第六章計(jì)數(shù)原理6.3二項(xiàng)式定理6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題邏輯推理2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算自學(xué)導(dǎo)引二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等距離2n-1【答案】(1)×

(2)×二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng))，這種說法對嗎？提示：錯(cuò)誤．二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng))，但是項(xiàng)的系數(shù)的最大值與項(xiàng)其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān)．課堂互動(dòng)(1)試求199510除以8的余數(shù)；(2)求證：32n+2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解：199510＝(8×249＋3)10.∵其展開式中除末項(xiàng)為310外，其余各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴199510除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開式中除末項(xiàng)為1外，其余各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即199510除以8的余數(shù)也為1.題型1整除問題利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系．1．已知n∈N*，求證：1＋2＋22＋…＋25n-1能被31整除．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解：令x＝1，得(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.題型2二項(xiàng)展開式的系數(shù)的和問題【例題遷移1】

(改變問法)例2條件不變，將問題改為“求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|”．解：∵(2x－1)5的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【例題遷移2】

(改變問法)例2條件不變，將問題改為“求a1＋a3＋a5”．1．賦值法是求二項(xiàng)展開式系數(shù)及有關(guān)問題的常用方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問題時(shí)要避免漏項(xiàng)．2．在二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．題型3求展開式中系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)【例題遷移1】

(改變問法)在本例條件下，問題改為“求系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最小的項(xiàng)”．求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進(jìn)行討論(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．解：(1)令x＝1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，易錯(cuò)警示二項(xiàng)式系數(shù)和概念不清致誤答案：A正解：設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B．則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….答案：B素養(yǎng)達(dá)成1．求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定．一般地，對字母賦的值為0，1或－1，但在解決具體問題時(shí)要靈活掌握．2．注意兩點(diǎn)：(1)區(qū)分開二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)；(2)求解有關(guān)系數(shù)最大時(shí)的不等式組時(shí)，注意其中k∈{0，1，2，…，n}．1．(題型2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a1＋a2＋…＋a7的值為

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)A．－1 B．1C．－2 D．2【答案】C【解析】令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1；令x＝0，則a0＝1.所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.2．(題型3)(1＋x)2n+1的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是

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)A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3【答案】C【答案】A5．(題型2)已知(2x－1)n(n∈N*)的展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小316，求展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．解：設(shè)f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)系數(shù)的和為A，偶次