限時練習(xí)：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)09因式分解1.因式分解的定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.2.因式分解的方法①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c).②運用公式法：a2b2=(a+b)(ab)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a22ab+b2=(ab)2.補充：立方和公式：；立方差公式：.③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q).注意：對于二次三項式的因式分解中，當公式法不能匹配時，十字相乘就是我們的首選方法.④分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d).注：分組方法往往不唯一，但殊途同歸.3.因式分解的一般步驟①如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式.②在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及以上的可以嘗試分組分解法分解因式.③分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止.1．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、是整式乘法，不是因式分解，故不合題意；B、是整式乘法，不是因式分解，故不合題意；C、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，不是因式分解，故不合題意；D、是因式分解，故符合題意.故選D．2．下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A、，故A不正確，不符合題意；B、，故B不正確，不符合題意；C、不是完全平方式，不能用完全平方式因式分解，故C不正確，不符合題意；D、，故D正確，符合題意；故選D．3．若多項式可分解為，則a+b的值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】∵可分解為，∴，∴，∴，，∴，故選A．4．下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】，故（1）符合題意；不能運用公式法分解因式，故（2）不符合題意；，故（3）符合題意；，不能運用公式法分解因式，故（4）不符合題意；所以能運用公式法分解因式的有（1）和（3），故選B.5．將因式分解，應(yīng)提取的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，∴提取的公因式為，故選A．6．若k為任意整數(shù)，且能被k整除，則k不可能是（

）A．50 B．97 C．98 D．100【答案】B【解析】，∴能被50，98，100整除，不能被97整除，故選B．7．分解因式：．【答案】【解析】，故答案為：．8．在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：．【答案】【解析】.故答案為：．9．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.10．閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解：．．例如：．求：(1)；(2)．【解析】（1）根據(jù)題意，得，∴.（2）根據(jù)題意，得∴．11．已知三角形的三條邊長分別為a、b、c，則代數(shù)式的值（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能確定【答案】A【解析】，∵為三角形的三邊長，∴，∴．故選A．12．現(xiàn)在生活中人們已經(jīng)離不開密碼，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式，因式分解的結(jié)果是，若取，時則各個因式的值是：，，，把這些值從小到大排列得到018162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取，時，請你寫出一個用上述方法產(chǎn)生的密碼．【答案】【解析】，當，時，中；；，把它們從小到大排列得到．∴用上述方法產(chǎn)生的密碼是：．故答案為：．13．由多項式乘以多項式的法則可以得到：，即：，我們把這個公式叫做立方和公式，同理：，我們把這個公式叫做立方差公式，請利用以上公式分解因式：.【答案】【解析】，故答案為：．14．閱讀下列材料，并回答問題．利用完全平方公式，可以將多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式．例如：.根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)用多項式的配方法將化成的形式______；(2)下面是某位同學(xué)用配方法及平方差公式把多項式進行分解因式的解答過程：解：

步驟①

步驟②

步驟③

步驟④老師說，這位同學(xué)的解答過程中有錯誤，該同學(xué)的解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方是從步驟______開始的，然后請你重新寫出一個完整的、正確的解答過程；(3)通過上述材料的學(xué)習(xí)，證明：取任何實數(shù)時，多項式的值總為正數(shù)．【解析】（1），故答案為：．（2）該同學(xué)的解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方是從步驟①開始的，完整的、正確的解答過程如下：．（3），，，，即取任何實數(shù)時，多項式的值總為正數(shù)．15．閱讀下列文字與例題，并解答.將一個多項式分組進行因式分解后，可用提公因式法或公式法繼續(xù)分解的方法稱作分組分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．分解因式：.原式.(1)試用“分組分解法”因式分解：；(2)已知四個實數(shù)，，，，滿足，，且，，，同時成立；①當時，求的值；②當時，用含的代數(shù)式分別表示、、（直接寫出答案即可）．【解析】（1）；（2）①當時，得，，，；②當時，，，，，，即，，，，，由，，得，，即，，，，，又由，，得，即，，即，或，，或，又，則，，．16．楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家．楊輝研究了二項式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式．方法提取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是在公式化體系的不斷完善中進行的．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公式的基礎(chǔ)上，可以對式子進行如下推導(dǎo)：．對于，稱為立方差公式．公式推導(dǎo)（1）請參考“立方差公式”的推導(dǎo)過程推導(dǎo)立方和公式：．學(xué)以致用（2）請靈活運用公式進行因式分解：①；②；③=.【解析】（1）.（2）①原式；②原式；③原式=．17．閱讀下列材料：對于多項式，如果我們把代入此多項式，發(fā)現(xiàn)的值為0，這時可以確定多項式中有因式；同理，可以確定多項式中有另一個因式，于是我們可以得到：．又如：對于多項式，發(fā)現(xiàn)當時，的值為0，則多項式有一個因式，我們可以設(shè)，解得，．于是我們可以得到：．請你根據(jù)以上材料，解答以下問題：(1)當______時，多項式的值為0，所以多項式有因式______，從而因式分解______；(2)以上這種因式分解的方法叫“試根法”，常用來分解一些比較復(fù)雜的多項式，請你嘗試用試根法分解多項式：．【解析】（1）當時，多項式的值為0，所以多項式有因式，設(shè)，∴，，∴因式分解，故答案為：1，，；（2）當時，，∴有一個因式，當時，，∴設(shè)，∵，∴，∴，，即，∴．18．下面是某同學(xué)對多項式進行因式分解的過程.解：設(shè)原式

（第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的（

）A．提取公因式

B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式

D．兩數(shù)差的完全平方公式(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果___________________________．(3)模仿以上方法嘗試對多項式進行因式分解．【解析】（1），則運用了兩數(shù)和的完全平方公式進行因式分解，故選C．（2），故答案為：．（3）設(shè)，原式．19．（2023·四川綿陽·中考真題）分解因式8a2－2=．【答案】2（2a＋1）（2a－1）【解析】8a2－2.20．（2023年河北省中考真題）若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【解析】，能被3整除，∴的值總能被3整除，故選B．21．（2023·四川雅安·中考真題）若，，則的值為．【答案】【解析】∵，，∴原式．故答案為：．22．（2023年黑龍江省綏化市中考真題）因式分解：．【答案】【解析】，故答案為：．23．（2023年浙江省嘉興、舟山市中考真題）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為，請你寫出一個符合條件的多項式：．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，因式分解后有一個因式為，∴這個多項式可以