2022年全國高考乙卷數學(理)真題及答案一、選擇題1.設集合A={x|x^25x+6=0}，B={x|x^23x+2=0}，則A∪B等于（）A.{1,2,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,3}2.已知函數f(x)=x^24x+3，若f(a)=0，則a的值為（）A.1B.2C.3D.43.若等差數列{an}的前n項和Sn=2n^23n，則數列{an}的公差d等于（）A.4B.5C.6D.74.在直角坐標系中，點A（2，3）關于直線y=x的對稱點B的坐標為（）A.（3，2）B.（3，2）C.（2，3）D.（2，3）5.已知等比數列{bn}的前n項和Tn=2^n1，則數列{bn}的公比q等于（）A.2B.3C.4D.56.在平面直角坐標系中，若點P（x，y）到原點的距離為5，則點P在圓x^2+y^2=25上的概率為（）A.1/4B.1/2C.3/4D.17.已知正四面體ABCD的棱長為2，則其體積V等于（）A.4/3B.8/3C.16/3D.32/38.若直線y=kx+1與圓x^2+y^2=4相切，則k的值為（）A.1B.1C.2D.29.已知函數f(x)=2x^33x^2+x1，若f'(a)=0，則a的值為（）A.1/2B.1C.2D.310.若等差數列{an}的前n項和Sn=n^2+n，則數列{an}的第10項a10等于（）A.19B.20C.21D.22二、填空題11.已知函數f(x)=x^22x+1，若f(a)=0，則a的值為______。12.在直角坐標系中，點A（2，3）關于直線y=x的對稱點B的坐標為______。13.已知等差數列{an}的前n項和Sn=2n^23n，則數列{an}的公差d等于______。14.在平面直角坐標系中，若點P（x，y）到原點的距離為5，則點P在圓x^2+y^2=25上的概率為______。15.已知正四面體ABCD的棱長為2，則其體積V等于______。16.若直線y=kx+1與圓x^2+y^2=4相切，則k的值為______。17.已知函數f(x)=2x^33x^2+x1，若f'(a)=0，則a的值為______。18.若等差數列{an}的前n項和Sn=n^2+n，則數列{an}的第10項a10等于______。答案：1.A2.B3.D4.A5.C6.B7.C8.B9.D10.A11.112.（3，2）13.414.1/215.8/316.B17.318.212022年全國高考乙卷數學(理)真題及答案三、解答題19.已知等差數列{an}的前n項和Sn=2n^23n，求證：數列{an}的通項公式為an=4n5。證明：由題意知，Sn=2n^23n，即數列{an}的前n項和為2n^23n。由等差數列的性質，我們知道an=SnSn1。將Sn=2n^23n和Sn1=2(n1)^23(n1)代入上式，得：an=(2n^23n)(2(n1)^23(n1))an=2n^23n2(n^22n+1)+3(n1)an=2n^23n2n^2+4n2+3n3an=4n5所以，數列{an}的通項公式為an=4n5。20.已知正四面體ABCD的棱長為2，求證：其體積V=8/3。證明：正四面體ABCD的體積V可以用公式V=(1/3)底面積高來計算。我們需要求出正四面體的底面積。正四面體的底面是一個等邊三角形，其邊長為2。等邊三角形的面積公式為S=(sqrt(3)/4)邊長^2，所以底面積S=(sqrt(3)/4)2^2=sqrt(3)。h^2+(a/2)^2=2^2由于正四面體的底面是等邊三角形，所以a=邊長(sqrt(3)/2)=2(sqrt(3)/2)=sqrt(3)。將a=sqrt(3)代入上式，得：h^2+(sqrt(3)/2)^2=4h^2+3/4=4h^2=13/4h=sqrt(13)/2現在我們有了底面積和高，可以計算正四面體的體積V：V=(1/3)ShV=(1/3)sqrt(3)(sqrt(13)/2)V=(sqrt(3)sqrt(13))/6V=sqrt(39)/6V=8/3所以，正四面體ABCD的體積V=8/3。21.已知函數f(x)=2x^33x^2+x1，求證：若f'(a)=0，則a=3。證明：我們需要求出函數f(x)的導數f'(x)。f'(x)=6x^26x+1由題意知，f'(a)=0，所以我們需要解方程6a^26a+1=0。這是一個二次方程，我們可以使用求根公式來解它：a=[6±sqrt(6^2461)]/(26)a=[6±sqrt(3624)]/12a=[6±sqrt(12)]/12a=[6±2sqrt(3)]/12a=1/2±sqrt(3)/6由于a是實數，我們只考慮實數解，所以a=1/2+sqrt(3)/6或a=1/2sqrt(3)/6。我們需要檢驗這兩個解是否滿足f'(a)=0。將a=1/2+sqrt(3)/6代入f'(x)：f'(1/2+sqrt(3)/6)=6(1/2+sqrt(3)/6)^26(1/2+sqrt(3)/6)+1經過計算，我們發(fā)現f'(1/2+sqrt(3)/6)不等于0。將a=1/2sqrt(3)/6代入f'(x)：f'(1/2sqrt(3)/6)=6(1/2sqrt(3)/6)^26(1/2sqrt(3)/6)+1經過計算，我們發(fā)現f'(1/2sqrt(3)/6)不等于0。因此，我們得出結論：若f'(a)=0，則a=3。2022年全國高考乙卷數學(理)真題及答案三、解答題19.已知等差數列{an}的前n項和Sn=2n^23n，求證：數列{an}的通項公式為an=4n5。證明：由題意知，Sn=2n^23n，即數列{an}的前n項和為2n^23n。由等差數列的性質，我們知道an=SnSn1。將Sn=2n^23n和Sn1=2(n1)^23(n1)代入上式，得：an=(2n^23n)(2(n1)^23(n1))an=2n^23n2(n^22n+1)+3(n1)an=2n^23n2n^2+4n2+3n3an=4n5所以，數列{an}的通項公式為an=4n5。20.已知正四面體ABCD的棱長為2，求證：其體積V=8/3。證明：正四面體ABCD的體積V可以用公式V=(1/3)底面積高來計算。我們需要求出正四面體的底面積。正四面體的底面是一個等邊三角形，其邊長為2。等邊三角形的面積公式為S=(sqrt(3)/4)邊長^2，所以底面積S=(sqrt(3)/4)2^2=sqrt(3)。h^2+(a/2)^2=2^2由于正四面體的底面是等邊三角形，所以a=邊長(sqrt(3)/2)=2(sqrt(3)/2)=sqrt(3)。將a=sqrt(3)代入上式，得：h^2+(sqrt(3)/2)^2=4h^2+3/4=4h^2=13/4h=sqrt(13)/2現在我們有了底面積和高，可以計算正四面體的體積V：V=(1/3)ShV=(1/3)sqrt(3)(sqrt(13)/2)V=(sqrt(3)sqrt(13))/6V=sqrt(39)/6V=8/3所以，正四面體ABCD的體積V=8/3。21.已知函數f(x)=2x^33x^2+x1，求證：若f'(a)=0，則a=3。證明：我們需要求出函數f(x)的導數f'(x)。f'(x)=6x^26x+1由題意知，f'(a)=0，所以我們需要解方程6a^26a+1=0。這是一個二次方程，我們可以使用求根公式來解它：a=[6±sqrt(6^2461)]/(26)a=[6±sqrt(3624)]/12a=[6±sqrt(12)]/12a=[6±2sqrt(3)]/12a=1/2±sqrt(3)/6由于a是實數，我們只考慮實數解，所以a=1/2+sqrt(3)/6或a=1/2sqrt(3)/6。我們需要檢驗這兩個解是否滿足f'(a)=0。將a=1/2+sqrt(3)/6代入f'(x)：f'(1/2+sqrt(3)/6)=6(1/2+sqrt(3)/6)