專題07函數(shù)、方程、不等式及函數(shù)的應(yīng)用【清單01】函數(shù)的零點(diǎn)1.函數(shù)零點(diǎn)的定義：使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．2.三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)3.拓廣：（）1若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．（2）連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．【清單02】二次函數(shù)的零點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系1．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的關(guān)系函數(shù)圖象判別式符號(hào)(設(shè)判別式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)210方程的根（函數(shù)零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)210ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集（?，x1)∪(x2,+?)（?，x0)∪(x0,+?)R（注：a<0的情況，類似可以給出）2.拓廣：穿根法（根軸法）解不等式：（1）整理不等式，一端化為因式積，且各因式中x系數(shù)為正；（2）求相應(yīng)方程的根；（3）將上述根標(biāo)在數(shù)軸上；（4）從最右邊的根開始，自上而下穿過數(shù)軸，其它各根依次穿過（二重根穿而不過）；（5）位于數(shù)軸上方的曲線對(duì)應(yīng)區(qū)間使不等式大于0，其它對(duì)應(yīng)區(qū)間使不等式小于0成立.類似如圖所示：【清單03】零點(diǎn)存在性定理及其近似值的求法如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．2.二分法：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．【清單4】常見函數(shù)模型1.常見函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；（2）二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；（3）分式函數(shù)模型（4）分段函數(shù)模型（5）拓廣：函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的性質(zhì)及最值：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減．(2)當(dāng)x>0時(shí)，x＝eq\r(a)時(shí)取最小值2eq\r(a)，當(dāng)x<0時(shí)，x＝－eq\r(a)時(shí)取最大值－2eq\r(a).2.函數(shù)應(yīng)用問題解法=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義．【考點(diǎn)題型一】求函數(shù)的零點(diǎn)【例1】（2324高一上·湖南衡陽·期末）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實(shí)根，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（

）A．30 B．14 C．12 D．6【變式11】（2324高一上·湖南長沙·期末）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0 B． C． D．【變式12】（2425高一上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）函數(shù)中，若，則的值為．【變式13】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的零點(diǎn)是.【變式14】（2425高一上·全國·課堂例題）求下列函數(shù)的零點(diǎn)．(1)；(2)．【考點(diǎn)題型二】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷【例2】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的零點(diǎn)是和2，判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間．【變式21】（2324高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式22】（2425高一上·上?！ふn堂例題）下列區(qū)間中存在方程的根的是（）A． B． C． D．（2324高一上·陜西商洛·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式23】（多選）（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：在下列區(qū)間中，函數(shù)必有零點(diǎn)的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式24】（2425高一上·上海·課后作業(yè)）若函數(shù)在區(qū)間上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的有．（填序號(hào)）①若，則不存在實(shí)數(shù)使得；②若，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得；③若，則可能存在實(shí)數(shù)使得；④若，則可能不存在實(shí)數(shù)使得．【考點(diǎn)題型三】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷【例3】（2324高一下·全國·課后作業(yè)）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有個(gè).【變式31】（2223高一上·北京·期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式32】（2324高一上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，，，設(shè)，則關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式33】（多選）（2324高一上·安徽安慶·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．0 B． C．3 D．1【變式34】（2324高一上·廣東東莞·期中）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，.(1)求的解析式；(2)在給定坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并討論方程（為常數(shù)）根的個(gè)數(shù)（寫出結(jié)果即可）.【考點(diǎn)題型四】函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與不等式的解【例4】（2324高一上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，且，則下列說法正確的序號(hào)為.①；②不等式的解集為；③；④不等式的解集為.【變式41】（2324高一上·浙江溫州·期中）若不等式的解集為，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【變式42】（2023·全國·高一課堂例題）不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【變式43】（2223高一上·湖北咸寧·自主招生）二次函數(shù)的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線，若關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是．

【變式44】（2324高一上·福建莆田·期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意都有，則的取值范圍是．【考點(diǎn)題型五】已知函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍【例5】（2023高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【變式51】（2021高一上·廣東佛山·期中）“”是“方程只有一個(gè)解”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式52】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式53】（2425高一上·全國·課堂例題）函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)且該零點(diǎn)為負(fù)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【變式54】（2324高一上·安徽馬鞍山·期中）關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【考點(diǎn)題型六】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，求參數(shù)取值范圍【例6】（2324高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式61】（2324高一上·廣西玉林·期中）關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根小于，另一個(gè)根大于1，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式62】（2324高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）方程在區(qū)間和各有一個(gè)根的充要條件是（

）A． B．C． D．【變式63】（2324高一上·山西晉中·期末）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式64】（2324高一上·山東青島·期中）已知（）．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若時(shí)，有實(shí)數(shù)解，求a的范圍．【考點(diǎn)題型七】“二分法”與零點(diǎn)的近似解【例7】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）求方程的零點(diǎn)（精確到0.1）．【變式71】（2425高一上·全國·隨堂練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式72】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）在用二分法求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，則函數(shù)的一個(gè)誤差不超過0.025的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值可以為（

）A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6【變式73】（2324高一·上海·課堂例題）已知函數(shù)在區(qū)間0,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求該零點(diǎn)的近似值.（結(jié)果精確到0.1）【變式74】（2425高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值【考點(diǎn)題型八】函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)綜合問題【例8】（2324高一上·福建福州·期中）定義：對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若，有，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．己知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)且的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)b的最小值．【變式81】（2324高一上·福建南平·期中）已知的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，則方程的所有的根之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式82】（2324高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式83】（2324高一上·江西宜春·期中）已知關(guān)于的一元二次方程.(1)若方程兩根之差的絕對(duì)值為，試求的值；(2)若方程兩不等實(shí)根都小于5，試求的取值范圍.【變式84】（2223高一上·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求不等式的解集；(3)若存在使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)題型九】用函數(shù)圖象刻畫變化過程【例9】（2324高一上·全國·課后作業(yè)）下圖是某校高一(1)班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級(jí)平均分表．

(1)選擇合適的方法表示測試序號(hào)與成績的關(guān)系；(2)根據(jù)表示出來的函數(shù)關(guān)系對(duì)這三位同學(xué)的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析．【變式91】(2022·廣東廣州檢測)如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時(shí)，水從孔中勻速流出，水流完所用時(shí)間為T.若魚缸水深為h時(shí)，水流出所用時(shí)間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是()【變式92】（2324高一上·貴州安順·期末）為了能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸最，某運(yùn)輸公司提出了四種運(yùn)輸方案，每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如下圖（四個(gè)選項(xiàng)）所示，其中運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高的選項(xiàng)是（

）A．

B．

C．

D．

【變式93】（2023高一上·上海·專題練習(xí)）如下圖所示，向高為的水瓶A，B，C，D同時(shí)以等速注水，注滿為止；若水深與注水時(shí)間的函數(shù)圖象如圖，則水瓶的形狀是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式94】（2324高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A為某封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，線段的長度為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例10】（2324高一上·貴州·階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為已知此工廠的年產(chǎn)量最小為噸，最大為噸．(1)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為萬元，且產(chǎn)品全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．【變式101】（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知某出租車司機(jī)為升級(jí)服務(wù)水平，購入了一輛豪華轎車投入營運(yùn)，據(jù)之前的市場分析得出每輛車的營運(yùn)總利潤y（萬元）與營運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系為，則下列判斷正確的是（

）A．車輛營運(yùn)年數(shù)越多，收入越高B．車輛在第6年時(shí)，總收入最高C．車輛在前5年的平均收入最高D．車輛每年都能盈利【變式102】（2324高一上·陜西·期中）某廠每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品萬件，其成本包含固定成本和浮動(dòng)成本兩部分.已知每年固定成本為10萬元，浮動(dòng)成本若每萬件該產(chǎn)品銷售價(jià)格為40萬元，且每年該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡.(1)設(shè)年利潤為（萬元），試求與的關(guān)系式;(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該廠所獲利潤最大?并求出最大利潤.【變式103】（2324高一上·浙江臺(tái)州·開學(xué)考試）某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為22元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量（件）與（天）的關(guān)系如表：時(shí)間（天）1361036日銷售量（件）9490847624未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格（且為整數(shù)）．(1)請(qǐng)利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的知識(shí)，直接寫出日銷售量與時(shí)間（天）之間的關(guān)系式；(2)請(qǐng)預(yù)測示來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少?(3)在實(shí)際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)元利潤（）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間（天）的增大而增大，求的取值范圍．【變式104】（2223高一下·江西宜春·開學(xué)考試）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源耗損，建筑物的外墻需要建造隔熱層，現(xiàn)某建筑物要建造可使用20年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為萬元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系，若不建隔熱層，則該建筑物每年的能源消費(fèi)費(fèi)用為萬元，設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)請(qǐng)寫出的表達(dá)式；(2)隔熱層多厚時(shí)，達(dá)到最小，并求出其最小值.【考點(diǎn)題型十一】構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例11】（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖所示，某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建一個(gè)長方形公園ABCD，公園由長方形的休閑區(qū)（陰影部分）和環(huán)公園人行道組成.已知長方形休閑區(qū)的面積為，人行道的