討論a的可能取值，利用“排除法”求解.

3.（2018北京卷文科）設(shè)。力cd是非零實數(shù)，則“加=兒”是"a,4c,d成等比數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)。=4,b=l,c=l,4=1時，a,"c,d不成等比數(shù)列，所以不是充分條件；

4

當(dāng)〃成等比數(shù)列時，則ad=〃c,所以是必要條件.

綜上所述，“ad=bCa,b,c,d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

故選B.

【名師點睛】證明"ad=加”=>"a,b,c,"成等比數(shù)列”只需舉出反例即可，論證“a,b,c,4成等比數(shù)列“

=>“ad=hc”可利用等比數(shù)列的性質(zhì).

4.（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堵最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為

5

這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第

二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于啦.若第一個單音的頻率為了,則

第八個單音的頻率為

A.^2/B.行f

C.啦于D.啊于

【答案】D

【解析】因為每一個單音的頻率與前一個單音的頻率的比都為/，所以%區(qū)-（〃22,〃eN*）,

又％=于，則4=*=f=阪f.

故選D.

【名師點睛】此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)歹U.等比數(shù)列的判

斷方法主要有如下兩種：

（1）定義法，若&h=4（qwO,〃eN*）或2=4（（?不0，〃N2,〃wN*）,數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

anan-\

（2）等比中項公式法，若數(shù)列｛4｝中，。，產(chǎn)。且“3"N3,〃eN*）,則數(shù)列｛4｝是等比

數(shù)列.

5.（2019年高考天津卷文數(shù)）設(shè)｛q｝是等差數(shù)列，｛"｝是等比數(shù)列，公比大于0,已知

4=4=3,〃=%也=4a,+3.

（1）求｛風(fēng)｝和｛〃｝的通項公式；

1,〃為奇數(shù)，

（2）設(shè)數(shù)列｛qj滿足c"=〃為偶數(shù).求qq+a2c2+---+a2nc2n（HeN*）.

2

【答案】⑴an=3n,2=3"；（2）（2〃-1）3；+61+9（〃N*）

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，等比數(shù)列｛2｝的公比為g

=3+2d,,（d=3,

，解得彳

&=15+4d,［夕=3,

6

故=3+3(〃-1)=3〃，bn=3x3〃"二3".

所以，｛%｝的通項公式為q=3九，也｝的通項公式為2=3〃.

(2)4q++???+

=(4+%+。5+…+。2〃一1)+(。2，1+。4a6b3----卜

="x3+”(丁)x6+(6x3'+12x32+18x33+---+6rtx3n)

=3n2+6(lx3'+2x32+---+z?x3n).

2,,

iBT；,=lx3'+2x3+---+nx3)@

貝iJ37；,=lx32+2x33+…+〃x3"T,②

②-①得，2(=33?33…3"+〃x3"i=3(j.)+〃X3"M=7)3"’"+3

"1-32

足22,TQ22(2n-l)3n+l+3

所以，4G+a2c2+…+。2〃°2“=3〃+6(=3〃+3x-----------

n+22

=-(-2n---l-)-3---+-6-n--+-9z1"").

【名師點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列

求和的基本方法和運算求解能力，屬于中檔題目.

6.(2019年高考浙江卷)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，4=4，4=S3，數(shù)列｛〃｝滿足：對每個

〃GN*,5,+a,5向+bn,Sn+2+b?成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項公式；

(2)記c“=I—GN,,證明：q+c2+—FC“<2〃,〃eN*.

V2%

【答案】(1)a.=2(〃—1),2="(〃+1)；(2)證明見解析.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為“，由題意得

q+2d=4嗎+3d=3q+3d,

7

解得4=0,d=2.

從而=2n—2,71GNT.

所以S〃=〃2-〃，nGN\

由S,+b",Sz+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列得

(S〃M+4)2=(S,,+")(S“+2+2)?

解得勿=5(S；+「S”S”+2).

所以々=722.

n-\

〃￡N”.

n(n+1)'

我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(i)當(dāng)時，ci=0<2,不等式成立;

(ii)假設(shè)〃=k(A:eN*)時不等式成立，即￡+畛+--+4<24.

那么，當(dāng)〃=攵+1時,

C,+G+…+C.+C.]<2yli+-----------

AE\/+])(左+2)

<24+丁=~尸=2a+2(7^71—4)=2&7T.

y/k+l+y/k

即當(dāng)〃=上+1時不等式也成立.

根據(jù)(i)和(ii),不等式q+G''---He”<2〃對任意〃eN*成立.

【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識,同時考查運算

求解能力和綜合應(yīng)用能力.

7.(2018新課標(biāo)全國I文科)已知數(shù)列也｝滿足4=1,w,“|=2(〃+l)a,，設(shè)〃,=%.

n

(1)求伉,h2,b3?

(2)判斷數(shù)列｛2｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求也｝的通項公式.

8

【解析】(1)由條件可得知+產(chǎn)f

n

將〃=1代入得，42=40,

而。1=1,所以，622=4.

將〃=2代入得，〃3=3〃2,

所以，43=12.

從而bi=l,歷=2,九=4.

(2)也〃｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得%L=也，即%+1=2'，

幾+1n

又4=1,

所以｛瓦｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

(3)由(2)可得當(dāng)=2"。

n

所以。尸小2"」.

【名師點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項，根

據(jù)不同數(shù)列的項之間的關(guān)系，確定新數(shù)列的項，利用遞推關(guān)系整理得到相鄰兩項之間的關(guān)系確定數(shù)列是

等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列｛b｝的通項公式，借助于｛%｝的通項公式求得數(shù)列｛a"的通項

公式，從而求得最后的結(jié)果.

8.(2017新課標(biāo)全國I文科)記S,為等比數(shù)列｛《,｝的前〃項和，已知S2=2,S3=-6.

(1)求｛為｝的通項公式；

(2)求S”并判斷S“+i,S,?S“+2是否成等差數(shù)列.

【解析】(1)設(shè)｛4｝的公比為

q(l+q)=2,

由題設(shè)可得＜

q(1+q+q~)=-6.

解得q=-2,a,=-2.

故｛a,J的通項公式為=(—2)".

⑵由⑴可得。,=*=一|+(一，三.

9

AQrt+3_0〃+20,"+1

由于S“+2+S“+1=--+（-ir---------=2（--+（-1）"-^-]=25,,,

故S向，S?,s.+2成等差數(shù)列.

【名師點睛】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快

捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在

解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法.

，名校預(yù)測

1.（2020屆黑龍江省大慶實驗中學(xué)高三下學(xué)期第二次“戰(zhàn)疫”線上測試數(shù)學(xué)（文）試題）在等差數(shù)列｛?！埃?

若。3+為+43=7，a2+an+al4=14,則/和佝的等比中項為（）

A.土半R7夜

D.----

3

D.平

1-4x,x<0,、

2.（2020屆河南省名校聯(lián)盟高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測）已知函數(shù)/（x）=<1+幅門〉0,在等差數(shù)列同

中，/=7,6=11，則/（%）=（）

A.1B.2

C.3D.4

3.（2020屆遼寧省實驗中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文））

a”+3,為奇數(shù)

已知數(shù)列｛?！埃凉M足：.=La

n+x1%強部r'則4=（）

[2%+1,a,為偶數(shù)

A.16B.25

C.28D.33

4.（2020屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文））在等比數(shù)列｛4｝中，已知4=5,為為）=40,

則q8=?

5.（2020屆江西省吉安市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文））已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4=4,且％,%,%

10

成等比數(shù)列，則為=.

6.（2020屆江蘇省常州市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）等比數(shù)列｛%｝中，若4=1,4a2,2%,%成等差

數(shù)列，則4。7=.

7.（2020屆廣東省中山市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）設(shè)5,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知4=3,

a“+i=2q,+L

（1）證明｛?！?1｝為等比數(shù)列；

（2）判斷〃，a“,S.是否成等差數(shù)列？并說明理由.

8.（河南省名校聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高三11月教學(xué)質(zhì)量檢測）一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0

站、第1站、第2站.第100站，共101站，設(shè)棋子跳到第〃站的概率為門，一枚棋子開始在第

0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次.若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點，棋子

向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r，游戲結(jié)束（骰子是用一種均勻材料做成

的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1,2,3,4,5,6）.

⑴求與，片,￡,并根據(jù)棋子跳到第〃站的情況，試用匕_2和匕t表示匕；

（2）求證：仍一加｝（〃=1,2,…,100）為等比數(shù)列；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

，專家押題三

1.已知公差dw0的等差數(shù)列｛4｝滿足q=1,且%，4—2，4成等比數(shù)列，若正整數(shù)機，葭滿足

777-/?=10,則=

A.10B.20

C.30D.5或40

2.設(shè)｛《,｝是等比數(shù)列，且44=%，4=27,則｛4｝的通項公式為.

3.在公差為2的等差數(shù)列｛即｝中，a3-2as=4,則-2a7=.

4.在等比數(shù)列｛a.｝中，公比q>0,其前zi項和為右，且S?=3,54=15.

（1）求數(shù)列｛即｝的通項公式；

11

（2）設(shè)%=log2an+1,若數(shù)列｛%｝的前n項和為〃，則屋，2〃,0+i是否成等比數(shù)列?并說明理由.

5.已知等差數(shù)列｛4｝的公差"=2,且生+/=2，｛4｝的前〃項和為5”.

（1）求｛q｝的通項公式;

（2）若5,“,4,“5成等比數(shù)列，求機的值,

參考答案

名校預(yù)測

1.【答案】A

【解析】由題意得:o,++0,3=3a^—7,所以火=-，?+4]+?u=3%=14,

98

所以。9=—.??

8~9

所以％和%的等比中項為土述

故選A.

2.【答案】C

【解析】由等差中項性質(zhì)可得為+%=2%,即7+11=2%,所以％=9,

則/3）=/（9）=l+log39=3.

故選：C.

【點睛】本題考查分段函數(shù)值的計算，同時也涉及「等差中項的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】n=l時，%=1+3=4,

n=2時，/=2x4+1=9,

n=3時，/=9+3=12,

n=4時，a5=2x12+1=25,

n=5時，％=25+3=28.

故選：C

4.【答案】8

12

【解析】因為等比數(shù)歹IJ,故648=q）4o，故《8=瑟=y=8.

故答案為：8

5.【答案】4或10.

【解析】設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由外，a4,火成等比數(shù)列得（％+3d）2=（q+d）x（q+4d）,解得

2

5d+axd=0.則d=O或q=-5d.又4=4,當(dāng)d=O時，a“=4,則?！?4；當(dāng)q=-5d時，

由4=q+7d=4,解得d=2且4=-10,則a,,=2〃—12,即%=10.綜上得滿足條件的為=4

或10

故答案為：4或10

6.【答案】64

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為

V4a2,2%，%成等差數(shù)列

?N%+%=4%

?\4qq+qq3=4a1g?

,.?4=1

4y+/=4y2

??,夕w0

/.q-2

/.%%=q%6=26=64

故答案為：64.

7.【答案】（1）證明見解析（2）成等差數(shù)列，理由見解析

【解析】（1）證明：：?=3,電=2%+1,％=1,

由題意得見+1力0，二、=y-「=2,

4+14+1

｛q,+1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

13

（2）由（/）%+1=2",Aa?=2"-l.

,<yn+l

AS=——-n=2',+'-n-2,

"1-2

n+5?-2a?=n+2,,+l-n-2-2（2n-l）=0,

：.n+Sn=2an,即〃，an,5“成等差數(shù)列.

13112（1

8.【答案】（1）《=1,P,=-,P2=~,月,=赤+#；（2）證明見解析；（3）n1一訶.

【解析】（1）棋子開始在第0站是必然事件，所以6=1.

棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為:，所以6=;.

棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為!；②前兩次擲骰子出現(xiàn)奇

2

1113

數(shù)點，其概率為:，所以8=彳+:==.

4244

棋子跳到第〃（2滋汨99）站，包括兩種情形，①棋子先跳到第〃-2站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率

為g匕_2；②棋子先跳到第〃-1站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為

（2）由⑴知,P?_2+1P?_\,所以匕一匕一1=一;（匕一1一匕.2）?

又因為1一4=一3，

所以｛匕一匕T｝（〃=1,2,???,100）是首項為一；，公比為-；的等比數(shù)列.

所以％=（4_48）+（寫8—87）+…+（4—4）+6

14

所以玩該游戲獲勝的概率為擊

【點睛】本題上要考查隨機事件的概率和等比數(shù)列的概念、通項公式及前n項和公式.考查累加法求

和，屬于難題.

專家押題

1.【答案】C

【解析】由題知(4-2)2=a2a6，

因為｛a,,｝為等差數(shù)列，所以(3d—l)2=(l+d)(l+5d),

又dw0,

解得"=3,

從而a,n~an=(加一〃)d=30.

故選c.

2.【答案】4=3"，neN,.

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為4,因為4%=%，%=27,

所以％=4相=&q2=/=27,解得q=3,所以q=*=M=l,

4q27

因此，4=3〃，〃￡用.故答案為q二3〃“，HGN*.

【名師點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，熟記等比數(shù)列的通項公式即可，屬于常考題型.

3.【答案】一2

—a

【解析】由題意得2a7=(3+d)-2(a5+2d)=a3—2a5—3d=4—3x2=-2.

4.【解析】(1)由$2=3,$4=15,得%+￡12=3,a1+Q2+。3+。4=15，

兩式相減，得g+@4=12，

15

即q2(Q]+a2)=12,，q2=4,

由q>0,得q=2,

+2al=3,解得％=1,

故數(shù)列｛冊｝的通項公式為冊=2n-\

(2)由(1)知％=Iog2%i+1=logz2"=九，

可得與=警

則(2(,)2=[n(n+I)]2=n2(n+I)2=辭辭+「

故屋,2〃,照+i成等比數(shù)列.

5.【解析】(1)因為％+%=2，"=2,所以2q+5d=24+10=2,

解得q=-4,

所以%=2/2-6.

2

(2)Sm--Am+-~~x2=m-5m,%=12,a]5—24?

2

因為S,n，%,%成等比數(shù)列，所以W=Smal5,即122=24(m-5m),

整理得62—5m—6=0,解得〃Z=6,"2=—1,

因為所以根=6.

16

時間：6月22日今日心情：一1

核心考點解讀一—數(shù)列的求和及應(yīng)用

數(shù)列前〃項和與通項的關(guān)系(II)

分組法求數(shù)列的和(II)

裂項相消法求數(shù)列的和(II)

錯位相減法求數(shù)列的和(II)

應(yīng)用數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項、前〃項和(II)

1.從考查題型來看，涉及本知識點的選擇題、填空題一般考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系

或等差數(shù)列、等比數(shù)列的特征進(jìn)行相關(guān)的求值計算；解答題中一般利用等差數(shù)列、

等比數(shù)列的重要特征，結(jié)合幾個主要求和方法的類型進(jìn)行化簡、求值、計算，達(dá)

到將數(shù)列的前n項和化簡的目的.

2.從考查內(nèi)容來看，本知識點主要考查數(shù)列求和，重點根據(jù)數(shù)列的通項特征，正確

選用分組求和、裂項相消求和、錯位相減求和方法，然后正確運算.

皿

3.從考查熱點來看，數(shù)列求和是高考命題的熱點，等差數(shù)列、等比數(shù)列求和是數(shù)列

求和的重要基礎(chǔ)，裂項相消求和與錯位相減求和是數(shù)列求和的難點所在，關(guān)鍵在

于能夠通過數(shù)列的通項公式合理、正確地選擇求和方法.

1.數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系

⑴數(shù)列的前〃項和：Sn=ai+a2+---+an.

S,,n=i,

(2)前n項和Sn與通項an之間的關(guān)系：a”={能夠利用前n項和S,,

的關(guān)系式求得an,此時要注意?>1；也能夠利用an表示前n項和Sn.

2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和S,

⑴等差數(shù)列的前n項和Sn=nat++kn(k=%-g)：

17

na”q=l,

(2)等比數(shù)列的前n項和S.=■“(I—/)_ag

\-q\-q

3.分組求和法求數(shù)列的前n項和

分組求和法可以解決形如c?=a?+2類數(shù)列的求和問題，其基本步驟是首先確

應(yīng)試法0

定通項公式，然后對通項公式進(jìn)行拆分，拆成幾個可以直接求和的數(shù)列(最好是

等差數(shù)列或等比數(shù)列)，再分別求和后相加即可得到原數(shù)列的和.

4.裂項相消法求數(shù)列的前n項和

裂項相消法的基本思想是把數(shù)列的通項可拆分成q,=〃用-切等的形式，從而

在求和時起到逐項相消的目的.比較常見的類型有：

⑴一,---=7(--------)，(2)/---7==—(x/"+&-yfn),

n｛n+k)knn+kk

⑶=_()等

(2〃-1)(2〃+1)22〃-12〃+1

采用裂項相消法求數(shù)列的前n項和時，要注意系數(shù)的問題以及求和逐項相消后前

后剩余的項的問題.

5.錯位相減法求數(shù)列的前n項和

錯位相減法主要應(yīng)用于求解由等差數(shù)列｛a,,｝與等比數(shù)列也｝的對應(yīng)項之積組成

的數(shù)列｛q,｝的求和問題，即求%=%?"的和.其一般步驟為先識別數(shù)列的通項

公式是否為等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的數(shù)列，并確定等比數(shù)列的公

比，然后寫出前〃項和S“的表達(dá)式，并在等式兩邊同時乘以公比或公比的倒數(shù),

得到另一個式子，再對兩式作差，最后根據(jù)差式中間的〃-1項構(gòu)成的等比數(shù)列

求和，合并同類項即得所求的前〃項和.

錯位相減法的計算過程較為復(fù)雜，對計算的能力要求比較高，同時考查的力度也

相對較高，應(yīng)注意加強訓(xùn)練.

6.應(yīng)用數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項、求和

(1)在形如用+〃”的遞推關(guān)系式中，根據(jù)數(shù)列的某一項求指定項的值的問

題，若所求項不是很大，可以采用逐項求值的方法進(jìn)行；也可以通過遞推關(guān)系

18

式確定通項，再求指定項的值；

(2)在形如"S”="“+4”的遞推關(guān)系式中，根據(jù)數(shù)列的某一項求指定項的問題，

可以利用a“=S,,—S,i，〃>1轉(zhuǎn)化為上述(1)的形式，再按(1)中的方法進(jìn)行化

簡、求值、計算.計算過程中要注意〃>1.

0真題回顧

3

1.(2019年高考全國I卷文數(shù))記s為等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項和.若6=1，邑=1,則&=.

【答案】1?

O

31

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由已知53=4+%夕+%/=1+4+夕2=^,即/+4+^=0

解得q=-g，

0（1-7）

所以必2，J

i—q1-（-；）&

【名師點睛】準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及事的乘方運算、繁分式的

計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算S4=S3+/=S3+4/=1+(-權(quán)=|,

避免繁分式計算.

2.(2019年高考全國III卷文數(shù))記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若6=5,%=13,則兒=

【答案】100

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為4,根據(jù)題意可得

fa3=at+2d=5fa,=1

[%=%+6d=13',d=2'

i（）xa

S10=1。44-=10x1+--—x2=100.

22

【名師點睛】本題考點為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列

19

的求和公式是解題的關(guān)鍵.

3.（2019年高考江蘇卷）已知數(shù)列｛a,J（〃wN*）是等差數(shù)列，S,是其前"項和.若生生+4=0,S9=27,

則S8的值是

【答案】16

a2as+“8=(q+d)(4+4d)+(q+7d)=0

【解析】由題意可得:*=94+等。=27

q=-58x7

解得：《貝ijS=8qH-1---=---—-40+28x2=16.

d=28

【名師點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程

思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建4,d的方程組.

4.（2017年高考江蘇卷）等比數(shù)列｛q｝的各項均為實數(shù)，其前〃項和為S,,,已知$3=*6號，則4=

【答案】32

【解析】當(dāng)4=1時，顯然不符合題意;

q(1-/)=7

1—q41r

當(dāng)X時,6，解得"'4則風(fēng)=-x27=32.

q(l—d)二634

4=2

\-q4

【名師點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路：①利用基本量，將多元問題簡

化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標(biāo)明確；②利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是

兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷乂方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但

在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運算問

題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法.

5.（2019年高考全國I卷文數(shù)）記S”為等差數(shù)列｛m｝的前"項和，已知S9=P5.

（1）若43=4,求｛“"｝的通項公式；

⑵若求使得S"汕的"的取值范圍.

【答案】(1)an=-2n+10；(2)1<n<10(neN*).

【解析】（1）設(shè)｛%｝的公差為d.

20

由S9=—a5得4+4d=0.

由43=4得4+2d=4.

于是q=8,d=—2.

因此｛外,｝的通項公式為4=10—2”.

（2）由（D得4=—4d,故a“=（〃_5）d,S“=〃（”[9M