第第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形變換綜合壓軸題》專題測試卷（附答案）1．線段AB與CD的位置關(guān)系如圖1所示，AB=CD=m，AB與CD的交點(diǎn)為O，且∠AOC=60°，分別將AB和AC平移到CE,BE的位置（如圖2）．(1)求CE的長和∠DCE的度數(shù)；(2)在圖2中求證：AC+BD>m．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△A′B′

(1)在圖1中，作出一個(gè)以AB為邊的等邊三角形；(2)在圖2中，作出一個(gè)菱形．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別A（1，4），B（2，0），C（3，2）（1）畫出將△ABC沿AC翻折得到的△AB1C1；（2）畫出將△ABC沿x軸翻折得到的△A2BC2；（3）觀察發(fā)現(xiàn)：△A2BC2可由△AB1C繞點(diǎn)（填寫坐標(biāo)）旋轉(zhuǎn)得到（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B1經(jīng)過的路徑長為．4．如圖1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE＝12∠ABC．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△CBE按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到(1)求證：DF=DE；(2)如圖2，若AB⊥BC，其他條件不變．求證：DE5．如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，使點(diǎn)C恰好落到線段AD上的E點(diǎn)處，連接CE，連接CG交BE于點(diǎn)H．(1)求證：CE平分∠BED；(2)取BC的中點(diǎn)M，連接MH，求證：MH∥BG；(3)若BC=2AB=4，求CG的長．6．已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E為直線BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且BD＝CE．點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，連接AE，順次連接A，D，F(xiàn)．（1）如圖1，若點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC上，試判斷△ADF的形狀并說明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC外，求證：∠BAD=∠FDC．7．如圖，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M(1)如圖1，求證：MN=(2)當(dāng)AB=6，MN=5時(shí)，求(3)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，線段BM、DN和MN8．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)DE、分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)，連接MQ、PM．(1)求證：PM=MQ；(2)當(dāng)∠A=50°時(shí)，求PMQ的度數(shù)；(3)將△ADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若∠PMQ=120°，判斷△ADE的形狀，并說明理由．9．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是射線CB上一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接BE交射線AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，求AF的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，連接CE，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)問△AEC的面積是否會(huì)發(fā)生變化？如果不會(huì)，求出它的面積；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)BD=1時(shí)，求AF的長．10．在等邊△BCD中，DF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)A為直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，把BA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BE．(1)如圖1，點(diǎn)A在線段DF上，連接CE，求證：CE=DA；(2)如圖2，點(diǎn)A在線段FD的延長線上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出BE并連接CE，當(dāng)∠DEC=45°時(shí)，連接AC，求出∠BAC的度數(shù)；(3)在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，若BD=6，求EF的最小值11．如圖，一個(gè)含60°角的紙片頂點(diǎn)與等邊△ABC的點(diǎn)B重合，將該紙片繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使紙片60°角的一邊交直線AC于點(diǎn)D，在另一邊上截取點(diǎn)E，使BE=BD，連接AE．(1)當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，如圖①，求證：AC=AD+AE；(2)當(dāng)點(diǎn)D在邊AC所在直線上，如圖②、如圖③時(shí)，線段AD,AC,AE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．(3)在圖③中，AD、BE交于點(diǎn)K，若AE=4,BC=6，則AD=_______，DK=______．12．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°,∠MBN繞B(1)當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），求證：AE+CF=EF．(2)當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2種情況下，求證：AE+CF=EF．(3)當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖3種情況下上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF，13．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，AB=AC，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，將AE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AF．

(1)如圖1，若α=∠BAC=90°，連接BF，BF=3，BC=8，求△ABE的面積；(2)如圖2，若α=2∠BAC=120°，連接CF交AB于H，求證：2AH+CE=AD；(3)若在（2）的條件下，3CE=BC=9，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，將線段EP繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EQ，連接CQ，當(dāng)線段CQ取得最小值時(shí)，直接寫出四邊形BHQE的面積．14．已知：正方形ABCD，以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)AD至AP，連接BP、DP．(1)若將AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至AP，如圖1所示，求∠BPD的度數(shù)？(2)若將AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度0°<α<90°至AP，求∠BPD的度數(shù)？(3)若將AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度0°<α<180°至AP，請(qǐng)分別求出0°<α<90°、α=90°、90°<α<180°三種情況下的∠BPD的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）．15．已知，如圖1，正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD的延長線上，且BE=DF，連接EF．(1)證明：EF⊥AC；(2)將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足0°<α<45°時(shí)，設(shè)EF與射線AB交于點(diǎn)G，與AC交于點(diǎn)H，如圖所示，試判斷線段FH、HG、GE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，連接DF、BE，并延長EB交直線DF于點(diǎn)P，連接PC，試說明點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑并求線段PC的取值范圍．16．【問題思考】如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線AQ，以DE為邊向右側(cè)作正方形DEFG，連接GC，直線GC與直線AQ交于點(diǎn)P，則線段AE與GC之間的關(guān)系為______．【問題類比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外的一點(diǎn)時(shí)，【問題思考】中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展延伸】如圖3，點(diǎn)E是邊長為6的正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，【問題思考】中其他條件不變，則動(dòng)點(diǎn)P到邊AD的最大距離為______（直接寫出結(jié)果）．17．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以BD為一邊作正方形BDFE，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)A重合，則線段CF與AE

（2）【拓展探究】在（1）的條件下，如果正方形BDFE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接CF，AE，BF，線段CF與AE的數(shù)量關(guān)系有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

（3）【問題解決】當(dāng)AB=AC=6，且（2）中的正方形BDFE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時(shí)，求出線段AE的長．

18．綜合與實(shí)踐：問題情景：如圖1、正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB，AEAB<AE在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE，DG

(1)操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG；(2)操作發(fā)現(xiàn)：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，連接FC，求∠FCE的度數(shù)；(3)問題解決：如圖4，如果α=45°，AB=2，AE=42，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G到BE19．如圖①在正方形ABCD中，連接BD，點(diǎn)E是邊AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是FD的中點(diǎn)，連接EP、CP．

(1)如圖①，探究EP與CP有何關(guān)系，并說明理由；(2)若將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖②，連接FD，取FD的中點(diǎn)P，連接EP、CP，請(qǐng)問在該條件下，①中的結(jié)論是否成立，并說明理由；(3)如果把△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到圖③，同樣連接FD，取FD的中點(diǎn)P，連接EP、CP，請(qǐng)你直接寫出EP與CP的關(guān)系．20．綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師向大家展示了一個(gè)圖形變換的問題．如圖1．將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE，AF，連接EF．試判斷△AEF的形狀．獨(dú)立思考：(1)請(qǐng)解答問題情境提出的問題，并寫出證明過程．實(shí)踐探究：(2)如圖2．將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)P，Q，連接PQ．請(qǐng)猜想線段BP，PQ，DQ之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．問題解決：(3)如圖3．連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP，AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M，N，將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開，如圖4所示．若BM=7，DN=24，求MN的長．參考答案1．（1）解：∵將AB和AC平移到CE,BE的位置，∴AB=CE,AB∥CE，∴∠AOC=∠DCE，∵∠AOC=60°，AB=CD=m，∴∠DCE=60°，CE=AB=m；（2）證明：如圖，連接DE，由（1）得：∠DCE=60°，CE=AB=m，∵AB=CD=m∴CD=CE，∴△CDE是等邊三角形，∴DE=CD=m，∵將AB和AC平移到CE,BE的位置，∴AC=BE，在△BDE中，BD+BE>DE，即AC+BD>m．2．（1）解：△ADB是等邊三角形，即為所求，理由如下：如圖，延長AC交BB′于一點(diǎn)

∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt∴∠A=60°∴∠∴∠BDA=180°?60°?60°=60°∴△ADB是等邊三角形；（2）解：四邊形ABDE是菱形，即為所求，理由如下：過點(diǎn)D作DE平行于AB交BC的延長線于一點(diǎn)，即為點(diǎn)E，連接AE，如圖：

由（1）知△ADB是等邊三角形，且∠ACB=90°∴BC⊥AD∴DC=AC∵DE∥AB∴∠DEB=∠ABC∵∠DCE=∠ACB∴△DCE≌△ACB∴BC=EC∴四邊形ABDE是菱形．3．解：（1）如圖：（2）如圖：（3）（5，0）（4）B1經(jīng)過的路徑是以（5，0）為圓心，BB1為半徑的圓弧，∴C＝14×2×π×3＝34．（1）證明：∵∠DBE=1∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=1∵△ABF由△CBE旋轉(zhuǎn)而成，∴BE=BF，∠ABF=∠CBE，∴∠DBF=∠DBE，在△DBE與△DBF中，BE=BF∠DBE=∠DBF∴△DBE≌△DBF（SAS）∴DF=DE；（2）證明：∵將△CBE按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABF，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCE=45°，∴圖形旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，CE與AF重合，∴AF=EC，∴∠FAB=∠BCE=45°，∴∠DAF=90°，在Rt△ADF中，D∵AF=EC，∴DF同（1）可得DE=DF，∴DE5．（1）證明：∵將矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，使點(diǎn)C恰好落到線段AD上的E點(diǎn)處，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED；（2）證明：過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，如圖：∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，∴CD=CN，∴BG=AB=CD=CN，∵∠BHG=∠NHC，∠GBH=∠CNH=90°，BG=CN，∴△BHG≌△NHC(AAS∴GH=CH，即點(diǎn)H是CG中點(diǎn)，∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴MH是△BCG的中位線，∴MH∥BG；（3）解：過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過G作GR⊥BC于R，如圖：∵BC=2AB=4，∴BG=AB=CD=CN=2，∴CN=1∴∠NBC=30°，∵∠GBE=90°，∴∠GBR=60°，∴BR=12BG=1在Rt△GRC中，CG=G∴CG的長為276．解：（1）△ADF為等邊三角形，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠ABC=∠ACB∴△ABD?△ACE(SAS)，∴AD=AE,∠BAD=∠CAE．∵點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，∴AF=AE,∠CAF=∠CAE，∴AD=AF,∠CAF=∠BAD．∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠CAF+∠DAC=60°，即∠DAF=60°,∴△ADF為等邊三角形．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠ABC=∠ACB∴△ABD?△ACE(SAS)，∴AD=AE,∠BAD=∠CAE．∵點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，∴AF=AE,∠CAF=∠CAE，∴AD=AF,∠CAF=∠BAD．∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠CAF+∠DAC=60°，∴△ADF為等邊三角形．∴∠ADF=∠FDC+∠ADC=60°∵∠BAD+∠ADC=∠ABC=60°∴∠BAD=∠FDC7．（1）解：如圖，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△則：△ABM∴AM=∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD∵∠MAN∴∠MAB∴∠M∴∠MAN又∵AM=∴△AMN∴MN=（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB=6∵△∴MN∴S△∵△∴S△∴S△（3）解：DN=如圖，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM則：∠MAM′∴AM=∵∠MAN∴∠M∴∠MAN又∵AM=∴△AMN∴MN=∴DN=8．（1）證明：∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵P，M分別為DE，DC的中點(diǎn)，∴PM=12CE∵M(jìn)，Q分別為DC，CB的中點(diǎn)，∴MQ=12DB∴PM=MQ；（2）解：∵點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)，∴MQ∥DB，∴∠MQC=∠B，∠DMP=∠ACD∴∠PMQ=∠DMP+∠DMQ=∠ACD+∠BCD+∠MQC=∠ACD+∠BCD+∠B=180°?50°=130°；（3）解：△ADE是等邊三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵P，M為DE，DC的中點(diǎn)∴PM∴∠PMD=∠ECD∵M(jìn)，Q為DC，BC的中點(diǎn)∴MQ∴∠MQC=∠DBC∴∠MPQ=∠DMP+∠DMQ=∠DCE+∠MQC+∠MCQ=∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠MCQ=∠ACD+∠MCQ+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=120°，∴∠BAC=180°?120°=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°，又∵AD=AE，∴△ADE是等邊三角形．9．（1）解：∵將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴AD=AE，∵點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，∴AC=AE，∴BC=AC=AE，又∵∠AFE=∠BFC，∠EAF=∠BCF=90°，∴△BCF≌△EAF(AAS∴AF=CF，∵AC=BC=4，∴AF=CF=2；（2）解：△AEC的面積不會(huì)變化，理由如下：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，∵將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴AD=AE，∴∠DAC+∠CAE=90°=∠DAC+∠ADC，∴∠ADC=∠CAE，∴△ADC≌△EAH(AAS∴EH=AC=4，∴S△ACE（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∵BD=1，∴CD=3，∵△ADC≌△EAH，∴CD=AH=3，∴CH=1，∵∠EHF=∠ACB=90°，∠AFE=∠BFC，∴△EFH≌△BFC(AAS∴FH=FC=1∴AF=AF+FH=7當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥直線AC于H，∵BD=1，∴CD=5，同理可證△ACD≌△EHA，∴CD=AH=5，∴CH=1，同理可證：△BCF≌△EHF，∴FH=FC=1∴AF=AC+FC=9綜上所述：AF的長為72或910．（1）解：由旋轉(zhuǎn)得，BA=BE，∠ABE=60°，∵△BCD是等邊三角形，∴BD=BC，∠DBC=60°，∴∠ABE=∠DBC，∴∠DBA+∠ABC=∠ABC+∠CBE，∴∠DBA=∠CBE，在△DBA與△CBE中，BD=BC∠DBA=∠CBE∴△DBA≌△CBE（∴DA=CE．（2）解：如圖3，由（1）可知，△DBA≌∴DA=CE，∠BDA=∠BCE，又∵△BCD是等邊三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，DB=DC，∵DB=DC，∴△BCD是等腰三角形，∵DF⊥BC，∴∠BDF=1∴∠BDA=180°?∠BDF=150°，∴∠BCE=150°，∠CDA=360°?∠BDA?∠BDC=150°，∴∠DCE=∠BCE?∠BCD=90°，∵∠DEC=45°，∴∠EDC=45°，∴∠DEC=∠EDC，∴CE=CD，∴DB=DC=DA，∴∠BAD=180°?∠BDA2=15°∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°．（3）解：∵由圖1可知，當(dāng)點(diǎn)A在線段DF上時(shí)，∠BCE=∠BDA=30°；由圖3可知，當(dāng)點(diǎn)A在線段FD的延長線上時(shí)，∠BCE=∠BDA=150°；由圖4可知，當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長線上時(shí)，∠BCE=∠BDA=30°；∴綜上所述，當(dāng)點(diǎn)A在直線DF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線CE與直線BC的夾角始終為30°，即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線，過點(diǎn)F作FE′⊥EC于點(diǎn)E′，則當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)∵BD=CD=BC=6，DF⊥BC，∴CF=1又∵FE′⊥EC∴FE∴EF的最小值為3211．(（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°．∵∠EBD=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即：∠ABE=∠CBD，∵BD=BE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD．∵AC=AD+CD，∴AC=AD+AE．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在CA的延長線時(shí)，∵∠DBE=∠ABC=60°，∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD，即∠ABE=∠CBD，∵AB=BC，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD=AC+AD，∴AD=AE-AC；如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，∵∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，即∠ABE=∠CBD，∵AB=BC，BD=BE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD=AD-AC，∴AC=AD-AE；綜上，當(dāng)點(diǎn)D在CA延長線時(shí)，AD=AE-AC；當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，AC=AC-AE；（3）解：由（2）得△ABE≌△CBD，∴CD=AE=4，∠BAE=∠BCD=180°-∠ACB=120°，∴AD=AC+CD=6+4=10，∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE∥BC，∴△AKE∽△CKB，∴AKCK∴AK=23CK又∵AK+CK=AC=BC=6，∴53CK∴CK=185∴DK=CK+CD=185+4=3812．解：（1）∵AB⊥AD,BC⊥CD,∴∠A=∠C,在△ABE與△CBF中，AB=BC∠A=∠C∴△ABE?△CBF(∴∠ABE=∠CBF,BE=BF,∵∠ABC=∴∠ABE=∠CBF=∴AE=∵∠MBN=60∴△BEF為等邊三角形，∴BE=BF=EF,∴AE=CF=∴AE+CF=EF;（2）如圖，將Rt△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△BCG∴BE=BG,AE=CG,∠A=∠BCG,∵AB=BC,∠ABC=∴點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∵∠A=∠BCF=∴∠BCG+∠BCF=∴點(diǎn)G、C、F三點(diǎn)共線，∵∠ABC=∴∠GBF=在△GBF與△EBF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△GBF?△EBF(∴FG=EF,∴EF=AE+CF；（3）不成立，EF=AE?CF，理由如下：如圖，將RtΔABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得∴AE=CG，由（2）同理得，點(diǎn)C、F、G三點(diǎn)共線，∵AB=BC,∠ABC=∴點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∠ABE=∠CBG,∴BG=BE,∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=∵∠MBN=∴∠GBF=在ΔBFG與ΔBG=BE∠GBF=∠EBF∴△BFG?△BFE(SAS∴GF=EF,∴EF=AE?CF.13．（1）解：如圖：過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)M，

∵α=∠BAC=90°，∴∠FAB=∠EAC，在△FAB和△EAC，F(xiàn)A=EA∠FAB=∠EAC∴△FAB?△EACSAS，∴FB=CE，又∵BF=3，BC=8，∴BE=BC?CE=8?3=5，又∵∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=1∴S△ABE=12BE×AM（2）解：在BH上截取BP=CE，連接CP，

∵α=2∠BAC=120°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC，在△CBP和△ACE中，BP=CE∠B=∠ACB=60°∴△CBP?△ACE，∴CP=AE=AF，∠BPC=∠AEC=60°+∠BAE，∴∠APC=180°?∠BAE+60°，∵∠FAB=120°?∠BAE，∴∠APC=∠FAB，在△AHF和△CPH中，∠APC=∠FAB∴△AHF?△PHCAAS∴AH=PH∵BP=CE∴AB=BC=AD=AH+PH+CE=2AH+CE．（3）解：如圖：∵3CE=BC=9，∴CE=3，BE=BC?CE=6,連接EH，由（2）可知∠BAC=∠ABC=60°，BE=BH=6∴△BHE是等邊三角形，∴∠BEH=60°，BE=HE，

∵將線段EP繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP∴PE=P1E，∠PE在△BPE和△HEPPE=P∴△BEP?△HEP1∴∠B=∠EHP∵∠BEH=60°，∴∠BEH=∠EHP∴HP1∥BC，點(diǎn)P1過H作HP1∥BC，其延長線角CD于M，過C作由點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，可知：當(dāng)CQ⊥MH時(shí)，即CQ有最小值∵BH∥CM，BC∥HM，∴四邊形BHMC是平行四邊形，∴CM=BH=6，∠HMC=∠B=60°，∴∠QCM=30°，∴MQ=∴CQ=∴邊形BHQE的面積為BE?CQ=6×33

14．（1）解：∵AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至AP，∴AD=AP，∠PAD=30°，∴∠APD=1∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°?30°=60°，∴∠BPA=1∴∠BPD=60°+75°=135°．（2）∵AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AP，∴AD=AP，∠PAD=α，∴∠APD=1∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°?α，∴∠BPA=1∴∠BPD=90°?（3）①當(dāng)0°<α<90°時(shí)，∵AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AP，∴AD=AP，∠PAD=α，∴∠APD=1∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°+α，∴∠BPA=1∴∠BPD=90°?②當(dāng)α=90°時(shí)，∵AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP，∴AD=AP，∠PAD=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=90°+90°=180°，即點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)共線，∴∠BPD=∠APD=1③當(dāng)90°<α<180°時(shí)，∵AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AP，∴AD=AP，∠PAD=α，∴∠APD=1∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=AP，∠BAD=90°，∴∠BAP=360°?90°+α=270°?α，∴∠BPA=1∴∠BPD=90°?15．（1）證明：如圖1：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵BE=DF，∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，∴AC⊥EF.（2）解：FH如圖2，過A作AK⊥AC，截取AK=AH，連接GK、EK，∵∠CAB=45°，∴∠CAB=∠KAB=45°，∵AG=AG，∴△AGH?△AGKSAS∴GH=GK，由旋轉(zhuǎn)得：∠FAE=90°，AF=AE，∵∠HAK=90°，∴∠FAH=∠KAE，∴△AFH?△AEKSAS∴∠AEK=∠AFH=45°，F(xiàn)H=EK，∵∠AEH=45°，∴∠KEG=45°+45°=90°，Rt△GKE中，K即：FH（3）解：如圖3，∵AD=AB，∠DAF=∠BAE，AE=AF，∴△DAF?△BAESAS∴∠DFA=∠BEA，∵∠PNF=∠ANE，∴∠FPE=∠FAE=90°，∴將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，總存在直線EB與直線DF垂直，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是：以BD為直徑的圓，如圖4，當(dāng)P與C重合時(shí)，PC最小，PC=0，當(dāng)P與A重合時(shí)，PC最大為52∴線段PC的取值范圍是：0≤PC≤5216．解：問題思考：設(shè)AQ和BC交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都為正方形，∴∠ADC=∠EDG=90°，DA=DC,DE=DG，∴∠ADC?∠EDC=∠EDG?∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG(SAS∴AE=CG，∠DAE=∠DCG，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH，即∠BAH=∠PCH，∵∠AHB=∠CHP，∴∠B=∠CPA=90°，即AE⊥CG，故答案為：AE=GC，AE⊥GC；問題類比：問題思考中的結(jié)論仍然成立，理由如下：設(shè)AQ和BC交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都為正方形，∴∠ADC=∠EDG=90°，DA=DC,DE=DG，∴∠ADC?∠EDC=∠EDG?∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG(SAS∴AE=CG，∠DAE=∠DCG，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH，即∠BAH=∠PCH，∵∠AHB=∠CHP，∴∠B=∠CPA=90°，即AE⊥CG，故答案為：AE=GC，AE⊥GC；拓展應(yīng)用：∵∠CPA=90°，∴點(diǎn)P的運(yùn)用軌跡即為以AC為直徑的⊙O上，如圖：當(dāng)點(diǎn)P位于AD右側(cè)，PH⊥AD且經(jīng)過圓心O時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到邊AD的距離最大，∵正方形的邊長為6，∴AC=62，OH=3∴OP=OC=1∴PH=OH+OP=3+32即動(dòng)點(diǎn)P到邊AD的最大距離為3+32故答案為：3+3217．（1）解：如圖1，∵四邊形BDFE是正方形，∴FE=BE，∠E=90°，∴BF=B∵點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，AB=AC，∴CF=AC=AB=BF，F(xiàn)E=AE，∴CF=2故答案為：CF=2（2）無變化，理由如下：證：如圖2，∵EB=EF，∠BEF=90°，∴∠EBF=∠EFB=45°，BF=E∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=A∴BFEB=BC∴△CBF∽△ABE，∴CFAE∴CF=2（3）如圖2，E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F在線段CE上，∵BC=2AB，∴BC=2×6=62∴BE=EF=BD=1∵∠BEC=90°，∴CE=B∴CF=CE?EF=36∵CF=2∴AE=2如圖3，E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F在線段CE的延長線上，∵BFEB=BC∴△CBF∽△ABE，∴CFAE∴CF=2∵∠BEF=90°，∴∠BEC=180°?∠BEF=90°，∴CE=B∴CF=CE+EF=36∴AE=2綜上所述，線段AE的長為33?3或

18．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，又∵四邊形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，∴∠BAE=∠DAG．在△ABE與△ADG中，AB=AD,∠BAE=∠DAG∴△ABE?△ADGSAS∴BE=DG；（2）解；過F作FH⊥BE，垂足為H，

∵∠AEF=∠ABE=∠EHF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∠FEH+∠EFH=90°，∴∠AEB=∠EFH，∵四邊形AEFG是正方形，∴AE=EF，在△ABE與△EHF中，∠ABE=∠EHF∠AEB=EFH∴△ABE≌∴AB=EH，BE=FH，∴AB=BC=EH，∴BC+EC=EH+EC，∴BE=CH=FH，又∵∠EHF=90°，∴∠FCE=45°，（3）解：如圖，連接GB，GE，過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，∵GE是正方形AEFG的對(duì)角線，∴∠AEG=45°，∵∠EAB=45°，∴AB∥∴S△BEG∵AB=2，∴BH=AH=2∴HE=42在Rt△BHE中，BE=設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h，∵S△BEG∴12×25∴點(diǎn)G到BE的距離為165

19．解：（1）EP=CP，且EP⊥CP．證明：過PH⊥AB于點(diǎn)H，延長HP交CD于點(diǎn)I，作PK⊥AD于點(diǎn)K．

則四邊形PIDK是正方形，四邊形AKPH是矩形，∴AK=HP，KD=DI=PI=AH，∵AD=CD，∴IC=HP，∵