2024-2025學(xué)年湖北省“問津教育聯(lián)合體”高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線l:x+my+1=0的傾斜角為5πA.3 B.-3 C.2.已知直線l1:x-y+1=0，l2:2x-A.3x-4y-1=0 B.33.已知n1=(-1,9,1)，n2=(m,-3,2)，n3A.3 B.1 C.5 D.74.已知事件A、B，如果A與B互斥，那么P(AB)=p1;如果A與B相互獨(dú)立，且P(A)=0.6，P(A.p1=0，p2=0.9 B.p1=0.42，p2=0.9

C.5.如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABEF為正方形，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則直線AC，F(xiàn)B所成角的余弦值為A.64 B.53 C.6.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的小球的概率是(

)A.110 B.310 C.257.如圖所示，一個(gè)組合體的上面部分是一個(gè)高為0.5m長方體，下面部分是一個(gè)正四棱錐，公共面是邊長為1m的正方形，已知該組合體的體積為23m3，則其表面積為(

)A.(2+2)m2 B.(3+8.已知點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)①2②當(dāng)a≠0時(shí)，ba③存在正實(shí)數(shù)m，使得a2④當(dāng)a>0且a≠1，b>0時(shí)，其中正確的命題是(

)A.①② B.②③ C.②④ D.③④二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下圖為2024年中國大學(xué)生使用APP偏好及目的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列關(guān)于2024年中國大學(xué)生使用APP的結(jié)論正確的是(

)

A.超過14的大學(xué)生更愛使用購物類APP

B.超過半數(shù)的大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要

C.使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是23%

D.APP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字的40%分位數(shù)是10.設(shè)k∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l1:x+ky=0與過定點(diǎn)BA.|PA|2+|PB|2=16 B.三角形PAB面積的最大值為11.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，E，F(xiàn)分別為棱AA1，A.直線AC//平面PEF B.三棱錐O-PEF的體積為23

C.直線PF與平面POE所成角的正切值為55三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l的傾斜角為α，sinα=35，且這條直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5,3)，則直線l13.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.8，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率為__________.14.正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為正方形AA1B1B內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知三角形ABC的頂點(diǎn)C(4,3)，邊AC上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0(1)求邊AC所在直線的方程;(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD(1)求證：PD⊥平面(2)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AMAP的值;17.(本小題12分)甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為13，甲贏丙的概率為14，丙贏乙的概率為15.因?yàn)榧资亲钊醯?，所以讓他決定第一局的兩個(gè)比賽者((1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率;(2)請幫助甲進(jìn)行第一局的決策(甲乙、甲丙或乙丙比賽)，使得甲最終獲得冠軍的概率最大.18.(本小題12分)

已知三棱錐P-ABC(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，四邊形ABCD為正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐(1)證明：平面PAC⊥平面(2)若點(diǎn)M在棱PC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求面PBA和面MBA夾角的余弦值.19.(本小題12分)已知A(4,8),B(1)證明直線l經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo);(2)若直線l等分三角形ABC的面積，求直線l的一般式方程;(3)若P(1,2)，李老師站在點(diǎn)P用激光筆照出一束光線，依次由BC(反射點(diǎn)為K)、AC(反射點(diǎn)為I)反射后，光斑落在P點(diǎn)，求入射光線答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查直線的一般方程以及直線傾斜角，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，屬于基礎(chǔ)題.

將直線方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直線的斜率定義即可求得m值.【解答】

解：由題知，-1m故選：A2.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)已知條件，先求出兩直線的交點(diǎn)，再結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．

【解答】解：∵直線l1:x-y+1=0，l2:2x-y-1=0，

∴x-y+1=02x-y-1=0，解得x=2，3.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查了空間向量的基底的概念，屬于基礎(chǔ)題.

由題意得出存在實(shí)數(shù)λ,μ，使得：n2=【解答】

解：{n1,n2,n3}不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則存在實(shí)數(shù)λ,μ，使得：n2=λ4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了互斥事件，獨(dú)立事件的概率公式，屬于中檔題.

根據(jù)互斥事件的定義可求p1，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求p2【解答】

解：如果事件A與B互斥，則P(AB)=0，所以p1=0.

如果事件A與B相互獨(dú)立，則事件A與B也相互獨(dú)立，

且P(B)=1-P(B5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查面面垂直的性質(zhì)，利用向量法求直線與直線所成角，考查學(xué)生的分析和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

首先建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量的夾角即可求解.【解答】解：取AB的中點(diǎn)O，連接OD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為∠DAB=60因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，且兩平面交線為AB，DO⊥AB，DO所以DO⊥平面ABEF，

又四邊形ABEF為正方形，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方形的邊長為2，則A0,-1,0故AC=(0,3,則cos??AC,BF?=AC?BF|AC|?|BF|=-623×226.【答案】C

【解析】【分析】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題．這是一個(gè)古典概型，只要做出事件總數(shù)和滿足條件的事件數(shù)就可以得到結(jié)果，從6個(gè)球中任取兩個(gè)有15種情況，數(shù)字之差的絕對值為2或4的有6種情況，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．

【解答】解：從6個(gè)小球中任取2個(gè)小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種情況，

數(shù)字之差的絕對值為2或4的有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6種情況，

∴所求概率P=615=7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查簡單組合體(柱、錐、臺(tái))的表面積與體積，屬于中檔題.

根據(jù)組合體的體積求出正四棱錐的高，再求出正四棱錐的斜高，利用組合體表面積的求解方法，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)長方體高為h1，四棱錐高為h2，

由題意可知h1=0.5m，底面邊長a=1m，

因?yàn)樵摻M合體的體積為23m3，

所以12×0.5+18.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查直線的斜率，點(diǎn)到直線的位置關(guān)系，屬較難題．

由已知點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)Q(1,0)在直線2x-3y+1=0的兩側(cè)可得2a-3b+1<0，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得當(dāng)a>0時(shí)，ba>23+13a，從而對①②作出判斷；對于③，根據(jù)a2+b2

的取值即可得出；對于④，ba-1表示點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(1,0)連線的斜率，計(jì)算可得到結(jié)果.

【解答】

解：由已知(2a-3b+1)(2-0+1)<0，即2a-3b+1<0，∴①錯(cuò)；

當(dāng)a>0時(shí)，由3b>2a+1，可的

ba>23+139.【答案】AC

【解析】解：對于A，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用購物類APP占比為25.7%，故A正確；

對于B，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要的占比為34.3%+14.0%=48.3%，故B錯(cuò)誤；

對于C，根據(jù)圖表知，使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是25.7%-2.7%=23%，故C正確；

對于D，根據(jù)圖表知，APP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字從小到大分別為0.6%，8.4%，14.0%，16.3%，26.4%，34.3%，

又6×40%=2.4，

∴40%分位數(shù)是14.0%，故D錯(cuò)誤．

故選：AC.

選項(xiàng)A和B，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，即可判斷出正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，利用極差的定義，即可求解；選項(xiàng)D，將占比數(shù)字從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求解．

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查直線過定點(diǎn)問題、由基本不等式求最值或取值范圍、點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問題，屬于中檔題.

根據(jù)已知條件可得出兩直線過定點(diǎn)，且兩直線垂直，進(jìn)而得出P在以AB為直徑的圓上，根據(jù)圓的性質(zhì)可判斷A錯(cuò)誤，得出|PA|2+|PB|2=|AB|2=10后利用基本不等式可判斷B、C，利用點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問題即可判定D.

【解答】

解：因?yàn)檫^定點(diǎn)A的動(dòng)直線l1:x+ky=0與過定點(diǎn)B的動(dòng)直線l2:kx-y+3-k=0交于點(diǎn)P，

所以l1過定點(diǎn)A(0,0)，l2過定點(diǎn)B(1,3)，且直線l1與l2垂直，

所以動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，

A中：由A(0,0)，B(1,3)知：|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，故A錯(cuò)誤；

B中：S11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查線面平行的向量表示、直線與直線所成角的向量求法、棱錐的體積、球的表面積、球的切、接問題，屬于中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量，求出相應(yīng)三棱錐的體積和外接球的表面積，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：由題意，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，P，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1，BC的中點(diǎn)，

O為側(cè)面AA1B1B的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，D(0,0,2)，A1(2,0,0)，

B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D1(0,0,0)，O(2,1,1)，P(2,0,1)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,2,2)，

A選項(xiàng)，AC=(-2,2,0)，EP=(2,-2,0)，EF=(1,0,1)，

設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n?EP=2x-2y=0n?EF=x+z=0，令x=1，則y=1，z=-1，

所以平面PEF的一個(gè)法向量為n=(1,1,-1)，

則n?AC=-2+2+0=0，

因?yàn)橹本€AC?面PEF，所以直線AC//面PEF，故A正確;

B選項(xiàng)，如圖：

VO-PEF=VF-POE=13S△POE?h=13×1×22×1=13，故B不正確;

C選項(xiàng)，如圖：

12.【答案】3x-4【解析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、直線的點(diǎn)斜式方程和一般式方程，屬于基礎(chǔ)題.

求出tanα，利用點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【解答】

解：∵直線l的傾斜角為α，sinα=35，

∴cosα=±1-sin2α=±45，

∴tanα=sinαcosα=±13.【答案】0.32

【解析】【分析】

本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.

“甲隊(duì)以4:1獲勝”，則甲隊(duì)共比賽五場，且第五場甲隊(duì)獲勝，前四場甲隊(duì)勝三場負(fù)一場，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算即可.

【解答】

解：記事件M為“甲隊(duì)以4:1獲勝”，則甲隊(duì)共比賽五場，且第五場甲隊(duì)獲勝，前四場甲隊(duì)勝三場負(fù)一場，

所以PM=0.8×0.14.【答案】2【解析】【分析】

本題考查空間向量的應(yīng)用，利用它解決線面的平行和求異面直線所成的角，屬于較難題.

建立空間建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0,0)，F(xiàn)(2,m,n)，求出平面DEC1的一個(gè)法向量為n=(1,2,-2)，找到m-n-1=0，再求出cosθ=22m2-6m+9，分析當(dāng)m=1或2時(shí)，cosθ最小即可解答.

【解答】

解：分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A(2,0,0)，F(xiàn)(2,m,n)，0≤m≤2,0≤n≤2，

則D(0,0,0)，E(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，故CF=(2,m-2,n)，

DE=(2,0,2)，DC1=(0,2,2)，DA=(2,0,0)15.【答案】解：(1)因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，

所以邊AC所在直線的斜率為-2，直線經(jīng)過點(diǎn)C(4,3)，

所以邊AC所在直線的方程為y-3=-2(x-4)，

即AC所在直線的方程為2x+y-11=0；

(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0)，

因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，

又因?yàn)辄c(diǎn)(1,-2)是邊AB的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)【解析】本題考查了直線的一般式方程與點(diǎn)斜式方程，以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩條直線垂直的判定及應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)根據(jù)已知可得邊AC所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得邊AC所在直線的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0)，由點(diǎn)(1,-2)是邊AB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)B在直線BH上，點(diǎn)A在直線16.【答案】(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB?平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD?平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA,AB?平面PAB

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中點(diǎn)為O，連接CO，PO則P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,-1,0)，C(2,0,0)，

則PB=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1)，PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0)，得-y0-z則n=(1,-2,2)假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM//平面PCD設(shè)AMAP=λ0≤λ則AP=(0,-1,1)，AM=(0,y1可得M(0,1-λ,λ)，

∴BM=(-1,-λ,λ)，

即-1+2解得λ=14，

綜上，存在點(diǎn)M，即當(dāng)AMAP

【解析】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，考查利用空間向量解決線面平行的問題，屬較難題．

(1)由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD，進(jìn)一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；

(2)取AD中點(diǎn)為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的一個(gè)法向量17.【答案】解：(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為

45×②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為

15所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為

460+160所以甲能獲得冠軍的概率為

13×若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為

14×若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第(1)問的結(jié)果

112，

因?yàn)?/p>

29180>

【解析】【分析】

本題主要考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生得概率，互斥事件的概率加法公式，考查學(xué)生的分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題.(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，分別求出概率，再相加即可；(2)分別求出甲能獲得冠軍的概率，若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率，若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第(1)問的結(jié)果112.18.【答案】(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OP，

由圖二可知，OB⊥AC，OP=OB=22a，PB=BE=a，

∴OP2+OB2=PB2，即OP⊥OB，

又AC∩OP=O，AC、OP?平面PAC，

∴OB⊥平面PAC，

∵OB?平面ABC，

∴平面PAC⊥平面ABC.

(2)解：由(1)知，OB⊥平面PAC