專題6.7圖形的相似（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，，點為平面內(nèi)一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當(dāng)線段取最大值時，點的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點，若點為直線下方一點，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當(dāng)時，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是邊上的點（不與點，重合）．過點作交于點；過點作交于點．是線段上的點，；是線段上的點，．若已知的面積，則一定能求出（

）

A．的面積 B．的面積C．的面積 D．的面積4．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為5．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結(jié)論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③6．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（

）A．2 B． C． D．37．（2021·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，，點E為射線上一個動點，連接，將沿折疊，點B落在點處，過點作的垂線，分別交，于M，N兩點，當(dāng)為線段的三等分點時，的長為（

）A． B． C．或 D．或8．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A在第一象限，B，D分別在y軸上，AB交x軸于點E，軸，垂足為F．若，．以下結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①；②AE平分；③點C的坐標(biāo)為；④；⑤矩形ABCD的面積為．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當(dāng)點B運動到點F時，停止運動．設(shè)運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為，點是的中點，與交于點，是上一點，連接分別交，于點，，且，連接，則，．12．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點A在第一象限，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為．

13．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，過點作，交的延長線于點，連接，交于點，則四邊形的面積與的面積的比值為．

14．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，點M為的中點，E是上的一點，連接，作點B關(guān)于直線的對稱點，連接并延長交于點F．當(dāng)最大時，點到的距離是．

15．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則．

16．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為．17．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，，．若，則的面積是，度．18．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則cm．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021·陜西·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于點A、B（其中A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求點B、C的坐標(biāo)；（2）設(shè)點與點C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱在y軸上是否存在點P，使與相似且與是對應(yīng)邊？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．（8分）（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點，點是的中點，連接，過點的直線垂直于的延長線于點，交的延長線于點．（1）求證：為⊙的切線；（2）若，，求的長．21．（10分）（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點，點C在x軸負(fù)半軸上，．

（1）______，______，點C的坐標(biāo)為______．（2）點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標(biāo)．22．（10分）（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）已知正方形，是對角線上一點．

（1）如圖1，連接，．求證：；（2）如圖2，是延長線上一點，交于點，．判斷的形狀并說明理由；（3）在第（2）題的條件下，．求的值．23．（10分）（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸的交點為點和點．

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點，在軸正半軸上，，點在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．連接，當(dāng)與相似時，求的值；當(dāng)點與點重合時，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，點，的對應(yīng)點分別為、，連接當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時，請直接寫出點的橫坐標(biāo)．24．（12分）（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．參考答案：1．D【分析】由題意可得點在以點為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：∵點為平面內(nèi)一動點，，∴點在以點為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線段取最大值時，點的坐標(biāo)是，故選D．【點撥】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時，．解：①有3種情況，如圖，和都是中線，點是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點，點是重心；如圖，點不是中點，所以點不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時最大，，，，，，，②錯誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時，最大為5，∴④正確．故選：A．【點撥】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】如圖所示，連接，證明，得出，由已知得出，則，又，則，進(jìn)而得出，可得，結(jié)合題意得出，即可求解．解：如圖所示，連接，

∵，，∴，，，．∴，．∴．∵，，∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．故選：D．【點撥】本題考查了相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定和性質(zhì)，等面積轉(zhuǎn)換．4．D【分析】先證明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，得DF=CE，判斷A項答案正確，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判斷B項答案正確，證△BEG△CEB得，即可判斷C項答案正確，由，BC=1，得點G在以線段BC為弦的弧BC上，易得當(dāng)點G在等邊△ABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判斷D項錯誤．解：∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，故A項答案正確，∠ABF=∠BCE，∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，∴∠BGC=180゜（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項答案正確，∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，∴，∴，∵，∴，故C項答案正確，∵，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，∴當(dāng)點G在等邊△ABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴解得AG=，故D項錯誤，故應(yīng)選：D【點撥】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等即可證明，通過等量轉(zhuǎn)化即可求證，利用角平分線的性質(zhì)和公共邊即可證明，從而推出①的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果可證明推出，通過等量代換可推出③的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果和勾股定理推出和長度，最后通過面積法即可求證④的結(jié)論不對；結(jié)合①中的結(jié)論和③的結(jié)論可求出的最小值，從而證明②不對.解：為正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正確.由①可知，，，，，，由①可知，.故③正確.為正方形，且邊長為4，，在中，.由①可知，，，.由圖可知，和等高，設(shè)高為，，，，.故④不正確.由①可知，，，關(guān)于線段的對稱點為，過點作，交于，交于，最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，.故②不正確.綜上所述，正確的是①③.故選：D.【點撥】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解題的關(guān)鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運用相關(guān)知識點.6．A【分析】構(gòu)造如圖所示的正方形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解直角三角形FNP即可．解：如圖，延長CE，F(xiàn)G交于點N，過點N作，延長交于，∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四邊形CMPD是矩形，根據(jù)折疊，∠MCN=∠GCN，CD=CG，，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴，∴，四邊形為正方形，∴，∴，，，，設(shè),則，在中，由可得解得；故選A．【點撥】本題考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形，勾股定理等知識點的綜合運用，難度較大．作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】因為點為線段的三等分點，沒有指明線段的占比情況，所以需要分兩種情況討論：①；②．然后由一線三垂直模型可證∽，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得的值，最后由即可求得的長．解：當(dāng)點為線段的三等分點時，需要分兩種情況討論：①如圖1，當(dāng)時，∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質(zhì)可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．②如圖2，當(dāng)時，∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質(zhì)可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．綜上所述，的長為或．故選：．【點撥】本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由為線段的三等分點，分兩種情況討論線段的占比情況，以及利用型相似進(jìn)行相關(guān)計算是解決此題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出，利用相似三角形的性質(zhì)及已知，的值即可判斷結(jié)論①；由①分析得出的條件，結(jié)合相似三角形、矩形的性質(zhì)（對角線）即可判斷結(jié)論②；根據(jù)直角坐標(biāo)系上點的表示及結(jié)論①，利用勾股定理建立等式求解可得點坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)得出點坐標(biāo)，即可判斷結(jié)論③；由③可知，進(jìn)而得出的值，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可判斷結(jié)論④；根據(jù)矩形的性質(zhì)及④可知，利用三角形的面積公式求解即可判斷結(jié)論⑤．解：∵矩形ABCD的頂點A在第一象限，軸，垂足為F，,，．，．，，，即．（①符合題意），，，．．AE平分．（②符合題意），點的橫坐標(biāo)為4．，，即．，點的縱坐標(biāo)為．．點與點關(guān)于原點對稱，．（③符合題意），．（④不符合題意），．（⑤符合題意）結(jié)論正確的共有4個符合題意．故選：C．【點撥】本題考查矩形與坐標(biāo)的綜合應(yīng)用．涉及矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角坐標(biāo)系上點的表示，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，三角形的面積公式等知識點．矩形的對角線相等且互相平分；兩角分別相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點關(guān)于原點的對稱點位．靈活運用相關(guān)知識點，通過已知條件建立等式關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯誤；根據(jù)時，，得到,推出，④正確．解：∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯誤；當(dāng)時，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個．故選：C．【點撥】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．10．A【分析】分，，三種情況，分別求出函數(shù)解析即可判斷．解：過點D作于H，，∵，，∴，∴當(dāng)時，如圖，重疊部分為，此時，，，∴，∴，即，∴∴；當(dāng)時，如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；當(dāng)時如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，∵，∴，∴，即∴，綜上，，∴符合題意的函數(shù)圖象是選項A．故選：A．【點撥】此題結(jié)合圖像平移時面積的變化規(guī)律，考查二次函數(shù)相關(guān)知識，根據(jù)平移點的特點列出函數(shù)表達(dá)式是關(guān)鍵，有一定難度．11．2【分析】如圖，證明，得到，勾股定理求出的長，等積法求出的長，證明，相似比求出的長，證明，求出的長，證明，求出的長，再利用勾股定理求出的長．解：∵正方形的邊長為，點是的中點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，，∴，∴，∴，故點作，則：，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：2，．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，本題的綜合形較強(qiáng)，屬于中考填空題中的壓軸題．熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和相似，是解題的關(guān)鍵．12．4【分析】過點作軸于點，證明，得，再根據(jù)，可得，再證明，得到的長，設(shè)，，得到的坐標(biāo)，根據(jù)兩點在同一反比例函數(shù)上，可解得的值，從而可得，再利用勾股定理解得，從而求得的值．解：如圖，過點作軸于點，

軸，

，，，是的中點，，，，，即，同理可得，，，，設(shè)，則，，，都在反比例函數(shù)上，，解得，，在中，，，，故答案為：4．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖像，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，理解反比例函數(shù)圖像上的點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積相同，是解題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)平行四邊形推出平行四邊形，根據(jù)和相似，進(jìn)而求出各個三角形的面積比，設(shè)，表示出其他三角形面積，進(jìn)而作答．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，，∴，∴，，∴，，∴同理，∵，∴，設(shè)，則，，∴∴故答案為∶【點撥】本題考查平行四邊形及三角形的相似，相似比和面積比，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的相似比表示出三角形的面積．14．【分析】如圖，由題意可得：在上，過作于，由點B關(guān)于直線的對稱點，可得，，，，當(dāng)與切于點時，最大，此時，證明，重合，可得，，求解，證明，可得，從而可得答案．解：如圖，由題意可得：在上，過作于，∵點B關(guān)于直線的對稱點，∴，，，，當(dāng)與切于點時，最大，此時，

∴，∴，重合，∴，∵矩形，∴，，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴點到的距離是．故答案為：．【點撥】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．15．【分析】連接，證明是等邊三角形，則，，設(shè)，則，取的中點H，連接，求出，設(shè)，則，證明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，進(jìn)一步即可得到答案．解：連接，

∵將繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)，則，取的中點H，連接，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．16．【分析】如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．證明，設(shè)，證明，設(shè)，則，求出，可得結(jié)論．解：如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．平分，，，，，，設(shè)，則，，，，，設(shè)，則，，，，的周長，故答案為：．【點撥】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．17．/【分析】通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出其長度，即可求三角形ABE的面積，過點E作EF⊥AB，垂足為F，證明是等腰直角三角形，再求出，繼而證明，可知，利用外角的性質(zhì)即可求解．解：，，，，設(shè)，，，，在中，由勾股定理得，，解得或，對角線，相交于點，，，，，過點E作EF⊥AB，垂足為F，，，，，，，，故答案為：，．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．18．/【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=DC=4，EM=CM=2，連接DF，設(shè)FE=x，由勾股定理得BF，DF，從而求出x的值，得出FB，再證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可求出FG．解：連接如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∵點M為BC的中點，∴由折疊得，∠∴∠，設(shè)則有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴故答案為：【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．19．（1），；（2）存在，或．【分析】（1）令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可確定點C的坐標(biāo)；（2）確定拋物線的對稱軸為x=1,確定的坐標(biāo)為（2，8），計算C=2，利用直角相等，兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，分類求解即可.解：（1）令，則，∴，∴．令，則．∴．（2）存在．由已知得，該拋物線的對稱軸為直線．∵點與點關(guān)于直線對稱，∴，．∴．∵點P在y軸上，∴∴當(dāng)時，．設(shè)，i）當(dāng)時，則，∴．∴ii）當(dāng)時，則，∴∴．iii）當(dāng)時，則，與矛盾．∴點P不存在∴或．【點撥】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，對稱軸的意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運用三角形的相似和進(jìn)行一元二次方程根的求解是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)點是的中點可得，進(jìn)而證，從而得證即可；（2）解法一：連接交于，根據(jù)及勾股定理求出，再證明，從而得到，即可求出的值；解法二：過點作于點，按照解法一步驟求出，然后證明四邊形是矩形，再證明，求得，進(jìn)而求出的值．解：（1）證明：連接，，，點是的中點，，，，，，，，，是半徑，是的切線；（2）解法一：連接交于，，，，，，在中，，或（不符合題意，舍去），點是的中點，是半徑，垂直平分，，是的中位線，，是直徑，，，，，；解法二：過點作于點，，，，，，，，在中，，，或（不符合題意，舍去），，四邊形是矩形，，，，，，，，．【點撥】本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理，平行線間線段成比例，相似三角形的的判定與性質(zhì)，掌握并理解相關(guān)性質(zhì)定理并能綜合應(yīng)用是關(guān)鍵．21．（1），，；（2）點P的坐標(biāo)為或【分析】（1）點B是兩函數(shù)圖象的交點，利用待定系數(shù)法求出m，k的值；根據(jù)“A，B兩點關(guān)于原點對稱”求出點A的坐標(biāo)，過點A作x軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形，求出點C的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點P在x軸上，結(jié)合圖形，排除點P在x軸負(fù)半軸上的情形，當(dāng)點P在x軸正半軸上時，兩個三角形中已有一對角相等，而夾角的兩邊的對應(yīng)關(guān)系不確定，故分類討論：①；②．分別求出兩種情況下的長，從而得出點P的坐標(biāo)．解：（1）（1）將代入，得，∴．將代入，得，∴．如圖，過點A作軸于點D，則．

∵點A，B關(guān)于原點O對稱，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故答案為：，，；（2）由（1）可知，，．當(dāng)點P在x軸的負(fù)半軸上時，，∴．又∵，∴與不可能相似．當(dāng)點P在x軸的正半軸上時，．①若，則，∵，∴，∴；②若，則，又∵，，∴，∴．綜上所述，點P的坐標(biāo)為或．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，并能利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想分析是解答本題的關(guān)鍵．22．（1）見分析；（2）是等腰三角形，理由見分析；（3）【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可得到；（2）先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得到結(jié)論；（3）先求出的長，可證明是等腰直角三角形．從而得到的長，再利用，，可證得，進(jìn)而得到，從而可得到答案．（1）解：∵四邊形是正方形，是對角線，∴，，在和中∴．（2）解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．

（3）解：∵，，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．∴，，∴，∴，∴，∵，