高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.52.已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.若曲線與軸，直線的交點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.5.已知，是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，，為BC的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.6.已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（）A.6 B.4 C.3 D.28.在中，角A，B為銳角，的面積為4，且，則周長(zhǎng)的最小值為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞誠 D.在上有4個(gè)零點(diǎn)10.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.為奇函數(shù)C.是的極小值點(diǎn) D.在上有極值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.13.若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則______.14.如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線，組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）（1）已知是第三象限角，且是方程的一個(gè)實(shí)根，求的值；（2）已知，且，求的值.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為.（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.17.（本小題滿分15分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，.（1）求；（2）已知，為的平分線，交AC于點(diǎn)，且，為線段AC上一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).18.（本小題滿分17分）如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，，求的值域.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）若，設(shè)，證明：，.高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.B由和，得，所以的真子集個(gè)數(shù)為.故選B.2.A若，不共線，由及平面向量基本定理，得；若，無論，共線與否，都有.綜上，“，不共線”是“”的充分不必要條件.故選A.3.D因?yàn)?，，，所?故選D.4.C由，得，由，得，解得，則；由，得，解得，則.，，所以.故選C.5.B取AB的中點(diǎn)，因?yàn)闉锽C的中點(diǎn)，所以，所以.故選B.6.D由三角函數(shù)的定義，得，，所以，，.故選D.7.D令，則，且原函數(shù)變?yōu)?，令，易知，所以為上的奇函?shù)，則，，所以，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以，所以.故選D.8.A由，可得，即，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，所以，從而，由，得，所以的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選A.9.AB.顯然為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，最小正周期，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，所以在上的零點(diǎn)有，，，共3個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選AB.10.AC設(shè)，則，代人，整理得，由，解得，即，則A正確；，即，則C正確；取，滿足，此時(shí)，，則B和D錯(cuò)誤.綜上，故選AC.11.ABC，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；為奇函數(shù)，故B正確；，則，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，所以是的極小值點(diǎn)，故C正確；由，得，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故在上無極值，故D錯(cuò)誤.故選ABC.12.由題意得，所以切線斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.13.3因?yàn)?，所以，所以?為的一個(gè)周期，則，又，取，得，所以，故.14.如圖，設(shè)，，連接AB交曲線于點(diǎn).根據(jù)曲線的性質(zhì)，則A，B關(guān)于對(duì)稱，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補(bǔ)為直角的區(qū)域，于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角的面積，即；根據(jù)對(duì)稱性，可得曲線與x，y軸圍成的區(qū)域的面積也為，又半圓，半圓的面積都為，故曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積為.15.解：（1）由，得，或.因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)實(shí)根，且是第三象限角，所以，所以.（2）因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，，故?16.解：（1），因?yàn)榈膱D象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為，所以，所以.所以，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意可知，所以，由題意，關(guān)于的方程在上有解，因?yàn)?，所以，所以的值域?yàn)?，令，，則的值域?yàn)椋?，解得，所以的取值范圍?17.解：（1），，，，，，，又，.（2）因?yàn)锽D為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負(fù)值），，所以a，c是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，解得.又因?yàn)锽D為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長(zhǎng)為.18.（1）解：因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，又因?yàn)?，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以，所以.（2）證明：由（1）知，所以，即.（3）解：因?yàn)橄蛄浚摹巴昝雷鴺?biāo)”分別為，，由（2）得.令，則，因?yàn)?，所以，即，令，因?yàn)榈膱D象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的值域?yàn)?19.（1）證明：時(shí)，，定義域?yàn)?，，因?yàn)椋?，又，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以只有1個(gè)零點(diǎn).（2）解：的定義域?yàn)椋?，令，則，由于，當(dāng)，