章末核心要點分類整合第二十七章相似1.一組平行線截兩條直線或三角形兩邊(或兩邊的延長

線)，所得的對應線段成比例.2.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似；(2)如果兩個三角形的三邊對應成比例，那么這兩個三角形相似；(3)如果兩個三角形的兩邊對應成比例，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；(4)如果兩個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.3.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比等于相似比；相似三角形的對應線段的比、周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方.專題平行線分線段成比例1鏈接中考>>平行線分線段成比例是三角形相似的基礎，也是求線段長的一種方法.在中考命題時，常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn).例1

分析：先證得四邊形DEFC是平行四邊形，得到DE＝FC，再利用平行線分線段成比例列式求出FC即可.

答案：A專題相似三角形的判定2鏈接中考>>圖形的相似是平面幾何中非常重要的內(nèi)容，也是中考中常見的考點.三角形相似的判定方法有多種，解題時要合理選用判定方法.[中考·上海]如圖27－2，在矩形ABCD

中，E

為邊CD上一點，且AE⊥BD.例2(1)求證：AD2＝DE·DC；解題秘方：將等積式轉(zhuǎn)化為比例式，找出相似三角形是解題的關鍵；

解題秘方：由矩形性質(zhì)，結合題中條件得到OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，進而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到.

專題相似三角形的性質(zhì)3鏈接中考>>相似三角形的性質(zhì)歸納起來有三點：(1)相似三角形的對應邊成比例，對應角相等；(2)相似三角形對應線段(對應邊上的中線、高線，對應角的平分線)的比等于相似比；(3)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.相似三角形的性質(zhì)既可以進行線段相等、平行、垂直的證明，也可以進行線段和面積的計算.例3

專題相似三角形的應用4鏈接中考>>相似三角形的知識在實際生活中有廣泛的應用，這一應用是建立在數(shù)學建模和數(shù)形結合思想基礎上的，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過解決數(shù)學問題達到解決實際問題的目的.在中考中以選擇題、填空題和解答題的形式考查.[中考·南京]如圖27－4，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時，另一端B到地面的高度為60cm；當AB的一端B碰到地面時，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH是(

)A.36cm B.40cmC.42cm D.45cm例4解題秘方：根據(jù)題意作出輔助線，構造出相似三角形是解題的關鍵.

答案：A專題位似變換5鏈接中考>>位似圖形是特殊的相似圖形，此內(nèi)容常與平移、旋轉(zhuǎn)進行綜合命題，主要考查學生的動手操作能力，一般都以解答題的形式出現(xiàn).例5[中考·齊齊哈爾]如圖27－7，在邊長為1個單位長度的小正方形網(wǎng)格中.解題秘方：首先確定變換規(guī)則，然后根據(jù)規(guī)則進行作圖，作圖時，首先確定圖形的關鍵點，依次作出圖形關鍵點的對應點，再順次連接各關鍵點的對應點即可.解：如圖27－7，△A1B1C1為所求作的圖形.(1)畫出△ABC向上平移6個單位長度，再向右平移5個單位長度后的△A1B1C1；(2)以點B為位似中心，將△ABC放大得到△A2BC2，使△A2BC2

與△ABC的相似比為2∶1，請在網(wǎng)格中畫出△A2BC2；解：如圖27－7，△A2BC2為所求作的圖形.

(3)求△CC1C2的面積.專題相似三角形與圓的綜合6鏈接中考>>圓中存在角相等，所以中考命題時，常與三角形相似進行綜合命題，主要考查綜合運用知識的能力，以解答題為主.[中考·威海]如圖27－8，已知AB是⊙O的直徑，點

C，D在⊙O上，且BC＝CD.點E是線段AB延長線上一點，連接EC并延長交射線AD于點F.∠FEG的平分線EH交射線AC

于點H，∠H＝45°.例6(1)求證：EF

是⊙O

的切線；

︵︵∵

∠GEH＝∠H＋∠BAC，∠FEG＝∠F＋∠BAF，∴

2∠H＋2∠BAC＝∠F＋∠BAF.∴∠

F＝2∠H＝90°.∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF.∵

OC是半徑，∴

EF是⊙O的切線.(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的長.

專題相似與函數(shù)7鏈接中考>>利用三角形相似的性質(zhì)建立函數(shù)關系，主要就是將兩個變量放在相似三角形的對應邊中，利用對應邊的比相等列出等量關系，建立函數(shù)關系式.這種解決問題的方法在中考中很常見.例7[中考·安徽]如圖27－9，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD

是邊AC上的高.點E，F(xiàn)

分別在邊AB，BC

上(不與端點重合)，且DE⊥DF.設AE＝x，四邊形DEBF

的面積為y，則y

關于x

的函數(shù)圖象為(

)

答案：A專題相似三角形探究題8鏈接中考>>相似三角形的探究型問題是中考幾何壓軸題?？碱}型，綜合性強，難度大，需要學生掌握好基礎知識.這種問題環(huán)環(huán)相扣，當找不到解題思路時，不妨回顧前面的解題過程，也許能找到突破口.[中考·武漢]問題背景：(1)如圖27－10①，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，連接BD，EF，求證：△BCD

∽

△FBE.例8

問題探究：(2)如圖27－10②，在四邊形ABCD中，AD∥

BC，∠BCD＝90°，點E

是AB的中點，點F在邊BC上，AD＝2CF，EF

與BD交于點G，求證：BG＝FG.證明：方法一：如圖27－11，延長FE交DA延長線于點M，作FH⊥AD

于點H，則四邊形CDHF是矩形.∴

DH＝CF，F(xiàn)H＝CD.∵

E

是AB

的中點，∴

AE＝BE.∵

AM∥BC，∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE.∴△AME≌△BFE(AAS).

∴

AM＝BF.∵

AD＝2CF，DH＝CF，∴

AH＝CF＝DH.∴

AM＋AH＝BF＋CF，即MH＝BC.又∵∠MHF＝

∠BCD＝90°，F(xiàn)H＝CD，∴△

MFH

≌△

BDC(SAS).

∴∠AMF＝∠CBD.又∵∠AMF＝∠BFG，∴∠CBD＝∠BFG.∴

BG＝FG.

專題分類討論思想9專題解讀>>在解答有關相似形的某些問題時，往往需要按某一標準把問題分成若干個部分或情況分別加以研究，逐一解決，從而得到完整的結果.這種分類討論思想要求對這類問題審題要仔細，分類要注意兩點：一是正確選擇分類標準；二是分類科學，既不重復也不遺漏.在動點問題中出現(xiàn)兩個三角形有時存在相似的情況，有時存在不相似的情況，需要我們進行判定.例9[模擬·周口]如圖27－14，等邊三角形ABC的邊長為3，D為BC上一點，CD＝2BD，P是線段AD上的動

點，若點P和△ABC中的一個頂點的連線與PD的夾角為60°，則PD的長為________.

解題秘方：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理.過點D作DM⊥AB于點M，利用勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)求出AD＝7.根據(jù)題意，分兩種情況討論，即∠BPD＝60°或∠CPD＝60°，進而證明△BPD∽△ABD或△CPD

∽△ACD，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求出PD

的長.

專題方程思想10專題解讀>>當兩個圖形相似時，周長及面積具有一定的關系，在求圖形的周長或面積時，有時利用圖形的相似列方程或方程組會給解題帶來很大的方便.[中考·成都]如圖27－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD的中點，連接BE.若BE＝BC，CD＝2，則BD＝_______.例10解題秘方：緊扣相似三角形的判定和性質(zhì)，利用對應邊的比相等列方程是解題的關鍵.

類型巧用“三點定形法”證兩三角形相似1方法1：等線段代換法2.如圖，E為□ABCD的邊CD延長線上的一點，連接BE

交AC

于點O，交AD

于點F.類型巧用平行線構造兩三角形相似2

(2)求證：OB2＝OE?OF.

方法3：等比代換法4.[期末?合肥廬陽區(qū)]在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC

上，ED，CB的延長線相交于點F.(1)如圖①，若∠FBD＝∠FEC，BF＝4，F(xiàn)D＝5，F(xiàn)E＝8，求FC的長；解：∵∠FBD＝∠FEC，∠BFD＝∠EFC，∴△FBD∽△FEC.∴FB∶FE＝FD∶FC，即4∶8＝5∶FC，解得FC＝10，即FC的長為10.

5.[模擬?蘇州]如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AB，BC

于點D，E.連接CD，交AE

于點F，且AC＝AE.類型巧用相似三角形的性質(zhì)求面積3(1)求證：△ABC∽△FCE；證明：∵DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD.∴∠DBC＝∠DCB.∵AE＝AC，∴∠ACB＝∠AEC.∴△ABC∽△FCE.(2)若BC＝6，DE＝2，求△FCE的面積.

D類型巧用相似三角形解與函數(shù)的綜合問題47.如圖，在矩形ABCD

中，AB＝m，BC＝8，E為線段BC上的動點(不與點B，C重合).連接DE，過點E作EF⊥

DE，EF

與線段BA

交于點F，設CE＝x，BF＝y(tǒng)．(1)寫出y

關于x

的函數(shù)解析式.(2)若m＝8，當x為何值時，y的值最大？最大值是多少？8.[中考·陜西]如圖，直線l與⊙O相切于點A，AB是⊙O的直徑，點C，D在l上，且位于點A

兩側，連接BC，BD，分別與⊙O

交于點E，F(xiàn)，連接EF，AF.類型巧用相似三角形解與圓的綜合問題5(1)求證：∠BAF＝∠CDB；證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°.∴∠BAF＋∠ABD＝90°.∵直線l與⊙O相切于點A，∴AB⊥CD.∴∠BAD＝90°.∴∠CDB＋∠ABD＝90°.∴∠BAF＝∠CDB.(2)若⊙O的半徑r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的長.9.如圖是位于校園內(nèi)的旗桿，在學習了27章“相似”之后，學生們積極進行實踐活動，小麗和小穎所在的數(shù)學興趣小組測量旗桿的高度AB，有以下兩個方案：類型巧用相似三角形解實際問題6方案一：如圖①，在距離旗桿底B點30m遠的D處豎立一根高2m的標桿CD，小麗在F

處站立，她的眼睛所在位置E、標桿的頂端C

和旗桿頂點A

三點在一條直線上.已知小麗的眼睛到地面的距離EF＝1.5m，DF＝1.5m，AB⊥BF，CD⊥

BF，EF

⊥

BF，點F，D，B

在同一直線上.方案二：如圖②，小穎拿著一根長為16cm的木棒CD站在離旗桿30m的地方(即點E到AB

的距離為30m).她把手臂向前伸，木棒豎直，CD∥AB，當木棒兩端恰好遮住旗桿(即E，C，A

在一條直線上，E，D，B

在一條直線上)時，已知點E

到木棒CD

的距離為40cm.請你結合上述兩個方案，選擇其中的一個方案求旗桿的高度AB.解：若選擇方案一：如圖①，過點E作EH⊥AB，垂足為H，交CD于點G.由題意得EH⊥CD，EF＝DG＝BH＝1.5m，F(xiàn)D＝EG＝1.5m，EH＝BF＝FD＋DB＝1.5＋30＝31.5(m)．若選擇方案二：如圖②，過點E作EH⊥AB，垂足為H，交CD于點G，則∠AHE＝90°.∵CD∥AB，∴∠CGE＝∠AHE＝90°，∴EH⊥CD.10.[中考·貴州]綜合與探究：∠AOB＝90°，點P在∠AOB

的平分線上，PA

⊥OA于點A.(1)【操作判斷】如圖①，過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)題意在圖①中畫出PC，圖中∠APC的度數(shù)為______度；解：如圖①，PC即為所求．類型巧用相似三角形解探究問題790(2)【問題探究】如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P

作PN⊥PM

交射線OB于點N，求證：OM＋ON＝2PA；證明：如圖②，過P作PC⊥OB于點C.易知四邊形OAPC是矩