專題20平面解析幾何1．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率之和等于2，則關(guān)于曲線的結(jié)論正確的有（）A．曲線是軸對(duì)稱圖形 B．曲線上所有的點(diǎn)都在圓外C．曲線是中心對(duì)稱圖形 D．曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足3．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為 B．的離心率為C．焦點(diǎn)到漸近線的距離為 D．兩準(zhǔn)線間的距離為4．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A．為等比數(shù)列B．C．軸，且D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)5．已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，點(diǎn)在上的射影為，則（）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．設(shè)，則D．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條6．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相離 B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為47．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)是直線上一定點(diǎn)，點(diǎn)、是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，AB,CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k>0，C,A兩點(diǎn)在x軸上方.則下列結(jié)論中一定成立的是（）A． B．四邊形ACBD面積最小值為C． D．若，則直線CD的斜率為10．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有（）A．漸近線方程為 B．漸近線方程為C． D．12．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為B．在上存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線D．在三棱錐中，面，且，，，該三棱錐體積最大值為1213．下列選項(xiàng)正確的為（）A．已知直線：，：，則的充分不必要條件是B．命題“若數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列”是假命題C．棱長(zhǎng)為正方體中，平面與平面距離為D．已知為拋物線上任意一點(diǎn)且，若恒成立，則14．已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為 B．以為直徑的圓的方程為C．到雙曲線的一條漸近線的距離為1 D．的面積為115．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為.B．橢圓上存在點(diǎn)，使得.C．橢圓的離心率為D．為橢圓一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為.專題20平面解析幾何1．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，依題意可確定的外心為，可得出一個(gè)關(guān)系式，求出重心坐標(biāo)，代入歐拉直線方程，又可得出另一個(gè)關(guān)系式，解方程組，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)的垂直平分線為，的外心為歐拉線方程為與直線的交點(diǎn)為，，①由，，重心為，代入歐拉線方程，得，②由①②可得或.故選:AD【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查圓的性質(zhì)和三角形重心，屬于較難題.2．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率之和等于2，則關(guān)于曲線的結(jié)論正確的有（）A．曲線是軸對(duì)稱圖形 B．曲線上所有的點(diǎn)都在圓外C．曲線是中心對(duì)稱圖形 D．曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出曲線的方程，即可求得結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)，得不滿足方程，圖像如下圖所示：曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，無(wú)對(duì)稱軸，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A不正確；，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，則選項(xiàng)D不正確.故選:BC【點(diǎn)睛】本題考查求曲線方程，并研究曲線的幾何性質(zhì)，屬于較難題.3．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為 B．的離心率為C．焦點(diǎn)到漸近線的距離為 D．兩準(zhǔn)線間的距離為【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求出其標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)方程求出其它性質(zhì)，再逐一判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且漸近線方程為，∴，解得，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A對(duì)；∴其離心率為，B錯(cuò)；焦點(diǎn)到漸近線的距離，C錯(cuò)；準(zhǔn)線方程為，則兩準(zhǔn)線間的距離為，D對(duì)；故選：AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A．為等比數(shù)列B．C．軸，且D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)分別求出離心率，再利用黃金橢圓的定義求解．【詳解】解：，對(duì)于：為等比數(shù)列則不滿足條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于：即解得或（舍去）滿足條件故正確；對(duì)于：軸，且即解得不滿足題意，故錯(cuò)誤；對(duì)于：四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，解得（舍去）或故正確故選：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，點(diǎn)在上的射影為，則（）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．設(shè)，則D．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【解析】【分析】利用拋物線的定義和幾何性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?所以,則,故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)為中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在上的射影為,點(diǎn)在上的射影為,則由梯形性質(zhì)可得,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?所以,故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,顯然直線,與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)過(guò)的直線為,聯(lián)立,可得,令,則,所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)有三條直線符合題意,故D錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查直線與拋物線的的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力6．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（）A．以線段為直徑的圓與直線相離 B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時(shí)， D．的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義和直線與圓的相切關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進(jìn)而與直線一定相離：對(duì)于選項(xiàng)B，顯然中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與不一定相等，因此命題錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，D，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，，若設(shè)，則，于是，最小值為4；當(dāng)可得，，所，.故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定理和圓的切線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識(shí)來(lái)判斷各選項(xiàng)命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過(guò)點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項(xiàng)正確；，又，為的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)正確；，，（拋物線定義），C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查與拋物線相關(guān)的命題真假的判斷，涉及拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.8．已知點(diǎn)是直線上一定點(diǎn)，點(diǎn)、是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得知當(dāng)、均為圓的切線時(shí)，取得最大值，可得出四邊形為正方形，可得出，進(jìn)而可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如下圖所示：原點(diǎn)到直線的距離為，則直線與圓相切，由圖可知，當(dāng)、均為圓的切線時(shí)，取得最大值，連接、，由于的最大值為，且，，則四邊形為正方形，所以，由兩點(diǎn)間的距離公式得，整理得，解得或，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題，考查利用角的最值來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)要找出直線與圓相切這一臨界位置來(lái)進(jìn)行分析，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.9．已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，AB,CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k>0，C,A兩點(diǎn)在x軸上方.則下列結(jié)論中一定成立的是（）A． B．四邊形ACBD面積最小值為C． D．若，則直線CD的斜率為【答案】ACD【解析】【分析】利用拋物線的極坐標(biāo)方程求出，然后即可計(jì)算求解，判斷出各選項(xiàng)的真假．【詳解】設(shè)AB的傾斜角為，則有，所以，C正確；，若，則，，直線CD的斜率為，D正確；，所以B不正確；設(shè)，由拋物線過(guò)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，，，所以A正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用，拋物線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題．10．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再判斷曲線類型，進(jìn)而求出離心率【詳解】由三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，得，即；當(dāng)，圓錐曲線為，曲線為橢圓，則；當(dāng)時(shí)，曲線為，曲線為雙曲線，，則離心率為：或故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，離心率的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為漏解的取值，屬于中檔題11．已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有（）A．漸近線方程為 B．漸近線方程為C． D．【答案】BC【解析】【分析】由離心率公式化簡(jiǎn)可得漸近線方程，通過(guò)求圓心A到漸近線的距離結(jié)合直角三角形可得到的值.【詳解】雙曲線離心率為故漸近線方程為，取MN的中點(diǎn)P,連接AP,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,則，所以則故選BC【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線和離心率的應(yīng)用，考查圓的有關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題.12．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為B．在上存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線D．在三棱錐中，面，且，，，該三棱錐體積最大值為12【答案】ACD【解析】【分析】A．代入坐標(biāo)表示出線段長(zhǎng)度，根據(jù)線段長(zhǎng)度比值得到的方程；B．根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系列出方程，并判斷方程是否有解；C．利用已知條件，以及的比值，根據(jù)角平分線定理的逆定理作出判斷；D．結(jié)合題設(shè)定義建立合適坐標(biāo)系，可得的軌跡是圓，據(jù)此分析出三棱錐底面積最大值，由此可得三棱錐體積的最大值.【詳解】A．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，故正確；B．設(shè)存在滿足，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椴粷M足，所以不存在滿足條件，故錯(cuò)誤；C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以，由角平分線定理的逆定理可知：射線是的平分線，故正確；D．因?yàn)槿忮F的高為，所以當(dāng)?shù)酌娴拿娣e最大值時(shí)，此時(shí)三棱錐的體積最大，因?yàn)?，，取靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以不妨取，，由題設(shè)定義可知的軌跡方程為：，所以，此時(shí)在圓的最高點(diǎn)處，所以，故正確.【點(diǎn)睛】本題考查阿波羅尼斯圓的定義及應(yīng)用，屬于新定義問(wèn)題，難度較難.(1)證明角平分線除了可以通過(guò)線段的長(zhǎng)度比來(lái)證明，還可以通過(guò)點(diǎn)到線段兩邊的距離相等來(lái)證明；(2)和圓有關(guān)的線段長(zhǎng)度問(wèn)題，可以利用坐標(biāo)法來(lái)解決問(wèn)題.13．下列選項(xiàng)正確的為（）A．已知直線：，：，則的充分不必要條件是B．命題“若數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列”是假命題C．棱長(zhǎng)為正方體中，平面與平面距離為D．已知為拋物線上任意一點(diǎn)且，若恒成立，則【答案】ABCD【解析】【分析】A．分析“”與“”的互相推出情況，由此確定是否為充分不必要條件；B．分析特殊情況：時(shí)，，由此判斷命題真假；C．將面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，從而可求出面面距離并判斷對(duì)錯(cuò)；D．根據(jù)線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系列出不等式，從而可求解出的取值范圍.【詳解】A．當(dāng)時(shí)，，，顯然；當(dāng)時(shí)，，解得，所以的充分不必要條件是正確；B．當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)為等比數(shù)列，但不是等比數(shù)列，所以命題是假命題，故正確；C．如圖所示：由圖可知：，所以平面平面，所以平面與平面距離即為到平面的距離，記為，由等體積可知：，所以，故正確；D．設(shè)，因?yàn)椋?，所以且，所以，?dāng)時(shí)顯然符合，當(dāng)時(shí)，所以，綜上可知：.故正確.故選：ABCD.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，難度一般.(1)判斷命題是命題的何種條件時(shí)，注意從兩方面入手：充分性、必要性；(2)立體幾何中求解點(diǎn)到平面的距離，采用等體積法較易.14．已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線